Умножение

Эта статья о математической операции. Чтобы узнать о других значениях, см. Умножение (значения) .

«⋅» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об этом символе, см. Interpunct .

Четыре мешка по три шарика в каждом дают двенадцать шариков (4 × 3 = 12).

Умножение также можно рассматривать как масштабирование . Здесь 2 умножается на 3 с использованием масштабирования, в результате чего получается 6.

Анимация на умножение 2×3=6

4 × 5 = 20. Большой прямоугольник состоит из 20 квадратов, каждый размером 1 на 1 единицу.

Площадь полотна 4,5м × 2,5м = 11,25м. ² ; 4 1 / 2 × 2 1 / 2 = 11 1 / 4

Умножение (часто обозначаемое крестиком × в средней строке , оператором точки ⋅ , сопоставлением или, на компьютерах , звездочкой сложение * из четырёх элементарных математических операций арифметики ) — одна , остальные — . вычитание и деление . Результат операции умножения называется произведением .

Умножение целых чисел можно рассматривать как многократное сложение ; то есть умножение двух чисел эквивалентно добавлению такого количества копий одного из них, множимого , как количество другого, множителя ; оба числа можно назвать факторами .

$a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}.$

Например, 4, умноженное на 3, часто пишется как $3\times 4$ и произносится как «3 раза по 4», можно вычислить, сложив 3 копии числа 4 вместе:

$3\times 4=4+4+4=12.$

Здесь 3 ( множитель ) и 4 ( множимое ) — множители , а 12 — произведение .

Одним из основных свойств умножения является свойство коммутативности , которое в данном случае гласит, что добавление 3 копий 4 дает тот же результат, что и добавление 4 копий 3:

$4\times 3=3+3+3+3=12.$

Таким образом, обозначение множителя и множимого не влияет на результат умножения.

Систематические обобщения этого базового определения определяют умножение целых чисел (включая отрицательные), рациональных чисел (дробей) и действительных чисел.

Умножение также можно представить как подсчет объектов, расположенных в прямоугольнике (для целых чисел), или как нахождение площади прямоугольника, стороны которого имеют заданную длину . Площадь прямоугольника не зависит от того, какая сторона измеряется первой — следствие свойства коммутативности.

Произведение двух измерений (или физических величин ) — это новый тип измерения, обычно с производной единицей . Например, умножение длин (в метрах или футах) двух сторон прямоугольника дает его площадь (в квадратных метрах или квадратных футах). Такой продукт является предметом размерного анализа .

Обратная операция умножения – деление . Например, поскольку 4, умноженное на 3, равно 12, 12, разделенное на 3, равно 4. Действительно, умножение на 3 с последующим делением на 3 дает исходное число. Деление числа, отличного от 0, само по себе равно 1.

Некоторые математические концепции расширяют фундаментальную идею умножения. Произведение последовательности, векторное умножение , комплексные числа и матрицы — все это примеры, где это можно увидеть. Эти более сложные конструкции имеют тенденцию влиять на основные свойства по-своему, например, становятся некоммутативными в матрицах и некоторых формах векторного умножения или изменении знака комплексных чисел.

Обозначения

× ⋅
Знаки умножения
В Юникоде	U + 00D7 × ЗНАК УМНОЖЕНИЯ ( &раз; ) U + 22C5 ⋅ ТОЧЕЧНЫЙ ОПЕРАТОР ( &сдот; )
Отличается от
Отличается от	U+00B7 · СРЕДНЯЯ ТОЧКА U + 002E . ПОЛНАЯ ОСТАНОВКА

Основная статья: Знак умножения

Смотрите также: Мультипликатор (лингвистика)

В арифметике умножение часто записывается с использованием знака умножения (либо × , либо $\times$) между терминами (то есть в инфиксной записи ). Например,

$2\times 3=6,$ («дважды три равно шести»)

$3\times 4=12,$

$2\times 3\times 5=6\times 5=30,$

$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.$

Существуют и другие математические обозначения умножения:

• Чтобы избежать путаницы между знаком умножения × и общей переменной x , умножение также обозначается знаками точек: обычно точка в средней позиции (редко точка ): $5\cdot 2$.

