Распределение квазивероятностей

Распределение квазивероятностей — это математический объект, похожий на распределение вероятностей , но ослабляющий некоторые аксиомы Колмогорова теории вероятностей . Квазивероятности имеют некоторые общие черты с обычными вероятностями, такие как, что особенно важно, способность получать значения математического ожидания относительно весов распределения . Однако они могут нарушать аксиому σ -аддитивности : интегрирование по ним не обязательно дает вероятности взаимоисключающих состояний. Действительно, квазивероятностные распределения также имеют области с отрицательной плотностью вероятности, что противоречит первой аксиоме . Распределения квазивероятностей естественным образом возникают при изучении квантовой механики , когда ее рассматривают в формулировке фазового пространства , обычно используемой в квантовой оптике , частотно-временном анализе , ^[1] и в других местах.

Введение

В самом общем виде динамика квантово-механической системы определяется главным уравнением в гильбертовом пространстве : уравнением движения для оператора плотности (обычно записываемого ${\widehat {\rho }}$ ) системы. Оператор плотности определен относительно полного ортонормированного базиса . Хотя можно напрямую интегрировать это уравнение для очень маленьких систем (т. е. систем с небольшим количеством частиц или степеней свободы), для более крупных систем это быстро становится невыполнимым. Однако можно доказать ^[2] что оператор плотности всегда можно записать в диагональной форме, если только он относится к сверхполному базису. Когда оператор плотности представлен в таком сверхполном базисе, то его можно записать в виде, более напоминающем обычную функцию, за счет того, что функция имеет черты квазивероятностного распределения. В этом случае эволюция системы полностью определяется эволюцией функции распределения квазивероятностей.

Когерентные состояния , т.е. правые собственные состояния оператора уничтожения ${\widehat {a}}$ служат сверхполной базисом в описанной выше конструкции. По определению когерентные состояния обладают следующим свойством:

{\begin{aligned}{\widehat {a}}|\alpha \rangle &=\alpha |\alpha \rangle \\\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }&=\langle \alpha |\alpha ^{*}.\end{aligned}}

У них также есть еще несколько интересных свойств. Например, никакие два когерентных состояния не являются ортогональными. В самом деле, если | α 〉 и | β 〉 — пара когерентных состояний, то

\langle \beta \mid \alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta ).

Обратите внимание, что эти состояния, однако, правильно нормализованы с помощью 〈 α | α 〉 = 1. Ввиду полноты базиса фоковских состояний выбор базиса когерентных состояний должен быть сверхполным. ^[3] Нажмите, чтобы показать неофициальное доказательство.

Доказательство сверхполноты когерентных состояний.

Integration over the complex plane can be written in terms of polar coordinates with $d^{2}\alpha =r\,dr\,d\theta$ . Where exchanging sum and integral is allowed, we arrive at a simple integral expression of the gamma function:

{\begin{aligned}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha &=\int \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{|\alpha |^{2}}}\cdot {\frac {\alpha ^{n}(\alpha ^{*})^{k}}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,d^{2}\alpha \\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}e^{i(n-k)\theta }}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,d\theta \,dr\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}e^{i(n-k)\theta }}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,d\theta \,dr\\&=2\pi \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}\delta (n-k)}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,dr\\&=2\pi \sum _{n=0}^{\infty }\int e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{2n+1}}{n!}}|n\rangle \langle n|\,dr\\&=\pi \sum _{n=0}^{\infty }\int e^{-u}\cdot {\frac {u^{n}}{n!}}|n\rangle \langle n|\,du\\&=\pi \sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\\&=\pi {\widehat {I}}.\end{aligned}}

Clearly, one can span the Hilbert space by writing a state as

|\psi \rangle ={\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |\psi \rangle \,d^{2}\alpha .

On the other hand, despite correct normalization of the states, the factor of π > 1 proves that this basis is overcomplete.

