кости Нейпира
 | В этой статье есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )
|
| Вычислительные устройства в |
| Рабдология |
|---|
| кости Нейпира |
| Промпуарий |
| Арифметика местоположения |
Кости Непера — это счетное устройство с ручным управлением, созданное Джоном Нейпиром из Мерчистона , Шотландия, для вычисления произведений и частных чисел. Метод был основан на решеточном умножении и также назывался рабдологией — словом, придуманным Нейпиром. Напье опубликовал свою версию в 1617 году. [ 1 ] Он был напечатан в Эдинбурге и посвящен своему покровителю Александру Сетону .
Используя таблицы умножения, встроенные в стержни, умножение можно свести к действиям сложения, а деление — к вычитаниям. Расширенное использование стержней позволяет извлекать квадратные корни . Кости Нэпьера — это не то же самое, что логарифмы , с которыми также связано имя Нэпьера, а основанные на разрезанных таблицах умножения.
В комплект устройства обычно входит основание с бортиком; пользователь помещает стержни Непера и ободок для выполнения умножения или деления. Левый край доски разделен на девять квадратов, на которых записаны цифры от 1 до 9. В оригинальной конструкции Нейпира стержни сделаны из металла, дерева или слоновой кости и имеют квадратное поперечное сечение. На каждом стержне на каждой из четырех граней выгравирована таблица умножения. В некоторых более поздних конструкциях стержни плоские, с выгравированными на них двумя или только одной пластинками и сделаны из пластика или тяжелого картона. Набор таких костей можно было бы положить в футляр для переноски.
Лицо стержня отмечено девятью квадратами. Каждый квадрат, кроме верхнего, разделен на две половины диагональной линией, идущей из левого нижнего угла в правый верхний. В квадратах находится простая таблица умножения. Первый содержит одну цифру, которую Нэпьер назвал «единственной». Остальные содержат числа, кратные одному, а именно удвоенное число, трижды большее число и так далее до девятого квадрата, содержащего девятикратное число в верхнем квадрате. Однозначные числа записываются в правом нижнем треугольнике, оставляя другой треугольник пустым, а двузначные числа записываются с цифрами по обе стороны от диагонали.
Если таблицы держатся на односторонних стержнях, то для умножения четырехзначных чисел потребуется 40 стержней – поскольку числа могут иметь повторяющиеся цифры, то для каждой из цифр от 0 до 9 необходимо четыре экземпляра таблицы умножения. Если использовать квадратные стержни, то 40 таблиц умножения можно вписать на 10 стержней. Нэпьер подробно описал схему расположения таблиц так, чтобы ни один стержень не имел двух копий одной и той же таблицы, что позволяет представить каждое возможное четырехзначное число четырьмя из 10 стержней. Набор из 20 стержней, состоящий из двух одинаковых копий 10 стержней Нейпира, позволяет производить вычисления с числами до восьми цифр, а набор из 30 стержней можно использовать для 12-значных чисел.
Умножение
[ редактировать ]Самый простой вид умножения числа с несколькими цифрами на число с одной цифрой выполняется путем размещения стержней, представляющих многозначное число, в рамке напротив левого края. Ответ считывается из строки, соответствующей однозначному числу, отмеченному в левой части рамки, с небольшим добавлением, как показано в примерах ниже.
При умножении многозначного числа на другое многозначное число на стержнях в рамке устанавливается большее число. Промежуточный результат выдает устройство умножения на каждую из цифр меньшего числа. Они записываются, а окончательный результат подсчитывается ручкой и бумагой.
Чтобы продемонстрировать, как использовать кости Нэпьера для умножения, ниже объясняются три примера возрастающей сложности.
Умножение на небольшое однозначное число
[ редактировать ]Первый пример вычисляет 425 × 6 .
Кости Нэпьера для чисел 4, 2 и 5 последовательно размещаются на доске. Эти кости показывают большую цифру, которая будет умножена. Числа ниже в каждом столбце или кости — это цифры, найденные с помощью обычной таблицы умножения соответствующего целого числа, расположенные выше и ниже диагональной линии. (Например, цифры, показанные в седьмом ряду кости 4, равны 2 ⁄ 8 , что соответствует 7 × 4 = 28. ) В приведенном ниже примере для 425 × 6 кости здесь изображены красными (4), желтыми (2) и синими (5).
Крайний левый столбец, предшествующий костям, показанным цветным, может обозначать кость 1. (Следует понимать пробел или ноль в левом верхнем углу каждой цифры, разделенный диагональной линией, поскольку 1 × 1 = 01 , 1 × 2 = 02 , 1 x 3 = 03 и т. д.) Маленькое число — это обычно выбираются от 2 до 9, на которые умножается большое число. В этом примере маленькое число, на которое умножается большее, равно 6. Горизонтальная строка, в которой находится это число, является единственной строкой, необходимой для выполнения остальных вычислений, и теперь ее можно рассматривать изолированно.