Обозначение средней точки или оператор точки , закодированное в Юникоде как U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR теперь является стандартом в США и других странах, где точка используется в качестве десятичной точки . Когда символ оператора точки недоступен, точка используется (·). В других странах, где в качестве десятичного знака используется запятая , для умножения используется точка или средняя точка.

Исторически сложилось так, что в Соединенном Королевстве и Ирландии средняя точка иногда использовалась для десятичной дроби, чтобы она не исчезла в линейке, а точка/точка использовалась для умножения. Однако, поскольку в 1968 году Министерство технологий постановило использовать период в качестве десятичной точки, и стандарт Международной системы единиц (СИ) с тех пор получил широкое распространение, сейчас это использование встречается только в более традиционных журналах, таких как The Lancet .

• В алгебре умножение переменных часто записывается как сопоставление (например, $xy$ для $x$ раз $y$ или $5x$ пять раз $x$), также называемое неявным умножением . Это обозначение также можно использовать для величин, заключенных в круглые скобки (например, $5(2)$, $(5)2$ или $(5)(2)$пять раз по два). Такое неявное использование умножения может вызвать неоднозначность, когда объединенные переменные совпадают с именем другой переменной, когда имя переменной перед скобками можно спутать с именем функции или при правильном определении порядка операций .
• При векторном умножении существует различие между символами креста и точки. Символ креста обычно обозначает скалярное произведение двух векторов , в результате чего получается вектор, а точка обозначает скалярное произведение двух векторов, в результате чего получается скаляр .

В компьютерном программировании звездочка в (как 5*2) по-прежнему является наиболее распространенным обозначением. Это связано с тем, что большинство компьютеров исторически были ограничены небольшими наборами символов (такими как ASCII и EBCDIC ), в которых отсутствовал знак умножения (например, ⋅ или ×), а звездочка появилась на каждой клавиатуре. Это использование возникло в языке программирования FORTRAN .

Числа, которые нужно умножить, обычно называются «множителями» (как при факторизации ). Число, которое нужно умножить, называется «множимым», а число, на которое оно умножается, — «множителем». Обычно множитель ставится первым, а множимое — вторым; однако иногда первым фактором является множимое, а вторым - множитель. Кроме того, поскольку результат умножения не зависит от порядка множителей, различие между «множимым» и «множителем» полезно только на самом элементарном уровне и в некоторых алгоритмах умножения , таких как длинное умножение . Поэтому в некоторых источниках термин «множимое» рассматривается как синоним слова «множитель». В алгебре — число, которое является множителем переменной или выражения (например, 3 в $3xy^{2}$) называется коэффициентом .

Результат умножения называется произведением . Когда один множитель является целым числом, произведение кратно другому или произведению остальных. Таким образом, $2\times \pi$ кратно $\pi$, как есть $5133\times 486\times \pi$. Произведение целых чисел кратно каждому множителю; например, 15 является произведением 3 и 5 и кратно 3 и кратно 5.

Определения

Произведение двух чисел или умножение двух чисел можно определить для общих особых случаев: натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов.

Произведение двух натуральных чисел

3 на 4 — 12.

Произведение двух натуральных чисел $r,s\in \mathbb {N}$ определяется как:

$$r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}.$$

Произведение двух целых чисел

Целое число может быть нулем, положительным или отрицательным числом. Произведение нуля и другого целого числа всегда равно нулю. Произведение двух ненулевых целых чисел определяется произведением их положительных сумм в сочетании со знаком, полученным по следующему правилу:

$${\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &+&-\\\hline +&+&-\\-&-&+\\\hline \end{array}}$$

(Это правило является следствием распределительности умножения по сравнению с сложением и не является дополнительным правилом .)

В словах:

• Положительное число, умноженное на положительное число, является положительным (произведением натуральных чисел),
• Положительное число, умноженное на отрицательное, является отрицательным,
• Отрицательное число, умноженное на положительное, является отрицательным,
• Отрицательное число, умноженное на отрицательное число, является положительным.

Произведение двух фракций

Две дроби можно умножить, перемножив их числители и знаменатели:

$${\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}},$$

который определяется, когда $n,n'\neq 0$.

