Норма (математика)
В математике норма начала — это функция от действительного или комплексного векторного пространства до неотрицательных действительных чисел, которая ведет себя определенным образом, как расстояние от координат : она коммутирует с масштабированием, подчиняется форме неравенства треугольника и равна нулю. только в начале. В частности, евклидово расстояние в евклидовом пространстве определяется нормой соответствующего евклидова векторного пространства , называемой евклидовой нормой , 2-нормой или, иногда, величиной вектора. Эту норму можно определить как квадратный корень из скалярного произведения вектора на самого себя.
Полунорма . удовлетворяет первым двум свойствам нормы, но может быть равна нулю для векторов, отличных от начала координат [1] Векторное пространство с заданной нормой называется нормированным векторным пространством . Аналогичным образом векторное пространство с полунормой называется полунормированным векторным пространством .
Термин псевдонорма использовался в нескольких связанных значениях. Это может быть синонимом слова «полунорма». [1] Псевдонорма может удовлетворять тем же аксиомам, что и норма, с заменой равенства неравенством « " в аксиоме однородности. [2] [ сомнительно – обсудить ] Это также может относиться к норме, которая может принимать бесконечные значения. [3] или некоторым функциям, параметризованным направленным множеством . [4]
Определение [ править ]
Учитывая векторное пространство над подполем комплексных чисел норма на это действительнозначная функция со следующими свойствами, где обозначает обычное абсолютное значение скаляра : [5]
- Субаддитивность / неравенство треугольника : для всех
- Абсолютная однородность : для всех и все скаляры
- Положительная определенность /позитивность [6] / Разделение точек : для всех если затем
- Поскольку свойство (2.) влечет за собой некоторые авторы заменяют свойство (3.) эквивалентным условием: для каждого если и только если
Полунорма по это функция обладающий свойствами (1.) и (2.) [7] так что, в частности, каждая норма также является полунормой (и, следовательно, также сублинейным функционалом ). Однако существуют полунормы, которые не являются нормами. Свойства (1.) и (2.) означают, что если является нормой (или, в более общем смысле, полунормой), тогда и это также имеет следующее свойство:
- Неотрицательность : [6] для всех
Некоторые авторы включают неотрицательность в определение «нормы», хотя в этом нет необходимости. Хотя в этой статье слово « положительный » определяется как синоним «положительно определенного», некоторые авторы вместо этого определяют « положительный » как синоним «неотрицательного»; [8] эти определения не эквивалентны.
Эквивалентные нормы
Предположим, что и две нормы (или полунормы) в векторном пространстве Затем и называются эквивалентными , если существуют две положительные вещественные константы и с такой, что для каждого вектора
Обозначения [ править ]
Если это норма задано в векторном пространстве тогда норма вектора обычно обозначается заключением его в двойные вертикальные линии: Такое обозначение иногда используется также, если это всего лишь полунорма. Для длины вектора в евклидовом пространстве (которая является примером нормы, как объясняется ниже ) обозначение с одиночными вертикальными линиями также широко распространены.
Примеры [ править ]
Каждое векторное пространство (действительное или комплексное) допускает норму: если является базисом Гамеля векторного пространства затем карта с действительным значением, которая отправляет (где все скаляры, кроме конечного числа являются ) к это норма для [10] Существует также большое количество норм, обладающих дополнительными свойствами, которые делают их полезными для решения конкретных задач.
Абсолютная норма [ править ]
Абсолютное значение
Любая норма в одномерном векторном пространстве эквивалентно (с точностью до масштабирования) абсолютной норме, что означает, что существует сохраняющий норму изоморфизм векторных пространств где либо или а сохранение норм означает, что Этот изоморфизм задается отправкой к вектору нормы который существует, поскольку такой вектор получается умножением любого ненулевого вектора на обратную его норму.
Евклидова норма [ править ]
На -мерное евклидово пространство интуитивное понятие длины вектора определяется формулой [11]
Это евклидова норма , дающая обычное расстояние от начала координат до точки X — следствие теоремы Пифагора . Эту операцию также можно назвать «SRSS», что квадратного корня из суммы квадратов . аббревиатурой является [12]
Евклидова норма на сегодняшний день является наиболее часто используемой нормой в [11] но в этом векторном пространстве существуют и другие нормы, как будет показано ниже. Однако все эти нормы эквивалентны в том смысле, что все они определяют одну и ту же топологию в конечномерных пространствах.
Внутренний продукт двух векторов евклидова векторного пространства — это скалярное произведение их координатных векторов по ортонормированному базису . Следовательно, евклидову норму можно записать в бескоординатном виде как
Евклидову норму еще называют квадратичной нормой . норма , [13] норма , 2-норма или квадратная норма ; видеть космос . Он определяет функцию расстояния , называемую евклидовой длиной , расстояние , или расстояние .