Однако в основе когерентных состояний всегда возможно ^[2] выразить оператор плотности в диагональной форме

{\widehat {\rho }}=\int f(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha

где f представляет собой распределение фазового пространства. Эта функция f считается плотностью квазивероятности, поскольку она обладает следующими свойствами:

$\int f(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha =\operatorname {tr} ({\widehat {\rho }})=1$ (нормализация)
Если $g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })$ — это оператор, который можно выразить как степенной ряд операторов рождения и уничтожения в порядке Ω, то его математическое ожидание равно

\langle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })\rangle =\int f(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d\alpha \,d\alpha ^{*}

( теорема оптической эквивалентности ).

Существует семейство различных представлений, каждое из которых связано с различным порядком Ω. Наиболее популярным в общефизической литературе и исторически первым из них является квазивероятностное распределение Вигнера . ^[4] что связано с симметричным упорядочением операторов. В частности, в квантовой оптике часто интересующие операторы, особенно оператор числа частиц , естественным образом выражаются в нормальном порядке . В этом случае соответствующим представлением распределения фазового пространства является P-представление Глаубера – Сударшана . ^[5] Квазивероятностный характер этих распределений в фазовом пространстве лучше всего понятен в $P-$ представлении благодаря следующему ключевому утверждению: ^[6]

Если квантовая система имеет классический аналог, например когерентное состояние или тепловое излучение , то P всюду неотрицательно, как обычное распределение вероятностей. Однако если квантовая система не имеет классического аналога, например, некогерентного состояния Фока или запутанной системы , то P где-то отрицательна или более сингулярна, чем дельта-функция .

Это радикальное утверждение не действует в других представлениях. Например, функция Вигнера состояния ЭПР положительно определена, но не имеет классического аналога. ^[7]^[8]

Помимо определенных выше представлений, существует множество других распределений квазивероятностей, возникающих в альтернативных представлениях распределения фазового пространства. Другое популярное представление — представление Хусими Q , ^[9] что полезно, когда операторы находятся в антинормальном порядке. Совсем недавно положительное $P-$ представление и более широкий класс обобщенных $P$ -представлений использовались для решения сложных задач квантовой оптики. Все они эквивалентны и взаимоконвертируемы друг в друга, а именно. Функция распределения классов Коэна .

Характеристические функции

Аналогично теории вероятностей, квантовые распределения квазивероятностей.можно записать через характеристические функции ,из которого могут быть получены все ожидаемые значения оператора. Характеристикафункции для распределений Вигнера, Глаубера P и Q системы N- модследующие:

$\chi _{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})$
$\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})$
$\chi _{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}}e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})$

Здесь ${\widehat {\mathbf {a} }}$ и ${\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }$ представляют собой векторы, содержащие операторы уничтожения и создания для каждой моды.системы. Эти характеристические функции можно использовать для прямой оценки ожидаемых значений моментов оператора. Порядок операторов уничтожения и рождения в эти моменты специфичен для конкретной характеристической функции. Например, нормально упорядоченные (операторы рождения, предшествующие операторам уничтожения) моменты можно оценить следующим образом: $\chi _{P}\,$ :

\langle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {a}}_{k}^{n}\rangle ={\frac {\partial ^{m+n}}{\partial (iz_{j}^{*})^{m}\partial (iz_{k})^{n}}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}){\Big |}_{\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}=0}

Точно так же средние значения антинормально упорядоченных и симметрично упорядоченных комбинаций операторов уничтожения и рождения могут быть оценены из характеристических функций для распределений Q и Вигнера соответственно. Сами функции квазивероятности определяются как преобразования Фурье указанных выше характеристических функций. То есть,

\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2N}}}\int \chi _{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})e^{-i\mathbf {z} ^{*}\cdot \mathbf {\alpha } ^{*}}e^{-i\mathbf {z} \cdot \mathbf {\alpha } }\,d^{2N}\mathbf {z} .