Произведение двух действительных чисел

Существует несколько эквивалентных способов формального определения действительных чисел; см. Построение действительных чисел . Определение умножения является частью всех этих определений.

Фундаментальным аспектом этих определений является то, что каждое действительное число может быть аппроксимировано с любой точностью рациональными числами . Стандартный способ выразить это состоит в том, что каждое действительное число является наименьшей верхней границей множества рациональных чисел. В частности, каждое положительное действительное число является наименьшей верхней границей усечения его бесконечного десятичного представления ; например, $\pi$ является наименьшей верхней границей $\{3,\;3.1,\;3.14,\;3,141,\ldots \}.$

Фундаментальным свойством действительных чисел является то, что рациональные приближения совместимы с арифметическими операциями и, в частности, с умножением. Это означает, что если a и b — положительные действительные числа такие, что $a=\sup _{x\in A}x$ и $b=\sup _{y\in B}y,$ затем $a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.$ В частности, произведение двух положительных действительных чисел является наименьшей верхней границей почленного произведения последовательностей их десятичных представлений.

Поскольку изменение знаков преобразует наименьшие верхние границы в максимальные нижние, самый простой способ справиться с умножением одного или двух отрицательных чисел — использовать правило знаков, описанное выше в § Произведение двух целых чисел . Часто предпочитают построение действительных чисел с помощью последовательностей Коши , чтобы избежать рассмотрения четырех возможных конфигураций знаков.

Произведение двух комплексных чисел

Два комплексных числа можно умножить с помощью закона распределения и того факта, что $i^{2}=-1$, следующее:

${\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}$

Комплексное число в полярных координатах

Геометрический смысл комплексного умножения можно понять, переписав комплексные числа в полярных координатах :

$a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }$

Более того,

$c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },$

из чего получается

$(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.$

Геометрический смысл состоит в том, что величины умножаются, а аргументы складываются.

Произведение двух кватернионов

Произведение двух кватернионов можно найти в статье о кватернионах . Обратите внимание, что в данном случае $a\cdot b$ и $b\cdot a$ в целом разные.

Вычисление

Основная статья: Алгоритм умножения

«Образованная обезьяна» — оловянная игрушка 1918 года, использовавшаяся в качестве «калькулятора» умножения. Например: установите ноги обезьяны на 4 и 9 и возьмите в руки продукт — 36.

Многие распространенные методы умножения чисел с использованием карандаша и бумаги требуют таблицы умножения заученных или проверенных произведений небольших чисел (обычно любых двух чисел от 0 до 9). Однако один из методов — алгоритм крестьянского умножения — этого не делает. Пример ниже иллюстрирует «длинное умножение» («стандартный алгоритм», «школьное умножение»):

      23958233
×         5830
———————————————
      00000000 ( =      23,958,233 ×     0)
     71874699  ( =      23,958,233 ×    30)
   191665864   ( =      23,958,233 ×   800)
+ 119791165    ( =      23,958,233 × 5,000)
———————————————
  139676498390 ( = 139,676,498,390        )
 

В некоторых странах, таких как Германия , приведенное выше умножение изображается аналогичным образом, но исходное произведение остается горизонтальным, а вычисления начинаются с первой цифры множителя:

23958233 · 5830
———————————————
   119791165
    191665864
      71874699
       00000000 
———————————————
   139676498390
 

Умножать числа вручную более чем на пару десятичных знаков утомительно и подвержено ошибкам. Десятичные логарифмы были придуманы для упрощения таких вычислений, поскольку сложение логарифмов эквивалентно умножению. Логарифмическая линейка позволяла быстро умножать числа примерно с точностью до трех знаков. Начиная с начала 20-го века механические калькуляторы , такие как Marchant , автоматизировали умножение чисел длиной до 10 цифр. Современные электронные компьютеры и калькуляторы значительно сократили необходимость умножения вручную.

Исторические алгоритмы

Способы умножения были зафиксированы в трудах древних египтян , греков, индийцев, и китайской цивилизации.

Кость Ишанго , датируемая примерно 18 000–20 000 гг. до н. э., может намекать на знания о размножении в эпоху верхнего палеолита в Центральной Африке , но это предположение.