Набор векторов в евклидова норма которого является заданной положительной константой, образует -сфера .
Евклидова норма комплексных чисел [ править ]
Евклидовой нормой комплексного числа является его абсолютное значение (также называемое модулем ) его, если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью. Это идентификация комплексного числа как вектор в евклидовой плоскости, делает величину (как впервые предложил Эйлер) евклидова норма, связанная с комплексным числом. Для , норму можно также записать как где представляет собой сопряжение комплексное
Кватернионы и октонионы [ править ]
существует ровно четыре евклидовых алгебры Гурвица Над действительными числами . Это реальные цифры комплексные числа кватернионы и, наконец, октонионы где размерности этих пространств относительно действительных чисел равны соответственно. Канонические нормы о и являются их функциями абсолютного значения , как обсуждалось ранее.
Каноническая норма о кватернионов формулой определяется
Конечномерные комплексные нормированные пространства [ править ]
На -мерное комплексное пространство наиболее распространенной нормой является
В этом случае норму можно выразить как квадратный корень из внутреннего произведения вектора на себя:
Эта формула действительна для любого пространства внутреннего произведения , включая евклидово и комплексное пространство. Для комплексных пространств внутренний продукт эквивалентен комплексному скалярному произведению . Следовательно, формулу и в этом случае можно записать, используя следующие обозначения:
такси или норма Манхэттенская Норма
Набор векторов, 1-норма которых является заданной константой, образует поверхность перекрестного многогранника , размерность которого равна размерности векторного пространства минус 1. Норму такси также называют норма . Расстояние, полученное из этой нормы, называется Манхэттенским расстоянием или расстояние .
1-норма — это просто сумма абсолютных значений столбцов.
В отличие,
р -норма [ править ]
Позволять быть действительным числом. -норма (также называемая -норма) вектора является [11]
Для тот -норма даже индуцируется каноническим скалярным произведением означающий, что для всех векторов Этот внутренний продукт можно выразить через норму, используя тождество поляризации . На этот внутренний продукт является Евклидов внутренний продукт, определяемый формулой
Это определение до сих пор представляет некоторый интерес для но результирующая функция не определяет норму, [14] потому что это нарушает неравенство треугольника . Что верно для данного случая даже в измеримом аналоге, заключается в том, что соответствующее класс является векторным пространством, и также верно, что функция
Частная производная -норма определяется выражением
Производная по следовательно, является
Для частного случая это становится
Максимальная норма (частный случай: норма бесконечности, единая норма или высшая норма )
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Vector_norm_sup.svg/144px-Vector_norm_sup.svg.png)
Если какой-то вектор такой, что затем:
Набор векторов, норма бесконечности которых является заданной константой, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра
Нулевая норма [ править ]
В вероятностном и функциональном анализе нулевая норма индуцирует полную метрическую топологию для пространства измеримых функций и F-пространства последовательностей с F-нормой [15] мы понимаем Здесь под F-нормой некоторую вещественную функцию в F-пространстве с расстоянием такой, что Описанная выше F - норма не является нормой в обычном понимании, поскольку не обладает требуемым свойством однородности.
Расстояние Хэмминга вектора от нуля [ править ]
В метрической геометрии дискретная метрика принимает значение единица для различных точек и ноль в противном случае. При применении по координатам к элементам векторного пространства дискретное расстояние определяет расстояние Хэмминга , которое важно в теории кодирования и информации . В области действительных или комплексных чисел расстояние дискретной метрики от нуля неоднородно в ненулевой точке; действительно, расстояние от нуля остается единицей, поскольку его ненулевой аргумент приближается к нулю. Однако дискретное расстояние числа от нуля удовлетворяет другим свойствам нормы, а именно неравенству треугольника и положительной определенности. При покомпонентном применении к векторам дискретное расстояние от нуля ведет себя как неоднородная «норма», которая подсчитывает количество ненулевых компонентов в своем векторном аргументе; опять же, эта неоднородная «норма» разрывна.
В обработке сигналов и статистике Дэвид Донохо ссылался на нулевую « норму » в кавычках. Согласно обозначениям Донохо, нулевая «норма» это просто количество ненулевых координат или расстояние Хэмминга вектора от нуля. Когда эта «норма» локализована в ограниченном множестве, она является пределом -нормы как приближается к 0. Конечно, нулевая «норма» на самом деле не является нормой, поскольку она не является положительно однородной . Действительно, это даже не F-норма в описанном выше смысле, поскольку она разрывна одновременно и по отдельности по отношению к скалярному аргументу при скалярно-векторном умножении и по отношению к своему векторному аргументу. Злоупотребляя терминологией , некоторые инженеры [ ВОЗ? ] опустите кавычки Донохо и неправильно назовите функцию числа ненулевых чисел норма, повторяющая обозначения пространства Лебега измеримых функций .
