Векторное умножение

В математике может умножение векторов относиться к одной из нескольких операций между двумя (или более) векторами . Это может касаться любой из следующих статей:

• Скалярное произведение — также известное как «скалярное произведение», бинарная операция, которая принимает два вектора и возвращает скалярную величину. Скалярное произведение двух векторов можно определить как произведение величин двух векторов и косинуса угла между двумя векторами. Альтернативно, он определяется как произведение проекции первого вектора на второй вектор и величины второго вектора. Таким образом, $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta$$
• Перекрестное произведение — также известное как «векторное произведение», бинарная операция над двумя векторами, в результате которой получается другой вектор . Перекрестное произведение двух векторов в трехмерном пространстве определяется как вектор, перпендикулярный плоскости, определяемой двумя векторами, величина которых является произведением величин двух векторов и синуса угла между двумя векторами. Итак, если $\mathbf {\hat {n}}$ – единичный вектор, перпендикулярный плоскости, определяемой векторами $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$, $$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\sin \theta \,\mathbf {\hat {n}} .$$
• Внешний продукт или клиновое произведение — бинарная операция над двумя векторами, в результате которой получается бивектор . В евклидовом трехмерном пространстве клиновое произведение $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ имеет ту же величину, что и векторное произведение $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ (площадь параллелограмма, образованного сторонами $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$), но обобщается на произвольные аффинные пространства и произведения более чем двух векторов.
• Тензорное произведение – для двух векторов $v\in V$ и $w\in W,$ где $V$ и $W$ — векторные пространства , их тензорное произведение $v\otimes w$ принадлежит тензорному произведению $V\otimes W$ векторных пространств.
• Геометрическое произведение или произведение Клиффорда – для двух векторов геометрическое произведение $$\mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$$ представляет собой смешанную величину, состоящую из скаляра и бивектора. Геометрическое произведение четко определено для любых мультивекторов в качестве аргументов.
• Билинейное произведение в алгебре над полем .
• Скобка Ли для векторов в алгебре Ли .
• Произведение Адамара – поэлементное или поэлементное произведение кортежей скалярных координат, где $(a\odot b)_{i}=a_{i}b_{i}$.
• Внешний продукт - где $(\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} )$ с $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{d},\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{d}$ приводит к $(d\times d)$ матрица.
• Тройные продукты – продукты, включающие три вектора.
• Четверные произведения – произведения, включающие четыре вектора.

Приложения

Умножение векторов имеет множество применений в математике, а также в других исследованиях, таких как физика и техника.

Физика

• Векторное произведение часто встречается при изучении вращения , где оно используется для расчета крутящего момента и углового момента . Его также можно использовать для расчета силы Лоренца , действующей на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле.
• Скалярное произведение используется для определения работы, совершаемой постоянной силой.

См. также

• Скалярное умножение
• Умножение матрицы
• Сложение векторов
• Отношения векторной алгебры