Египтяне

Основная статья: Древнеегипетское умножение

Египетский метод умножения целых чисел и дробей, описанный в Математическом папирусе Ринда , заключался в последовательном сложении и удвоении. Например, чтобы найти произведение 13 и 21, нужно было удвоить 21 три раза, получив 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168 . Полный продукт затем можно найти, добавив соответствующие члены, найденные в последовательности удвоения:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Вавилоняне

Вавилоняне использовали шестидесятеричную позиционную систему счисления , аналогичную современной десятичной системе . Таким образом, вавилонское умножение было очень похоже на современное десятичное умножение. Из-за относительной трудности запоминания различных произведений размера 60×60 вавилонские математики использовали таблицу умножения . Эти таблицы состояли из списка первых двадцати кратных некоторого главного числа n : n , 2 n , ..., 20 n ; за которыми следуют числа, кратные 10 n : 30 n, 40 n и 50 n . Затем, чтобы вычислить любое шестидесятеричное произведение, скажем, 53 n , нужно всего лишь сложить 50 n и 3 n , вычисленные по таблице.

китайский

См. Также: Китайская таблица умножения.

38 × 76 = 2888

В математическом тексте Чжоуби Суаньцзин , датированном до 300 г. до н.э., и в «Девяти главах математического искусства» вычисления умножения были записаны словами, хотя ранние китайские математики использовали исчисление Рода , включающее сложение, вычитание, умножение и деление. китайцы уже использовали десятичную таблицу умножения К концу периода Воюющих царств .

Современные методы

Произведение чисел 45 и 256. Обратите внимание, что порядок цифр в числе 45 в левом столбце обратный. Шаг переноса умножения можно выполнить на заключительном этапе расчета (выделено жирным шрифтом), вернув конечное произведение 45×256 = 11520 . Это вариант решетчатого умножения .

Современный метод умножения, основанный на индуистско-арабской системе счисления, был впервые описан Брахмагуптой . Брахмагупта дал правила сложения, вычитания, умножения и деления. Генри Берчард Файн , в то время профессор математики в Принстонском университете , написал следующее:

Индейцы являются изобретателями не только самой позиционной десятичной системы, но и большинства процессов, связанных с элементарным счетом с ее помощью. Сложение и вычитание они производили совершенно так же, как и теперь; умножение они производили разными способами, в том числе и наш, но деление делали с трудом.

Эти алгоритмы десятичной арифметики с разрядными значениями были представлены в арабских странах Аль Хорезми в начале 9 века и популяризированы в западном мире Фибоначчи в 13 веке.

Метод сетки

Метод умножения сетки , или метод коробки, используется в начальных школах Англии и Уэльса, а также в некоторых областях. США, чтобы помочь научить понимать, как работает многозначное умножение. Примером умножения 34 на 13 может служить размещение чисел в сетке следующим образом:

×	30	4
10	300	40
3	90	12

а затем добавьте записи.

Компьютерные алгоритмы

Основная статья: Алгоритм умножения § Алгоритмы быстрого умножения для больших входных данных

Классический метод умножения двух n -значных чисел требует n ² умножения цифр. алгоритмы умножения Были разработаны , которые значительно сокращают время вычислений при умножении больших чисел. Методы, основанные на дискретном преобразовании Фурье, снижают вычислительную сложность до O ( n log n log log n ) . В 2016 году коэффициент log log n был заменен функцией, которая растет гораздо медленнее, хотя и не является постоянной. В марте 2019 года Дэвид Харви и Йорис ван дер Хувен представили статью, в которой представлен алгоритм целочисленного умножения со сложностью $O(n\log n).$ Предполагается, что алгоритм, также основанный на быстром преобразовании Фурье, является асимптотически оптимальным. Алгоритм практически бесполезен, поскольку он становится быстрее только при умножении чрезвычайно больших чисел (имеющих более 2 ^{1729 12} биты).

Продукты измерений

Основная статья: Размерный анализ

Осмысленно складывать или вычитать можно только количества одного типа, а вот количества разных типов можно без проблем умножать или делить. Например, четыре мешка по три шарика в каждом можно рассматривать как:

[4 мешка] × [3 шарика в мешке] = 12 шариков.