Бесконечные измерения [ править ]
Обобщение приведенных выше норм на бесконечное число компонент приводит к и места для с нормами
для комплексных последовательностей и функций на соответственно, что можно далее обобщить (см. меру Хаара ). Эти нормы справедливы и в пределе, поскольку , дающие высшую норму , и называются и
Любой внутренний продукт естественным образом вызывает норму.
Другие примеры бесконечномерных нормированных векторных пространств можно найти в статье о банаховом пространстве .
Как правило, эти нормы не дают одинаковых топологий. Например, бесконечномерный пространство дает строго более тонкую топологию , чем бесконечномерное пространство. пространство, когда
Композитные нормы [ править ]
Другие нормы по может быть построен путем объединения вышеперечисленного; например
Для любой нормы и любого инъективного линейного преобразования мы можем определить новую норму равно
В 3D это похоже, но отличается для 1-нормы ( октаэдры ) и максимальной нормы ( призмы с основанием параллелограмма).
Есть примеры норм, которые не определяются «поэлементными» формулами. Например, функционал Минковского центрально-симметричного выпуклого тела в (с центром в нуле) определяет норму на (см. ниже § Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества ).
Все приведенные выше формулы также дают нормы на без модификации.
Существуют также нормы на пространства матриц (с вещественными или комплексными элементами), так называемые матричные нормы .
В абстрактной алгебре [ править ]
Позволять быть конечным расширением поля неотделимой степени и разреши иметь алгебраическое замыкание различные вложения Если являются тогда теоретическая норма Галуа элемента это ценность Поскольку эта функция однородна степени , норма теории Галуа не является нормой в смысле данной статьи. Однако -й корень нормы (при условии, что концепция имеет смысл) является нормой. [16]
Композиционные алгебры
Понятие нормы в композиционных алгебрах не обладает обычными свойствами нормы, поскольку нулевые векторы допускаются . Композиционная алгебра состоит из алгебры над полем инволюция и квадратичная форма называется «нормой».
Характерной особенностью композиционных алгебр является гомоморфизма свойство : для продукта из двух элементов и композиционной алгебры, ее норма удовлетворяет В случае алгебр с делением и норма композиционной алгебры представляет собой квадрат нормы, обсуждавшейся выше. В этих случаях нормой является определенная квадратичная форма . В расщепленных алгебрах нормой является изотропная квадратичная форма .
Свойства [ править ]
По любой норме в векторном пространстве выполнено неравенство обратного треугольника :
Для нормы , имеем неравенство Гёльдера [18]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Vector_norms.svg/140px-Vector_norms.svg.png)
Каждая норма является полунормой и, следовательно, удовлетворяет всем свойствам последней . В свою очередь, каждая полунорма является сублинейной функцией и, таким образом, удовлетворяет всем свойствам последней . В частности, каждая норма является выпуклой функцией .
Эквивалентность [ править ]
Понятие единичной окружности (набора всех векторов нормы 1) в разных нормах различно: для 1-нормы единичная окружность представляет собой квадрат , ориентированный ромбом; для 2-нормы (евклидовой нормы) это известный единичный круг ; в то время как для нормы бесконечности это квадрат, выровненный по оси. Для любого -норма, это суперэллипс с конгруэнтными осями (см. сопроводительную иллюстрацию). По определению нормы единичная окружность должна быть выпуклой и центрально-симметричной (поэтому, например, единичный шар может быть прямоугольником, но не может быть треугольником, а для -норма).
С точки зрения векторного пространства полунорма определяет топологию пространства, и это топология Хаусдорфа именно тогда, когда полунорма может различать разные векторы, что снова эквивалентно тому, что полунорма является нормой. Определенную таким образом топологию (нормой или полунормой) можно понимать либо в терминах последовательностей, либо в терминах открытых множеств. Последовательность векторов говорят, что он сходится по норме к если как Эквивалентно, топология состоит из всех множеств, которые можно представить как объединение открытых шаров . Если это нормированное пространство, тогда [19]
Две нормы и в векторном пространстве называются эквивалентны , если они вызывают одну и ту же топологию, [9] что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа и такой, что для всех
В частности,
Эквивалентные нормы определяют одни и те же понятия непрерывности и конвергенции, и для многих целей их не нужно различать. Точнее, равномерная структура, определяемая эквивалентными нормами векторного пространства, является равномерно изоморфной .
