Голландские книжные теоремы

В теории принятия решений , экономике и теории вероятностей аргументы голландской книги представляют собой набор результатов , показывающий, что агенты должны удовлетворять аксиомам рационального выбора, чтобы избежать своего рода внутреннего противоречия, называемого голландской книгой. или Голландская книга денежный насос – это набор ставок, обеспечивающий гарантированный проигрыш, т.е. игрок потеряет деньги, что бы ни случилось. ^[1] Набор убеждений и предпочтений называется последовательным, если он не может привести к созданию голландской книги.

Аргументы голландской книги используются для изучения степени уверенности в убеждениях и демонстрации того, что рациональные агенты должны быть байесовскими ; ^[2] другими словами, рациональность требует присвоения вероятностей событиям, которые ведут себя в соответствии с аксиомами вероятности , и наличия предпочтений, которые можно смоделировать с использованием аксиом фон Неймана-Моргенштерна .

В экономике используется для моделирования поведения путем исключения ситуаций, когда агенты «сжигают деньги» без реального вознаграждения; модели, основанные на этих предположениях, называются моделями рационального выбора . Эти предположения ослабляются в поведенческих моделях принятия решений.

Мысленный эксперимент был впервые предложен итальянским исследователем-вероятителем Бруно де Финетти для обоснования байесовской вероятности . ^{[ нужна ссылка ]} и более тщательно исследовался Леонардом Сэвиджем , который развил их в полную модель рационального выбора.

Операционные субъективные вероятности как коэффициенты ставок

Необходимо установить цену обещания заплатить 1 доллар, если Джон Смит победит на завтрашних выборах, и 0 долларов в противном случае. Человек знает, что его оппонент сможет выбрать: либо купить такое обещание у кого-то по установленной им цене, либо потребовать, чтобы он купил у него такое обещание, все еще по той же цене. Другими словами: игрок А устанавливает коэффициенты, а игрок Б решает, какую сторону ставки принять. Цена, которую устанавливает человек, представляет собой «операционную субъективную вероятность», которую он присваивает предложению, на которое делает ставку.

Если кто-то решит, что вероятность победы Джона Смита составляет 12,5% (это произвольная оценка), то можно установить шансы против 7:1. Эта произвольная оценка — «операционная субъективная вероятность» — определяет выигрыш от успешной ставки. Ставка в 1 доллар с этими коэффициентами приведет либо к потере 1 доллара (если Смит проиграет), либо к выигрышу в 7 долларов (если Смит выиграет). Если 1 доллар внесен в качестве залога в качестве условия ставки, то 1 доллар также будет возвращен игроку, если он выиграет ставку.

Аргументы

Стандартный аргумент голландской книги заключается в том, что рациональные агенты должны иметь субъективные вероятности случайных событий и что эти вероятности должны удовлетворять стандартным аксиомам вероятности. Другими словами, любой разумный человек должен быть готов приписать (количественную) субъективную вероятность различным событиям.

Обратите внимание, что этот аргумент не подразумевает, что агенты готовы участвовать в азартных играх в традиционном смысле этого слова. Слово «ставка», используемое здесь, относится к любому решению в условиях неопределенности . Например, покупка незнакомого товара в супермаркете — это своего рода «ставка» (покупатель «ставит на то», что товар хороший), как и посадка в машину («ставка» на то, что водитель не попадет в аварию). ).

Установление готовности делать ставки

Аргумент о голландской книге можно перевернуть, если принять во внимание точку зрения букмекера. В этом случае аргументы голландской книги показывают, что любой рациональный агент должен быть готов принять некоторые виды риска, т.е. делать неопределенные ставки, или иногда он будет отказываться от «бесплатных подарков» или «чешских книг», серии ставок, оставляющей им будет лучше со 100% уверенностью.