Когда два измерения умножаются вместе, продукт имеет тип, зависящий от типа измерений. Общая теория дается анализом размерностей . Этот анализ обычно применяется в физике, но он также имеет приложения в финансах и других прикладных областях.

Типичным примером в физике является тот факт, что умножение скорости на время дает расстояние . Например:

50 километров в час × 3 часа = 150 километров.

В этом случае часовые единицы сокращаются, в результате чего в произведении остаются только километры.

Другие примеры умножения с использованием единиц включают:

2,5 метра × 4,5 метра = 11,25 квадратных метра.

11 метров/секунд × 9 секунд = 99 метров.

4,5 жителей на дом × 20 домов = 90 жителей

Продукт последовательности

Обозначение заглавной буквы «пи»

Дополнительная информация: Итерированная бинарная операция § Обозначение.

Произведение последовательности факторов можно записать с помощью символа произведения $\textstyle \prod$, который происходит от заглавной буквы Π (пи) в греческом алфавите (так же, как символ суммирования $\textstyle \sum$ происходит от греческой буквы Σ (сигма)). Смысл этих обозначений определяется формулой

$\prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),$

что приводит к

$\prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.$

В таких обозначениях переменная i представляет собой изменяющееся целое число , называемое индексом умножения, которое начинается от нижнего значения 1 , указанного в нижнем индексе, до верхнего значения 4 , заданного верхним индексом. Продукт получается путем умножения всех коэффициентов, полученных путем замены индекса умножения на целое число между нижним и верхним значениями (включая границы) в выражении, которое следует за оператором произведения.

В более общем смысле обозначение определяется как

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},$

где m и n — целые числа или выражения, которые оцениваются как целые числа. В случае, когда m = n , значение произведения такое же, как и у одного фактора x _m ; если m > n , продукт является пустым продуктом , значение которого равно 1 — независимо от выражения для факторов.

Свойства записи заглавной буквы Пи

По определению,

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.$

Если все факторы идентичны, произведение n факторов эквивалентно возведению в степень :

$\prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.$

Ассоциативность и коммутативность умножения предполагают

$\prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)$ и

$\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}$

если a — неотрицательное целое число или если все $x_{i}$ являются положительными действительными числами , а

$\prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

я упал $a_{i}$ являются неотрицательными целыми числами или если x является положительным действительным числом.

Бесконечные продукты

Основная статья: Бесконечный продукт

Можно также рассматривать произведения бесконечного числа членов; они называются бесконечными произведениями . В условном смысле это заключается в замене n выше на символ бесконечности ∞. Продукт такой бесконечной последовательности определяется как предел произведения первых n членов, поскольку n неограниченно растет. То есть,

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$

Аналогичным образом можно заменить m на отрицательную бесконечность и определить:

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),$

при условии, что оба предела существуют.

Возведение в степень

Основная статья: Возведение в степень

Когда умножение повторяется, результирующая операция известна как возведение в степень . Например, произведение трех делителей на два (2×2×2) равно «два, возведенным в третью степень», и обозначается 2. ³ , двойка с верхним индексом три. В этом примере число два — это основание , а три — показатель степени . В общем, показатель степени (или верхний индекс) указывает, сколько раз основание появляется в выражении, чтобы выражение

$a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a$

указывает, что n копий основания a необходимо перемножить. Это обозначение можно использовать всякий раз, когда известно, что умножение является степенным ассоциативным .

Свойства

Умножение чисел 0–10. Метки строк = множимое. Ось X = множитель. Ось Y = продукт.
Распространение этой закономерности на другие квадранты объясняет, почему отрицательное число, умноженное на отрицательное число, дает положительное число.
Обратите также внимание на то, как умножение на ноль приводит к уменьшению размерности, как и умножение на сингулярную матрицу , где определитель равен 0. В этом процессе информация теряется и не может быть восстановлена.

