Решётчатое умножение
Умножение решетки , также известное как итальянский метод , китайский метод , китайская решетка , умножение гелосии , [1] Умножение через решето , шабах , по диагонали или венецианские квадраты — метод умножения используется решетка , в котором для умножения двух многозначных чисел . Он математически идентичен более часто используемому алгоритму длинного умножения , но разбивает процесс на более мелкие шаги, которые некоторые специалисты находят более простыми в использовании. [2]
Этот метод возник уже в средние века и веками использовался во многих различных культурах. Сегодня его до сих пор преподают в некоторых учебных программах. [3] [4]
Метод [ править ]
Рисуется сетка, и каждая ячейка разбивается по диагонали. Два множимых произведения, которое необходимо вычислить, записываются вдоль верхней и правой стороны решетки соответственно, по одной цифре в каждом столбце сверху для первого множимого (число, написанное слева направо) и по одной цифре в каждой строке вниз. правая часть для второго множимого (число, написанное сверху вниз). Затем каждая ячейка решетки заполняется произведением цифры ее столбца и строки.
В качестве примера рассмотрим умножение 58 на 213. После записи множимых по сторонам рассмотрим каждую ячейку, начиная с левой верхней клетки. В этом случае цифра столбца равна 5, а цифра строки — 2. Запишите их произведение 10 в ячейку так, чтобы цифра 1 находилась над диагональю, а цифра 0 — под диагональю (см. рисунок для шага 1).
Если в простом произведении отсутствует цифра в разряде десятков, просто заполните разряд десятков цифрой 0. [2]
После того, как все ячейки заполнены таким образом, цифры в каждой диагонали суммируются, начиная с нижней правой диагонали и заканчивая левой верхней. Каждая диагональная сумма записывается там, где заканчивается диагональ. Если сумма содержит более одной цифры, значение десятков переносится в следующую диагональ (см. Шаг 2).
Числа заполнены слева и снизу сетки, а ответом являются числа, прочитанные вниз (слева) и поперек (внизу). В показанном примере результат умножения 58 на 213 равен 12354.
Умножение десятичных дробей [ править ]
Технику решетки можно также использовать для умножения десятичных дробей . Например, процесс умножения 5,8 на 2,13 аналогичен умножению 58 на 213, как описано в предыдущем разделе. Чтобы найти положение десятичной точки в окончательном ответе, можно провести вертикальную линию от десятичной точки в 5.8 и горизонтальную линию от десятичной точки в 2.13. (См. рисунок для шага 4.) Диагональ сетки, проходящая через пересечение этих двух линий, определяет положение десятичной точки в результате. [2] В показанном примере результат умножения 5,8 и 2,13 равен 12,354.
История [ править ]
Хотя умножение решетки исторически использовалось во многих культурах, метод под названием «Капат-сандхи», очень похожий на метод решетки, упоминается в комментарии Бхаскарачарьи к «Лилавати», книге индийской математики XII века. Исследуется, где он возник впервые, развивался ли он независимо более чем в одном регионе мира. [5] Самое раннее зарегистрированное использование решеточного умножения: [6]
- по арабской математике был Ибн аль-Банна аль-Марракуши в его « Талхиш а'маль аль-Хисаб» в Магрибе в конце 13 века.
- в европейской математике был неизвестным автором латинского трактата в Англии Tractatus de minutis philosophicis et vulgaris , ок. 1300
- в китайской математике был У Цзин в его «Цзючжан суаньфа билей дацюань» , завершенном в 1450 году.
Математик и педагог Дэвид Юджин Смит утверждал, что умножение решетки было завезено в Италию с Ближнего Востока. [7] Это подкрепляется тем, что арабский термин, обозначающий метод, шабах , имеет то же значение, что и итальянский термин, обозначающий метод, гелосия , а именно, металлическая решетка или решетка (решетка) для окна.
Иногда ошибочно утверждают, что решеточное умножение было описано Мухаммадом ибн Мусой аль-Хорезми (Багдад, ок. 825 г.) или Фибоначчи в его «Liber Abaci» (Италия, 1202, 1228 г.). [8] Однако на самом деле ни один из этих двух авторов не обнаружил использования решеточного умножения. В главе 3 своей книги «Liber Abaci » Фибоначчи описывает родственную технику умножения, которую он назвал Quadrilatero in forma scherii («прямоугольник в форме шахматной доски»). В этом методе квадратные ячейки не делятся по диагонали; в каждую ячейку записывается только цифра младшего разряда, тогда как любую цифру старшего порядка необходимо запомнить или записать в другом месте, а затем «перенести» для добавления в следующую ячейку. В этом отличие от решетчатого умножения, отличительной особенностью которого является то, что каждая ячейка прямоугольника имеет свое правильное место для переносимой цифры; это также означает, что ячейки могут заполняться в любом желаемом порядке. Свец [9] сравнивает и противопоставляет умножение гелозией (решеткой), скачериями (шахматной доской) и другими табличными методами.