Унитарность

В одном примере букмекерская контора предложила следующие коэффициенты и привлекла по одной ставке на каждую лошадь, относительные размеры которой делают результат незначимым. Подразумеваемые вероятности, то есть вероятность победы каждой лошади, в сумме дают число, большее 1, что нарушает аксиому унитарности :

Номер лошади	Предлагаемые коэффициенты	Подразумеваемый вероятность	Цена ставки	Букмекерская контора платит если лошадь победит
1	Даже	${\frac {1}{1+1}}=0.5$	$100	Ставка 100 долларов + 100 долларов
2	3 к 1 против	${\frac {1}{3+1}}=0.25$	$50	Ставка 50 долларов + 150 долларов
3	4 к 1 против	${\frac {1}{4+1}}=0.2$	$40	Ставка 40 долларов + 160 долларов
4	9 к 1 против	${\frac {1}{9+1}}=0.1$	$20	Ставка 20 долларов + 180 долларов
		Итого: 1,05	Итого: 210 долларов США	Всегда: 200 долларов США

Какая бы лошадь ни выиграла в этом примере, букмекерская контора выплатит 200 долларов (включая возврат выигрышной ставки), но игрок сделал ставку в 210 долларов, следовательно, понес убытки в размере 10 долларов на забеге.

Однако, если лошадь 4 была снята с игры и букмекерская контора не скорректировала остальные коэффициенты, подразумеваемые вероятности в сумме составят 0,95. В таком случае игрок всегда может получить прибыль в размере 10 долларов, поставив 100, 50 и 40 долларов на оставшихся трех лошадей соответственно, и ему не придется ставить 20 долларов на снятую лошадь, которая теперь не может выиграть.

Другие аксиомы

Для установления других аксиом вероятности можно использовать и другие формы голландских книг, иногда включающие более сложные ставки, такие как прогнозирование порядка, в котором лошади финишируют . В теории вероятности байесовской Фрэнк П. Рэмси и Бруно де Финетти требовали, чтобы личные степени уверенности были последовательными , чтобы голландская книга не могла быть составлена против них, независимо от того, каким образом были сделаны ставки. Необходимыми и достаточными условиями для этого являются то, что их степени уверенности удовлетворяют всем аксиомам вероятности .

Голландские книги

Говорят, что человек, который установил цены на множество ставок таким образом, что он или она получит чистую прибыль независимо от результата, составил голландскую книгу . Когда у кого-то есть голландская книга, его оппонент всегда проигрывает. Человек, который устанавливает цены таким образом, чтобы дать своему оппоненту голландскую книгу, ведет себя нерационально.

Очень тривиальная голландская книга

Правила не запрещают устанавливать цену выше 1 доллара, но разумный оппонент может продать билет по высокой цене, так что противник выйдет вперед независимо от исхода события, на которое сделана ставка. Правила также не запрещают отрицательную цену, но оппонент может получить от игрока платное обещание заплатить ему или ей позже, если возникнет определенное непредвиденное обстоятельство. В любом случае ценоустанавливающий проигрывает. Эти проигрышные ситуации соответствуют тому факту, что вероятность не может ни превышать 1 (определенность), ни быть меньше 0 (нет шансов на выигрыш).

Более поучительная голландская книга

Теперь предположим, что кто-то устанавливает цену обещания заплатить 1 доллар, если «Бостон Ред Сокс» выиграет Мировую серию в следующем году, а также цену обещания заплатить 1 доллар, если победит «Нью-Йорк Янкиз», и, наконец, цену обещания заплатить 1 доллар. если . победят «Ред Сокс» или «Янкиз» Можно устанавливать цены таким образом, чтобы

{\text{Price}}({\text{Red Sox}})+{\text{Price}}({\text{Yankees}})\neq {\text{Price}}({\text{Red Sox or Yankees}})\,

Но если кто-то установит цену третьего билета ниже суммы первых двух билетов, разумный оппонент купит этот билет и продаст два других билета ценоустановителю. Рассматривая три возможных исхода (Ред Сокс, Янкиз, какая-то другая команда), можно заметить, что независимо от того, какой из трех исходов наступит, игрок проиграет. Аналогичная судьба ждет, если цену третьего билета установить выше суммы двух других цен. Это соответствует тому факту, что вероятности взаимоисключающих событий аддитивны (см. аксиомы вероятности ).

