Умножение и повторное сложение

В математическом образовании велись дебаты по вопросу о том, следует ли преподавать операцию умножения как форму многократного сложения . Участники дебатов подняли множество точек зрения, включая аксиомы арифметики, педагогики, обучения и педагогического проектирования, истории математики, философии математики и компьютерной математики.

Предыстория дискуссии

В начале 1990-х годов Лесли Стефф предложила схему счета, которую дети используют для усвоения умножения в своих математических знаниях. Джер Конфри противопоставил схему подсчета гипотезе расщепления. Конфри предположил, что подсчет и расщепление — это два отдельных, независимых когнитивных примитива. Это вызвало академические дискуссии в форме презентаций на конференциях, статей и глав книг.

Дебаты возникли из-за более широкого распространения учебных программ, в которых особое внимание уделялось масштабированию, масштабированию, складыванию и измерению математических задач в первые годы. Такие задачи требуют и поддерживают модели умножения, не основанные на счете или многократном сложении. Споры вокруг вопроса: «Действительно ли умножение повторяет сложение?» появился на дискуссионных форумах родителей и учителей в середине 1990-х годов.

Кейт Девлин написал колонку Математической ассоциации Америки под названием «Это не повторяющееся сложение», в которой развил его обмен электронными письмами с учителями после того, как он кратко упомянул эту тему в более ранней статье. Колонка связала академические дебаты с дебатами практиков. Это вызвало множество дискуссий в исследованиях, блогах и форумах практиков. Кейт Девлин продолжал писать на эту тему.

Педагогические перспективы

От счета к умножению

В типичных учебных программах и стандартах по математике, таких как Common Core State Standards Initiative , значение произведения действительных чисел проходит через ряд понятий, обычно начинающихся с многократного сложения и в конечном итоге заключающихся в масштабировании.

После того как натуральные (или целые) числа определены и поняты как средство счета, ребенок знакомится с основными арифметическими операциями в следующем порядке: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции, хотя и вводятся на очень ранней стадии математического образования ребенка, оказывают длительное влияние на развитие у учащихся чувства числа как продвинутых числовых способностей.

В этих учебных программах умножение вводится сразу после постановки вопросов, связанных с повторным сложением, например: «Есть 3 мешка по 8 яблок в каждом. Сколько всего яблок? Учащийся может сделать:

$8+8+8=24,$

или выберите альтернативу

$3\times 8=24.$

Этот подход поддерживается в течение нескольких лет преподавания и обучения и создает представление о том, что умножение — это просто более эффективный способ сложения. Если введен 0, это не повлияет на существенные изменения, поскольку

$3\times 0=0+0+0,$

который равен 0, и свойство коммутативности привело бы нас также к определению

$0\times 3=0.$

Таким образом, повторное сложение распространяется на целые числа (0, 1, 2, 3, 4,...). Первый вызов убеждению в том, что умножение — это многократное сложение, возникает, когда учащиеся начинают работать с дробями. С математической точки зрения умножение как многократное сложение можно разложить на дроби. Например,

$7/4\times 5/6$

буквально призывает к «одной и трем четвертям от пяти шестых». Позже это становится важным, поскольку учащихся учат, что в задачах со словами слово «из» обычно указывает на умножение. Однако это расширение проблематично для многих учащихся, у которых начинаются проблемы с математикой, когда вводятся дроби. Более того, модель повторного сложения должна быть существенно изменена, когда иррациональные числа в игру вступают .

Что касается этих проблем, преподаватели математики спорят о том, усугубляются ли трудности учащихся с дробями и иррациональными числами, если рассматривать умножение как повторяющееся сложение в течение длительного времени до того, как эти числа будут введены, и, соответственно, приемлемо ли существенно модифицировать строгую математику для начального образования, детям верить утверждениям, которые впоследствии оказываются неверными.

От масштабирования к умножению

Умножение также можно рассматривать как масштабирование. В приведенной выше анимации мы видим, как 3 умножается на 2, в результате чего получается 6.

Одна из теорий обучения умножению основана на работе русских преподавателей математики из кружка Выготского , который действовал в Советском Союзе между мировыми войнами. Их вклад известен как гипотеза о расщеплении.

Другая теория обучения умножению исходит от исследователей воплощенного познания , которые исследовали основные метафоры умножения.

Вместе эти исследования вдохновили учебные программы с «по своей сути мультипликативными» задачами для маленьких детей. Примеры этих задач включают в себя: упругое растяжение, масштабирование, складывание, проецирование или отбрасывание теней. Эти задачи не зависят от счета, и их нелегко концептуализировать с точки зрения многократного сложения.

Вопросы дебатов, связанные с этими учебными программами, включают:

• доступны ли эти задания всем детям раннего возраста или только лучшим ученикам;
• смогут ли дети достичь беглости вычислений, если они будут воспринимать умножение как масштабирование, а не как многократное сложение;
• могут ли дети запутаться в двух отдельных подходах к умножению, представленных близко друг к другу; и
• нужно ли вводить масштабирование и повторное сложение отдельно, и если да, то когда и в каком порядке?

Что можно умножить?

Умножение часто определяют для натуральных чисел , а затем распространяются на целые числа, дроби и иррациональные числа. Однако в абстрактной алгебре есть более общее определение умножения как бинарной операции над некоторыми объектами, которые могут быть или не быть числами. Примечательно, что можно умножать комплексные числа , векторы , матрицы и кватернионы . Некоторые преподаватели полагают, что рассмотрение умножения исключительно как повторяющегося сложения в ходе начального обучения может помешать более позднему пониманию этих аспектов умножения.

Модели и метафоры, обосновывающие умножение

В контексте математического образования модели — это конкретные представления абстрактных математических идей, которые отражают некоторые или все существенные качества идеи. Модели часто разрабатываются как физические или виртуальные манипулятивные средства и сопровождающие их учебные материалы.

Частью дискуссии об умножении и повторном сложении является сравнение различных моделей и учебных материалов к ним. Различные модели могут поддерживать или не поддерживать умножение чисел разных типов; например, установленная модель в котором числа представлены как совокупности объектов, а умножение — как объединение множества множеств с одинаковым числом объектов в каждом, не может быть расширено до умножения дробных или действительных чисел.

Различные модели также могут иметь отношение к конкретным приложениям арифметики; например, комбинированные модели возникают в теории вероятности и биологии.