Для действительных и комплексных чисел, к которым относятся, например, натуральные числа , целые числа и дроби , умножение имеет определенные свойства:

Коммутативное свойство

Порядок умножения двух чисел не имеет значения:

$x\cdot y=y\cdot x.$

Ассоциативное свойство

Выражения, включающие только умножение или сложение, инвариантны относительно порядка операций :

$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z).$

Распределительное свойство

Справедливо в отношении умножения над сложением. Это тождество имеет первостепенное значение для упрощения алгебраических выражений:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z.$

Элемент идентификации

Мультипликативное тождество равно 1; все, что умножено на 1, является самим собой. Эта особенность 1 известна как свойство идентичности :

$x\cdot 1=x.$

Свойство 0

Любое число, умноженное на 0, равно 0. Это известно как свойство нуля умножения:

$x\cdot 0=0.$

Отрицание

-1 раз любое число равно аддитивному обратному этому числу:

$(-1)\cdot x=(-x)$, где $(-x)+x=0.$

-1 раз -1 равно 1:

$(-1)\cdot (-1)=1.$

Обратный элемент

Каждое число x , кроме 0 , имеет мультипликативную обратную величину . ${\frac {1}{x}}$, такой, что $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$.

заказа Сохранение

Умножение на положительное число сохраняет порядок :

Для a > 0 , если b > c , то ab > ac .

Умножение на отрицательное число меняет порядок:

Для a <0 , если b > c , то ab < ac .

Комплексные числа не имеют порядка, совместимого как со сложением, так и с умножением.

Другие математические системы, включающие операцию умножения, могут не обладать всеми этими свойствами. Например, умножение, как правило, не является коммутативным для матриц и кватернионов .

Аксиомы

Основная статья: Аксиомы Пеано

В книге «Принципы арифметики, новый метод экспозита» Джузеппе Пеано предложил аксиомы арифметики, основанные на его аксиомах для натуральных чисел. Арифметика Пеано имеет две аксиомы умножения:

$x\times 0=0$

$x\times S(y)=(x\times y)+x$

Здесь S ( y представляет преемника y ; ) т. е. натуральное число, следующее за y . Различные свойства, такие как ассоциативность, могут быть доказаны на основе этих и других аксиом арифметики Пеано, включая индукцию . Например, S (0), обозначаемый 1, является мультипликативным тождеством, поскольку

$x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.$

Аксиомы целых чисел обычно определяют их как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел. Модель основана на рассмотрении ( x , y ) как эквивалента x − y , когда x и y рассматриваются как целые числа. Таким образом, и (0,1), и (1,2) эквивалентны −1. Определенная таким образом аксиома умножения целых чисел такова:

$(x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).$

Тогда правило −1 × −1 = 1 можно вывести из

$(0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).$

Умножение аналогичным образом распространяется на рациональные числа , а затем и на действительные числа .

Умножение с теорией множеств

Произведение неотрицательных целых чисел можно определить с помощью теории множеств с использованием кардинальных чисел или аксиом Пеано . показано Ниже , как распространить это на умножение произвольных целых чисел, а затем на произвольные рациональные числа. Произведение действительных чисел определяется как произведение рациональных чисел; см. построение действительных чисел .

Умножение в теории групп

Существует множество множеств, которые при операции умножения удовлетворяют аксиомам, определяющим структуру группы . Этими аксиомами являются замыкание, ассоциативность, включение единичного и обратного элементов.

Простой пример — набор ненулевых рациональных чисел . Здесь имеется тождество 1, в отличие от групп при сложении, где тождество обычно равно 0. Обратите внимание, что из рациональных чисел ноль необходимо исключить, поскольку при умножении он не имеет обратного: не существует рационального числа, которое можно было бы умножить. на ноль, чтобы получить 1. В этом примере абелева группа используется , но это не всегда так.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим набор обратимых квадратных матриц заданной размерности над заданным полем . Здесь легко проверить замыкание, ассоциативность и включение единицы ( тождественной матрицы ) и обратных значений. Однако умножение матриц не является коммутативным, что показывает, что эта группа неабелева.

Еще один факт, на который стоит обратить внимание, заключается в том, что целые числа при умножении не образуют группу, даже если исключить ноль. В этом легко убедиться по отсутствию обратного для всех элементов, кроме 1 и −1.

Умножение в теории групп обычно обозначается либо точкой, либо сопоставлением (пропуск символа операции между элементами). Таким образом, умножение элемента a на элемент b можно записать как $\cdot$ б или аб . При обращении к группе посредством указания набора и операции используется точка. Например, наш первый пример может быть обозначен как $\left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)$.

Умножение разных чисел

Числа могут считать (3 яблока), упорядочивать (третье яблоко) или измерять (высота 3,5 фута); По мере того как история математики развивалась от счета на пальцах к моделированию квантовой механики, умножение было распространено на более сложные и абстрактные типы чисел, а также на вещи, которые не являются числами (например, матрицы ) или не очень похожи на числа ( такие как кватернионы ).

Целые числа

$N\times M$представляет собой сумму N копий M, когда N и M — положительные целые числа. Это дает количество элементов в массиве N в ширину и M в высоту. Обобщение на отрицательные числа можно выполнить с помощью

$N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)$ и

$(-N)\times (-M)=N\times M$

Те же правила знаков применимы к рациональным и действительным числам.

Рациональное число

Обобщение на дроби ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}$ путем умножения числителей и знаменателей соответственно: ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}$. Это дает площадь прямоугольника ${\frac {A}{B}}$ высокий и ${\frac {C}{D}}$ в ширину и совпадает с количеством элементов в массиве, когда рациональные числа оказываются целыми числами.

Вещественные числа

Действительные числа и их произведения можно определить как последовательности рациональных чисел .

Комплексные числа

Рассматривая комплексные числа $z_{1}$ и $z_{2}$ как упорядоченные пары действительных чисел $(a_{1},b_{1})$ и $(a_{2},b_{2})$, продукт $z_{1}\times z_{2}$ является $(a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})$. Это то же самое, что и для реальных $a_{1}\times a_{2}$ когда мнимые части $b_{1}$ и $b_{2}$ равны нулю.

Эквивалентно, обозначая ${\sqrt {-1}}$ как $i$, $z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.$

Альтернативно, в тригонометрической форме, если $z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})$, затем ${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$

Дальнейшие обобщения

См. раздел «Умножение в теории групп» выше и мультипликативную группу , которая, например, включает умножение матриц. Очень общая и абстрактная концепция умножения — это «мультипликативно обозначенная» (вторая) бинарная операция в кольце . Примером кольца, не относящегося ни к одной из вышеперечисленных систем счисления, является кольцо многочленов (многочлены можно складывать и умножать, но многочлены не являются числами в обычном смысле).

Разделение

Часто разделение, ${\frac {x}{y}}$, то же самое, что умножение на обратное, $x\left({\frac {1}{y}}\right)$. Умножение для некоторых типов «числ» может иметь соответствующее деление без обратных чисел; в области целостности x может не иметь обратного " ${\frac {1}{x}}$" но ${\frac {x}{y}}$может быть определен. В теле есть обратные, но ${\frac {x}{y}}$ может быть неоднозначным в некоммутативных кольцах, поскольку $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ не обязательно должен быть таким же, как $\left({\frac {1}{y}}\right)x$.

См. также

• Размерный анализ
• Алгоритм умножения
  • Алгоритм Карацубы , для больших чисел
  • Умножение Тума – Кука для очень больших чисел.
  • Алгоритм Шёнхаге – Штрассена для огромных чисел
• Таблица умножения
• Двоичный умножитель , как умножают компьютеры
  • Алгоритм умножения Бута
  • Арифметика с плавающей запятой
  • Операция умножения-накопления
    • Слитое умножение-сложение
  • Дерево Уоллеса
• Мультипликативный обратный , взаимный
• Факториал
• Правители Женайя-Лукаса
• Лунная арифметика
• кости Нейпира
• Крестьянское умножение
• Продукт (математика) , для обобщений
• Логарифмическая линейка

Дальнейшее чтение

• Бойер, Карл Б. (редакция Мерцбаха, Уты К. ) (1991). История математики . Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN  978-0-471-54397-8 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Внешние ссылки

• Умножение и арифметические действия в различных системах . счисления
• Современные китайские методы умножения на счетах