Здесь $\alpha _{j}\,$ и $\alpha _{k}^{*}$ могут быть идентифицированы как амплитуды когерентного состояния в случае глауберовских распределений P и Q, но просто как c-числа для функции Вигнера. Поскольку дифференцирование в нормальном пространстве превращается в умножение в пространстве Фурье, моменты можно вычислить по этим функциям следующим образом:

$\langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n}\rangle =\int P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{n}\alpha _{k}^{*m}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$
$\langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{\dagger n}\rangle =\int Q(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$
$\langle ({\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n})_{S}\rangle =\int W(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$

Здесь $(\cdots )_{S}$ обозначает симметричный порядок.

Все эти представления взаимосвязаны посредством свертки с помощью функций Гаусса , преобразований Вейерштрасса ,

$W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta$
$Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta$

или, используя свойство ассоциативности свертки ,

$Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ~.$

Отсюда следует, что

$P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int Q(\beta ,\beta ^{*})e^{|\lambda |^{2}+\lambda ^{*}(\alpha -\beta )-\lambda (\alpha -\beta )^{*}}\,d^{2}\beta ~d^{2}\lambda ,$

часто расходящийся интеграл, указывающий, что P часто является распределением. Q всегда шире, чем P для той же матрицы плотности. ^[10]

Например, для теплового состояния

{\hat {\rho }}={\frac {1}{{\bar {n}}+1}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\bar {n}}{1+{\bar {n}}}}\right)^{n}|n\rangle \langle n|~~,

у одного есть

P(\alpha )={\frac {1}{\pi {\bar {n}}}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{\bar {n}}}},\qquad Q(\alpha )={\frac {1}{\pi (1+{\bar {n}})}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{1+{\bar {n}}}}}~~~.

Эволюция времени и соответствия операторов

Поскольку каждое из приведенных выше преобразований от $ρ$ к функциям распределения является линейным , уравнение движения для каждого распределения можно получить, выполнив те же преобразования для ${\dot {\rho }}$ . Более того, поскольку любое основное уравнение , которое можно выразить в форме Линдблада, полностью описывается действием комбинаций операторов уничтожения и рождения на оператор плотности, полезно рассмотреть влияние таких операций на каждую из функций квазивероятности. ^[11]^[12]

Например, рассмотрим оператор уничтожения ${\widehat {a}}_{j}\,$ действующий на $ρ$ . Для характеристической функции распределения P имеем

\operatorname {tr} ({\widehat {a}}_{j}\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})={\frac {\partial }{\partial (iz_{j})}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}).

Выполнив преобразование Фурье по отношению к $\mathbf {z} \,$ найтидействие, соответствующее действию на глауберовскую P-функцию, находим

{\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \alpha _{j}P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*}).

Следуя этой процедуре для каждого из приведенных выше дистрибутивов, можно получить следующее: Соответствия оператора можно идентифицировать:

${\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
$\rho {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
${\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
$\rho {\widehat {a}}_{j}\rightarrow \left(\alpha _{j}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$

Здесь $κ = 0, 1/2$ или 1 для распределений P, Вигнера и Q соответственно. Таким образом, основные уравнения могут быть выражены в виде уравненийдвижение квазивероятностных функций.

Примеры

Когерентное состояние

По построению P для когерентного состояния $|\alpha _{0}\rangle$ это просто дельта-функция:

P(\alpha ,\alpha ^{*})=\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0}).

Представления Вигнера и Q непосредственно следуют из приведенных выше формул гауссовой свертки:

W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}

Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}.

Представление Хусими также можно найти, используя приведенную выше формулу для скалярного продукта двух когерентных состояний:

Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle \alpha _{0}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}

Фокское государство

- P представление состояния Фока $|n\rangle$ является

P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).

Поскольку при n>0 это более сингулярно, чем дельта-функция, состояние Фока не имеет классического аналога. Неклассичность становится менее очевидной при использовании гауссовских сверток. Если L _n — n-й полином Лагерра , W —

W(\alpha ,\alpha ^{*})=(-1)^{n}{\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha |^{2}}L_{n}\left(4|\alpha |^{2}\right)~,

который может стать отрицательным, но ограничен.