полунорм: абсолютно выпуклые множества Классификация поглощающие
Все полунормы в векторном пространстве можно классифицировать в терминах абсолютно выпуклых поглощающих подмножеств. из Каждому такому подмножеству соответствует полунорма называется калибром определяется как
Любое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет локальную базу , состоящую из абсолютно выпуклых множеств. Распространенным методом построения такого базиса является использование семейства полунорм разделяющее точки : совокупность всех конечных пересечений множеств превращает пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство , так что каждое p является непрерывным .
Такой метод используется для проектирования слабых и слабых* топологий .
Нормальный случай:
- Предположим теперь, что содержит один с отделяется , это норма, и это его открытый единичный шар . Затем является абсолютно выпуклой ограниченной окрестностью 0, и является непрерывным.
- Обратное утверждение принадлежит Андрею Колмогорову : любое локально выпуклое и локально ограниченное топологическое векторное пространство нормируемо . Именно так:
- Если является абсолютно выпуклой ограниченной окрестностью точки 0, калибровка (так что это норма.
См. также [ править ]
- Асимметричная норма - Обобщение понятия нормы.
- F-полунорма – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
- Норма Гауэрса
- Норма Кадека . Все бесконечномерные сепарабельные банаховы пространства гомеоморфны.
- Спектральный анализ методом наименьших квадратов – метод расчета периодичности
- Расстояние Махаланобиса - Статистическая мера расстояния
- Величина (математика) - свойство, определяющее сравнение и упорядочивание.
- Матричная норма - Норма векторного пространства матриц.
- Расстояние Минковского - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
- Функционал Минковского - функция, составленная из множества.
- Норма оператора - мера «размера» линейных операторов.
- Паранорма – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
- Связь норм и показателей – математическое пространство с понятием расстояния.
- Полунорма - функция с неотрицательным действительным знаком в действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной.
- Сублинейная функция - тип функции в линейной алгебре.
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Кнапп, AW (2005). Базовый реальный анализ . Биркхойзер. п. [1] . ISBN 978-0-817-63250-2 .
- ^ «Псевдонорма — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 12 мая 2022 г.
- ^ «Псевдонорма» . www.spektrum.de (на немецком языке) . Проверено 12 мая 2022 г.
- ^ Хайерс, Д.Х. (1 сентября 1939 г.). «Псевдонормированные линейные пространства и абелевы группы» . Математический журнал Дьюка . 5 (3). дои : 10.1215/s0012-7094-39-00551-x . ISSN 0012-7094 .
- ^ Пью, CC (2015). Реальный математический анализ . Спрингер. п. страница 28 . ISBN 978-3-319-17770-0 . Пруговечки, Э. (1981). Квантовая механика в гильбертовом пространстве . п. страница 20 .
- ^ Перейти обратно: а б Кубруслый 2011 , с. 200.
- ^ Рудин, В. (1991). Функциональный анализ . п. 25.
- ^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 120–121.
- ^ Перейти обратно: а б с Конрад, Кейт. «Эквивалентность норм» (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . Проверено 7 сентября 2020 г.
- ^ Виланский 2013 , стр. 20–21.
- ^ Перейти обратно: а б с Вайсштейн, Эрик В. «Векторная норма» . mathworld.wolfram.com . Проверено 24 августа 2020 г.
- ^ Чопра, Анил (2012). Динамика структур, 4-е изд . Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-285803-8 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Норм» . mathworld.wolfram.com . Проверено 24 августа 2020 г.
- ^ За исключением где оно совпадает с евклидовой нормой, а где это банально.
- ^ Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: Линейные системы , Математика и ее приложения (Восточноевропейская серия), том. 29 (Перевод с польского под ред. Евы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: Издательство Д. Рейделя; PWN — Польское научное издательство, стр. xvi, 524, doi : 10.1007/978-94-015-7758-8 , ISBN. 90-277-2186-6 , МР 0920371 , OCLC 13064804
- ^ Ланг, Серж (2002) [1993]. Алгебра (пересмотренное 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 284. ИСБН 0-387-95385-Х .
- ^ Тревес 2006 , стр. 242–243.
- ^ Перейти обратно: а б Голуб, Гена ; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления (Третье изд.). Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 53. ИСБН 0-8018-5413-Х .
- ^ Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 107–113.
- ^ «Связь между p-нормами» . Математический обмен стеками .
Библиография [ править ]
- Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
- Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
- Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (второе изд.). Бостон: Биркхойзер . ISBN 978-0-8176-4998-2 . OCLC 710154895 .
- Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
- Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
- Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
- Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .