Лунная арифметика

Лунная арифметика , прежде называвшаяся мрачной арифметикой , — это версия арифметики сложения и умножения , в которой операции цифр определяются как максимальные и минимальные операции. Таким образом, в лунной арифметике

$2+7=\max\{2,7\}=7$ и $2\times 7=\min\{2,7\}=2.$

Лунные арифметические операции над неотрицательными многозначными числами выполняются так же, как и в обычной арифметике, как показано в следующих примерах. Мир лунной арифметики ограничен набором неотрицательных целых чисел .

 976 +
 348
 ----
 978 (adding digits column-wise)

    976 ×
    348
   ----
   876 (multiplying the digits of 976 by 8)
  444  (multiplying the digits of 976 by 4)
 333   (multiplying the digits of 976 by 3)
 ------
 34876 (adding digits column-wise)

Концепция лунной арифметики была предложена Дэвидом Эпплгейтом, Марком Лебреном и Нилом Слоаном .

В общем определении лунной арифметики рассматриваются числа, выраженные в произвольной системе счисления. $b$ и определим лунные арифметические операции как максимальные и минимальные операции над цифрами, соответствующими выбранному основанию. Однако для простоты в последующем обсуждении предполагается, что числа представлены с использованием 10 в качестве основания .

Свойства лунных операций

Ниже перечислены некоторые элементарные свойства лунных операций.

1. Лунные операции сложения и умножения удовлетворяют коммутативным и ассоциативным законам.
2. Лунное умножение распределяется по лунному сложению.
3. Цифра 0 — это тождество при лунном сложении. Ни одно ненулевое число не имеет обратного значения при лунном сложении.
4. Цифра 9 — это тождество при лунном умножении. Никакое число, отличное от 9, не имеет обратного значения при лунном умножении.

Некоторые стандартные последовательности

Четные числа

Следует отметить, что в лунной арифметике $n+n\neq 2\times n$ и $n+n=n$. Четные числа – это числа вида $2\times n$. Первые несколько четных чисел лунной арифметики перечислены ниже:

$0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,120,121,122,\ldots$

Это числа, все цифры которых меньше или равны 2.

Квадраты

Квадратное число – это число вида $n\times n$. Итак, в лунной арифметике первые несколько квадратов следующие.

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,100,111,112,113,114,115,116,117,118,119,200,\ldots$

Треугольные числа

– Треугольное число это число вида $1+2+\cdots +n$. Первые несколько треугольных лунных чисел:

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,19,19,19,19,19,19,19,19,19,19,29,29,29,29,29,\ldots$

Факториалы

В лунной арифметике первые несколько значений факториала $n!=1\times 2\times \cdots \times n$ следующие:

$1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,110,1110,11110,111110,1111110,\ldots$

Простые числа

В обычной арифметике простым числом называют число $p$ единственная возможная факторизация которого - это $1\times p$. Аналогично в лунной арифметике простое число определяется как число $m$ единственная факторизация которого $9\times n$ где 9 — мультипликативное тождество, соответствующее 1 в обычной арифметике. Соответственно, ниже приведены несколько первых простых чисел лунной арифметики:

$19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,109,209,219,$

$309,319,329,409,419,429,439,509,519,529,539,549,609,619,629,639,\dots$

Каждое число формы $10\ldots (n{\text{ zeros}})\ldots 09$, где $n$ произвольно, является простым числом в лунной арифметике. С $n$ произвольно, это показывает, что в лунной арифметике существует бесконечное количество простых чисел.

Сумметы и лунное умножение

Существует интересная связь между операцией формирования сумм подмножеств подмножеств неотрицательных целых чисел и лунным умножением двоичных чисел . Позволять $A$ и $B$ быть непустыми подмножествами множества $N$ неотрицательных целых чисел. Итог $A+B$ определяется

$A+B=\{a+b:a\in A,\,b\in B\}.$

На съемочную площадку $A$ мы можем связать уникальное двоичное число $\beta (A)$ следующее. Позволять $m=\max(A)$. Для $i=0,1,\ldots ,m$ мы определяем

$b_{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i\in A\\0&{\text{if }}i\notin A\end{cases}}$

и затем мы определяем

$\beta (A)=b_{m}b_{m-1}\ldots b_{0}.$

Было доказано, что

$\beta (A+B)=\beta (A)\times \beta (B)$ где " $\times$"справа обозначает лунное умножение двоичных чисел.

Магические квадраты квадратов с использованием лунной арифметики

Магический квадрат квадратов — это магический квадрат, образованный квадратами чисел. Неизвестно, существуют ли магические квадраты квадратов 3-го порядка при обычном сложении и умножении целых чисел. Однако было замечено, что, если рассматривать лунные арифметические операции, существует бесконечное количество магических квадратов квадратов третьего порядка. Вот пример:

${\begin{matrix}44^{2}&38^{2}&45^{2}\\46^{2}&0^{2}&28^{2}\\18^{2}&47^{2}&8^{2}\end{matrix}}$

См. также

• Тропическая арифметика

Внешние ссылки

• Простые числа на Луне (Лунная арифметика) на YouTube