Условные ставки и условные вероятности

Теперь представьте себе более сложный сценарий. Необходимо установить цены трех обещаний:

заплатить 1 доллар, если Red Sox выиграет завтрашнюю игру: покупатель этого обещания теряет свою ставку, если Red Sox не выиграет, независимо от того, вызвана ли их неудача потерей завершенной игры или отменой игры, и
заплатить 1 доллар в случае победы Red Sox и возместить сумму обещания, если игра будет отменена, и
заплатить 1 доллар, если игра завершена, независимо от того, кто победит.

Возможны три исхода: игра отменяется; игра сыграна, и «Ред Сокс» проигрывают; игра сыграна, и Red Sox побеждает. Можно устанавливать цены таким образом, чтобы

{\text{Price}}({\text{complete game}})\times {\text{Price}}({\text{Red Sox win}}\mid {\text{complete game}})\neq {\text{Price}}({\text{Red Sox win and complete game}})

(где вторая цена выше — это ставка, включающая возврат средств в случае отмены). (Примечание: цены здесь представляют собой безразмерные числа, полученные путем деления на 1 доллар, который является выплатой во всех трех случаях.) Благоразумный оппонент записывает три линейных неравенства с тремя переменными. Переменные — это суммы, которые они будут инвестировать в каждое из трех обещаний; Ценность одного из них отрицательна, если они заставят человека, устанавливающего цену, купить это обещание, и положительна, если они его купят. Каждое неравенство соответствует одному из трех возможных результатов. Каждое неравенство утверждает, что чистый выигрыш вашего оппонента больше нуля. Решение существует, если определитель матрицы не равен нулю. Этот определитель:

{\text{Price}}({\text{complete game}})\times {\text{Price}}({\text{Red Sox win}}\mid {\text{complete game}})-{\text{Price}}({\text{Red Sox win and complete game}}).

Таким образом, благоразумный оппонент может сделать того, кто устанавливает цены, заведомо проигравшим, если только он не установит свои цены таким образом, который соответствует простейшей общепринятой характеристике условной вероятности .

Другой пример

В Кентукки Дерби 2015 года фаворит («Американский фараон») имел счет анте-пост 5:2, второй фаворит - 3:1 и третий фаворит - 8:1. Все остальные лошади имели коэффициент против 12:1 или выше. При таких коэффициентах ставка в размере 10 долларов на каждого из всех 18 игроков в стартовом составе приведет к чистому проигрышу, если победит фаворит или второй фаворит.

Однако если предположить, что ни одна лошадь с коэффициентом 12:1 или выше не выиграет, и поставить 10 долларов на каждую из трех лучших лошадей, то гарантирован хотя бы небольшой выигрыш. Фаворит (который действительно выиграл) получит выплату в размере 25 долларов плюс возвращенную ставку в 10 долларов, что даст конечный баланс в размере 35 долларов (чистое увеличение на 5 долларов). Победа второго фаворита принесет выигрыш в размере 30 долларов плюс первоначальная ставка в 10 долларов, что приведет к чистому увеличению на 10 долларов. Победа третьего фаворита дает 80 долларов плюс первоначальные 10 долларов, что дает чистый прирост в 60 долларов.

Подобная стратегия, если она касается только тройки лидеров, образует голландскую книгу. Однако если принять во внимание всех восемнадцать претендентов, то для этой расы не существует нидерландской книги.

Экономика

В экономике классическим примером ситуации, в которой потребитель X может быть забронирован по-голландски, является ситуация, когда у него есть нетранзитивные предпочтения . Классическая экономическая теория предполагает, что предпочтения транзитивны : если кто-то думает, что A лучше, чем B, а B лучше, чем C, то он должен думать, что A лучше, чем C. Более того, не может быть никаких «циклов» предпочтений.

