Теорема Андерсона – Кадека

В математике , в области топологии и функционального анализа , теорема Андерсона-Кадека утверждает: что любые два бесконечномерных сепарабельных как банаховых пространства или, в более общем плане, топологические пространства пространства Фреше гомеоморфны . Теорему доказали Михаил Кадец (1966) и Ричард Дэвис Андерсон .

Заявление

Каждое бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше гомеоморфно $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },$ декартово произведение счетного числа копий реальной строки $\mathbb {R} .$

Предварительные сведения

Кадека: Норма Норма $\|\,\cdot \,\|$ в нормированном линейном пространстве $X$ называется Норма Кадека относительно всего подмножества $A\subseteq X^{*}$ двойного пространства $X^{*}$ если для каждой последовательности $x_{n}\in X$ выполняется следующее условие:

• Если $\lim _{n\to \infty }x^{*}\left(x_{n}\right)=x^{*}(x_{0})$ для $x^{*}\in A$ и $\lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}\right\|=\left\|x_{0}\right\|,$ затем $\lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x_{0}\right\|=0.$

Теорема о пустоте : пространство Фреше $E$ либо изоморфно банаховому пространству, либо имеет фактор-пространство, изоморфное банаховому пространству. $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.$

Теорема о перенормировке Кадека: каждое сепарабельное банахово пространство $X$ допускает норму Кадека относительно счетного полного подмножества $A\subseteq X^{*}$ из $X^{*}.$ Новая норма эквивалентна исходной норме. $\|\,\cdot \,\|$ из $X.$ Набор $A$ в качестве любого слабозвездчатого плотного счетного подмножества единичного шара $X^{*}$

Эскиз доказательства

В аргументе ниже $E$ обозначает бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше и $\simeq$ отношение топологической эквивалентности (существование гомеоморфизма).

Отправной точкой доказательства теоремы Андерсона–Кадека является доказательство Кадека того, что любое бесконечномерное сепарабельное банахово пространство гомеоморфно $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.$

По теореме Эйдельгейта достаточно рассмотреть пространства Фреше, не изоморфные банаховому пространству. В этом случае они имеют фактор, изоморфный $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.$ Результат Бартла-Грейвса-Майкла доказывает, что тогда $$E\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$$для некоторого пространства Фреше $Y.$

С другой стороны, $E$ является замкнутым подпространством счетного бесконечного произведения сепарабельных банаховых пространств. ${\textstyle X=\prod _{n=1}^{\infty }X_{i}}$ сепарабельных банаховых пространств. Тот же результат Бартла-Грейвса-Майкла применим и к $X$ дает гомеоморфизм $$X\simeq E\times Z$$для некоторого пространства Фреше $Z.$ Из результата Кадека счетное произведение бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств $X$ гомеоморфен $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.$

Доказательство теоремы Андерсона–Кадека состоит из последовательности эквивалентностей $${\begin{aligned}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }&\simeq (E\times Z)^{\mathbb {N} }\\&\simeq E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\end{aligned}}$$

См. также

• Метризируемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.

Ссылки

• Бессага, К.; Пелчинский, А. (1975), Избранные темы бесконечномерной топологии , Monografie Matematyczne, Варшава: Panstwowe ed. научный .
• Торунчик, Х. (1981), Характеристика топологии гильбертового пространства , Fundamenta Mathematicae, стр. 247–262 .