Другие известные исторические применения умножения решетки включают: [6]
- «Мифтах аль- Хисаб » Джамшида аль- Каши (Самарканд, 1427 г.), в котором используются шестидесятеричные цифры (основание 60), а сетка повернута на 45 градусов в «ромбовидную» ориентацию.
- Arte dell'Abbaco , анонимный текст, опубликованный на венецианском диалекте в 1478 году, часто называемый « Арифметикой Тревизо» , потому что он был напечатан в Тревизо, недалеко от Венеции, Италия.
- Луки Пачоли ( «Сумма арифметики» Венеция, 1494 г.)
- комментарий индийского астронома Ганеши к Бхаскары II » « Лилавати (16 век).
Производные [ править ]
Выводы этого метода также появились в работах XVI века « Умдет-уль Хисаб» османско -боснийского эрудита Матракчи Насуха . [10] Треугольная версия техники умножения Матракчи Насуха показана в примере, показывающем 155 x 525 справа, и объяснена в примере, показывающем 236 x 175 на левом рисунке. [11]
Тот же принцип, описанный Матракчи Насухом, лег в основу более позднего развития счетных стержней, известных как кости Непера (Шотландия, 1617 г.) и линейки Женайя-Лукаса (Франция, конец 1800-х годов).
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Уильямс, Майкл Р. (1997). История вычислительной техники (2-е изд.). Лос-Аламитос, Калифорния: Издательство IEEE Computer Society Press. ISBN 0-8186-7739-2 . ОСЛК 35723637 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Томас, Вики (2005). «Решётчатое умножение» . Изучите НК . Педагогическая школа UNC . Проверено 4 июля 2014 г.
- ^ Боаг, Элизабет (ноябрь 2007 г.). " "Решётчатое умножение" " . Бюллетень BSHM: Журнал Британского общества истории математики . 22 (3): 182–184. дои : 10.1080/14794800008520169 . S2CID 122212455 . Проверено 25 февраля 2022 г.
- ^ Ньюджент, Патрисия (2007). « Умножение решеток в классе предварительной подготовки » . Национальный совет учителей математики . 13 (2): 110–113. дои : 10.5951/MTMS.13.2.0110 . Проверено 25 февраля 2022 г.
- ^ Жан-Люк Шабер, изд., История алгоритмов: от гальки до микрочипа (Берлин: Springer, 1999), стр. 21.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Жан-Люк Шабер, изд., «История алгоритмов: от гальки до микрочипа» (Берлин: Springer, 1999), стр. 21–26.
- ^ Смит, Дэвид Юджин, История математики , Vol. 2, «Специальные темы элементарной математики» (Нью-Йорк: Дувр, 1968).
- ↑ Оригинальная версия Liber Abaci 1202 года утеряна. Версия 1228 года была позже опубликована на оригинальном латинском языке в Boncompagni, Baldassarre, Scritti di Leonardo Pisano , vol. 1 (Рим: Tipografia delle Scienze Matematiche e Fisiche, 1857 г.); его английский перевод был опубликован Сиглером, Лоуренсом Э., « Liber Abaci Фибоначчи: перевод на современный английский языка книги вычислений Леонардо Пизано» (Нью-Йорк: Springer Verlag, 2002).
- ^ Светц, Фрэнк Дж., Капитализм и арифметика: Новая математика 15-го века, включая полный текст арифметики Тревизо 1478 года, перевод Дэвида Юджина Смита (La Salle, IL: Open Court, 1987), стр. 205 -209.
- ^ Корлу, М.С., Берлбоу, Л.М., Капраро, Р.М., Корлу, Массачусетс, и Хан, С. (2010). «Школа Османского дворца Эндерун и человек с множеством талантов Матракчи Насух». Журнал Корейского общества математического образования , Серия D: Исследования в области математического образования. 14(1), стр. 19-31.
- ^ Капраро, Роберт (январь 2010 г.). «Чорлу, М.С., Бурлбоу, Л.М., Капраро, Р.М., Хан, С. и Чорлу, Массачусетс (2010). Османская дворцовая школа и человек с множеством талантов, Матракчи Насух. Журнал Корейского общества математического образования, серия D : Исследования в области математического образования, 14 (1), 19–31» . D-수학교육연구 .