Аргумент о денежном насосе отмечает, что если кто-то обладает набором нетранзитивных предпочтений, его можно эксплуатировать (накачивать) ради денег до тех пор, пока он не будет вынужден покинуть рынок. Представьте, что у Джейн есть двадцать долларов на покупку фруктов. Она может наполнить свою корзину апельсинами или яблоками. Джейн предпочла бы иметь доллар, а не яблоко, яблоко, а не апельсин, и апельсин, а не доллар. Поскольку Джейн предпочла бы апельсин, чем доллар, она готова купить апельсин чуть больше доллара (возможно, 1,10 доллара). Затем она меняет свой апельсин на яблоко, потому что она предпочитает яблоко, а не апельсин. Наконец, она продает свое яблоко за доллар, потому что она предпочла бы доллар, чем яблоко. На данный момент у Джейн осталось 19,90 долларов, она потеряла 10 центов и ничего не получила взамен. Этот процесс можно повторять до тех пор, пока Джейн не останется без денег. (Обратите внимание: если Джейн действительно придерживается этих предпочтений, она не увидит ничего плохого в этом процессе и не будет пытаться остановить этот процесс; на каждом этапе Джейн соглашается, что ей стало лучше.) После того, как у Джейн кончились деньги, уходит с рынка, а ее предпочтения и действия перестают быть экономически значимыми.

Эксперименты в поведенческой экономике показывают, что испытуемые могут нарушать требование транзитивных предпочтений при сравнении ставок. ^[3] Однако большинство испытуемых не делают такого выбора при внутрисубъектных сравнениях, где противоречие было бы очевидно видно (другими словами, испытуемые не обладают действительно интранзитивными предпочтениями, а вместо этого совершают ошибки при выборе с помощью эвристики ).

Экономисты обычно утверждают, что у людей с такими предпочтениями, как у X, на рынке отнимут все их богатство. Если это так, мы не будем наблюдать предпочтения с нетранзитивностью или другими характеристиками, которые позволяют людям быть забронированными по-голландски. Однако, если люди несколько искушены в отношении своей нетранзитивности и/или если конкуренция со стороны арбитражеров сводит эпсилон к нулю, не «стандартные» предпочтения все равно могут наблюдаться.

Согласованность

Можно показать, что набор цен является согласованным, если они удовлетворяют аксиомам вероятности и связанным с ними результатам, таким как принцип включения-исключения .

См. также

Ссылки

Бовенс, Люк; Хартманн, Стефан (2003). «Согласованность». Байесовская эпистемология . Оксфорд: Кларендон Пресс. стр. 28–55. ISBN 0-19-926975-0 .
Кадане, Джозеф Б. (2020). Принципы неопределенности . Чепмен и Холл. стр. 1–28. ISBN 978-1-138-05273-4 .
Лад, Фрэнк (1996). Операционные субъективные статистические методы: математическое, философское и историческое введение . Нью-Йорк: Уайли . ISBN 0-471-14329-4 .
Махер, Патрик (1993). «Субъективная вероятность в науке». Ставки на теории . Издательство Кембриджского университета. стр. 84–104. ISBN 052141850X .

де Финетти Б.; Мачи А.; Смит А. (1993). Теория вероятностей: критическое введение . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-521-41850-Х .
Махер П. (1992). Ставки на теории . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-471-58882-2 .
де Финетти, Б. (1931). «О субъективном значении вероятности» . Фундамента Математика . 17 : 298–329. дои : 10.4064/fm-17-1-298-329 .

^ «Аргументы голландской книги» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2016.
^ Бовенс, Люк; Рабинович, Влодек (2012). «Ставки на шляпы: голландские книги против групп, степени веры как ставки ставок и групповое размышление» . Эпистема . 8 (3): 281–300. дои : 10.3366/epi.2011.0022 . ISSN 1742-3600 . S2CID 53515618 .
^ Рэньярд, Роб (октябрь 1977 г.). «Рискованные решения, нарушающие транзитивность и двойную отмену» . Акта Психологика . 41 (6): 449. doi : 10.1016/0001-6918(77)90003-8 .

Внешние ссылки

[1] «Аргументы голландской книги» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2016.

[2] Бовенс, Люк; Рабинович, Влодек (2012). «Ставки на шляпы: голландские книги против групп, степени веры как ставки ставок и групповое размышление» . Эпистема . 8 (3): 281–300. дои : 10.3366/epi.2011.0022 . ISSN 1742-3600 . S2CID 53515618 .

[3] Рэньярд, Роб (октябрь 1977 г.). «Рискованные решения, нарушающие транзитивность и двойную отмену» . Акта Психологика . 41 (6): 449. doi : 10.1016/0001-6918(77)90003-8 .

[1]

[2]

[3]