Q , напротив, всегда остается положительным и ограниченным,

Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi n!}}|\langle 0|{\widehat {a}}^{n}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{\pi n!}}|\langle 0|\alpha \rangle |^{2}~.

Затухающий квантовый гармонический генератор

Рассмотрим затухающий квантовый гармонический осциллятор со следующим основным уравнением:

{\frac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho }},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}]+{\frac {\gamma }{2}}(2{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-\rho {\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}})+\gamma \langle n\rangle ({\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }).

Это приводит к уравнению Фоккера–Планка :

{\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)=\left[(\gamma +i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha }}\alpha +(\gamma -i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha ^{*}}}\alpha ^{*}+{\frac {\gamma }{2}}(\langle n\rangle +\kappa ){\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \,\partial \alpha ^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t),

где κ = 0, 1/2, 1 для представлений P , W и Q соответственно.

Если система изначально находится в когерентном состоянии $|\alpha _{0}\rangle$ , то это уравнение имеет решение

\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)={\frac {1}{\pi \left[\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-2\gamma t}\right)\right]}}\exp {\left(-{\frac {\left|\alpha -\alpha _{0}e^{-(\gamma +i\omega _{0})t}\right|^{2}}{\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-2\gamma t}\right)}}\right)}~~.

См. также

Крейновское пространство

Ссылки

^ Л. Коэн (1995), Частотно-временной анализ: теория и приложения , Прентис-Холл, Аппер-Седл-Ривер, Нью-Джерси, ISBN 0-13-594532-1
^ Jump up to: ^а ^б Сударшан, ЭКГ (1 апреля 1963 г.). «Эквивалентность полуклассических и квантовомеханических описаний статистических световых лучей». Письма о физических отзывах . 10 (7). Американское физическое общество (APS): 277–279. Бибкод : 1963PhRvL..10..277S . дои : 10.1103/physrevlett.10.277 . ISSN 0031-9007 .
^ Клаудер, Джон Р. (1960). «Вариант действия и фейнмановское квантование спинорных полей в терминах обычных c-числов». Анналы физики . 11 (2). Эльзевир Б.В.: 123–168. Бибкод : 1960АнФиз..11..123К . дои : 10.1016/0003-4916(60)90131-7 . ISSN 0003-4916 .
^ Вигнер, Э. (1 июня 1932 г.). «О квантовой поправке к термодинамическому равновесию». Физический обзор . 40 (5). Американское физическое общество (APS): 749–759. Бибкод : 1932PhRv...40..749W . дои : 10.1103/physrev.40.749 . ISSN 0031-899X .
^ Глаубер, Рой Дж. (15 сентября 1963 г.). «Когерентные и некогерентные состояния радиационного поля». Физический обзор . 131 (6). Американское физическое общество (APS): 2766–2788. Бибкод : 1963PhRv..131.2766G . дои : 10.1103/physrev.131.2766 . ISSN 0031-899X .
^ Мандель, Л .; Вольф, Э. (1995), Оптическая когерентность и квантовая оптика , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-41711-2
^ Коэн, О. (1 ноября 1997 г.). «Нелокальность исходного состояния Эйнштейна-Подольского-Розена». Физический обзор А. 56 (5). Американское физическое общество (APS): 3484–3492. Бибкод : 1997PhRvA..56.3484C . дои : 10.1103/physreva.56.3484 . ISSN 1050-2947 .
^ Банашек, Конрад; Водкевич, Кшиштоф (1 декабря 1998 г.). «Нелокальность состояния Эйнштейна-Подольского-Розена в представлении Вигнера». Физический обзор А. 58 (6): 4345–4347. arXiv : Quant-ph/9806069 . Бибкод : 1998PhRvA..58.4345B . дои : 10.1103/physreva.58.4345 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119341663 .
^ Хусими, Коди. Некоторые формальные свойства матрицы плотности . Труды Физико-математического общества Японии. Том. 22. Математическое общество Японии. стр. 264–314. дои : 10.11429/ppmsj1919.22.4_264 . ISSN 0370-1239 .
^ Вольфганг Шляйх, Квантовая оптика в фазовом пространстве , (Wiley-VCH, 2001) ISBN 978-3527294350
^ Х. Дж. Кармайкл, Статистические методы в квантовой оптике I: основные уравнения и уравнения Фоккера-Планка , Springer-Verlag (2002).
^ CW Гардинер, Квантовый шум , Springer-Verlag (1991).

[1] Л. Коэн (1995), Частотно-временной анализ: теория и приложения , Прентис-Холл, Аппер-Седл-Ривер, Нью-Джерси, ISBN 0-13-594532-1

[Sudarshan-2] Jump up to: ^а ^б Сударшан, ЭКГ (1 апреля 1963 г.). «Эквивалентность полуклассических и квантовомеханических описаний статистических световых лучей». Письма о физических отзывах . 10 (7). Американское физическое общество (APS): 277–279. Бибкод : 1963PhRvL..10..277S . дои : 10.1103/physrevlett.10.277 . ISSN 0031-9007 .

[3] Клаудер, Джон Р. (1960). «Вариант действия и фейнмановское квантование спинорных полей в терминах обычных c-числов». Анналы физики . 11 (2). Эльзевир Б.В.: 123–168. Бибкод : 1960АнФиз..11..123К . дои : 10.1016/0003-4916(60)90131-7 . ISSN 0003-4916 .

[4] Вигнер, Э. (1 июня 1932 г.). «О квантовой поправке к термодинамическому равновесию». Физический обзор . 40 (5). Американское физическое общество (APS): 749–759. Бибкод : 1932PhRv...40..749W . дои : 10.1103/physrev.40.749 . ISSN 0031-899X .

[5] Глаубер, Рой Дж. (15 сентября 1963 г.). «Когерентные и некогерентные состояния радиационного поля». Физический обзор . 131 (6). Американское физическое общество (APS): 2766–2788. Бибкод : 1963PhRv..131.2766G . дои : 10.1103/physrev.131.2766 . ISSN 0031-899X .

[6] Мандель, Л .; Вольф, Э. (1995), Оптическая когерентность и квантовая оптика , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-41711-2

[7] Коэн, О. (1 ноября 1997 г.). «Нелокальность исходного состояния Эйнштейна-Подольского-Розена». Физический обзор А. 56 (5). Американское физическое общество (APS): 3484–3492. Бибкод : 1997PhRvA..56.3484C . дои : 10.1103/physreva.56.3484 . ISSN 1050-2947 .

[8] Банашек, Конрад; Водкевич, Кшиштоф (1 декабря 1998 г.). «Нелокальность состояния Эйнштейна-Подольского-Розена в представлении Вигнера». Физический обзор А. 58 (6): 4345–4347. arXiv : Quant-ph/9806069 . Бибкод : 1998PhRvA..58.4345B . дои : 10.1103/physreva.58.4345 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119341663 .

[9] Хусими, Коди. Некоторые формальные свойства матрицы плотности . Труды Физико-математического общества Японии. Том. 22. Математическое общество Японии. стр. 264–314. дои : 10.11429/ppmsj1919.22.4_264 . ISSN 0370-1239 .

[10] Вольфганг Шляйх, Квантовая оптика в фазовом пространстве , (Wiley-VCH, 2001) ISBN 978-3527294350

[11] Х. Дж. Кармайкл, Статистические методы в квантовой оптике I: основные уравнения и уравнения Фоккера-Планка , Springer-Verlag (2002).

[12] CW Гардинер, Квантовый шум , Springer-Verlag (1991).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]