Для расчета цифры, разделенные вертикальными линиями (т.е. попарно между диагональными линиями, переходящими от одной кости к другой), складываются вместе, чтобы сформировать цифры произведения. Последнее (крайнее правое) число в этой строке никогда не потребует сложения, поскольку оно всегда отделено последней диагональной линией и всегда будет последней цифрой произведения. В этом примере четыре цифры, поскольку между диагональными линиями лежат четыре группы значений костей. Цифры продукта будут стоять в порядке расчета слева направо. За исключением первой и последней цифр, каждая цифра произведения будет представлять собой сумму двух значений, взятых из двух разных костей.
Значения костей складываются, как описано выше, чтобы найти цифры произведения. На этой диаграмме соответствующие значения третьей цифры продукта на желтых и синих костях окрашены в зеленый цвет. Каждая сумма записывается в поле ниже. Последовательность суммирования слева направо дает число 2550. Следовательно, решение умножения 425 на 6 равно 2550.
Умножение на большее однозначное число
[ редактировать ]При умножении на более крупные однозначные цифры обычно при добавлении диагонального столбца сумма чисел дает число, равное 10 или больше.
Второй пример вычисляет 6785 × 8 .
Как и в примере 1, на доске размещаются кости, соответствующие наибольшему числу. В этом примере кости 6, 7, 8 и 5 были расположены в правильном порядке, как показано ниже.
В первом столбце расположено число, на которое умножено наибольшее число. В этом примере число было 8. Для оставшихся вычислений будет использоваться только строка 8, поэтому остальная часть доски очищена для ясности при объяснении оставшихся шагов.
Как и раньше, оценивается каждый диагональный столбец, начиная с правой стороны. Если сумма диагонального столбца равна 10 или больше, разряд десятков этой суммы необходимо перенести и сложить вместе с числами в соседнем левом столбце, как показано ниже.
После оценки каждого диагонального столбца вычисленные числа читаются слева направо для получения окончательного ответа; в данном примере было произведено 54280.
Следовательно: Решение умножения 6785 на 8 равно 54280.
Умножение на многозначное число
[ редактировать ]Третий пример вычисляет 825 × 913 .
Соответствующие кости ведущему номеру размещаются на доске. В этом примере кости 8, 2 и 5 были расположены в правильном порядке, как показано ниже.
Для умножения на многозначное число просматриваются несколько строк. В этом примере строки 9, 1 и 3 были удалены с доски для ясности.
Каждая строка оценивается индивидуально, и каждый диагональный столбец добавляется, как описано в предыдущих примерах. Суммы считываются слева направо, в результате чего получаются числа, необходимые для последующих вычислений сложения длинной рукой. В этом примере строки 9, строки 1 и строки 3 оценивались отдельно, чтобы получить результаты, показанные ниже.
Начиная с самой правой цифры второго числа, суммы размещаются по строкам в последовательном порядке, если смотреть справа налево друг под другом, с использованием 0 в качестве заполнителя.
2475 8250 742500
Строки и заполнители суммируются для получения окончательного ответа.
2475
8250
+ 742500
753225
В этом примере окончательный ответ был 753225. Следовательно: Решение умножения 825 на 913 равно 753225.
Разделение
[ редактировать ]Деление производится аналогичным образом. Чтобы разделить 46785399 на 96431, на доске размещаются столбики делителя (96431), как показано на рисунке ниже. С помощью счетов можно найти все произведения делителя от 1 до 9, читая отображаемые числа. Обратите внимание, что делимое имеет восемь цифр, тогда как все частичные произведения (за исключением первого) имеют шесть цифр. Таким образом, последние две цифры числа 46785399, а именно «99», временно игнорируются, оставляя число 467853. Затем находится наибольшее частичное произведение, меньшее усеченного делимого. В данном случае это 385724. Необходимо отметить две вещи, как показано на диаграмме: поскольку 385724 находится в ряду «4» на счетах, цифра «4» отмечается как самая левая цифра частного; также записывается частичный продукт, выровненный по левому краю, под исходным делимым. Два члена вычитаются, в результате чего остается 8212999. Повторяются те же шаги: число усекается до шести цифр, выбирается частичное произведение, сразу меньшее, чем усеченное число, номер строки записывается как следующая цифра частного и частичный продукт вычитается из разницы, найденной при первом повторении. Процесс показан на схеме. Цикл повторяется до тех пор, пока результат вычитания не станет меньше делителя. Оставшееся число — остаток.
Итак, в этом примере остается частное 485 с остатком 16364. На этом процесс обычно останавливается, и ответ использует дробную форму. 485 + 16364 / 96431 .
Для большей точности цикл продолжается для поиска необходимого количества десятичных знаков. После последней цифры частного ставится десятичная точка, а к остатку добавляется ноль, в результате чего получается 163640. Цикл продолжается, каждый раз добавляя ноль к результат после вычитания.
Извлечение квадратных корней
[ редактировать ]Для извлечения квадратного корня используется дополнительная кость, которая отличается от остальных тремя столбцами. В первом столбце записаны первые девять квадратных чисел, во втором — первые девять четных чисел, а в последнем — числа от 1 до 9.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | √ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 ⁄ 1 | 0 ⁄ 2 | 0 ⁄ 3 | 0 ⁄ 4 | 0 ⁄ 5 | 0 ⁄ 6 | 0 ⁄ 7 | 0 ⁄ 8 | 0 ⁄ 9 | 0 ⁄ 1 2 1 |
| 2 | 0 ⁄ 2 | 0 ⁄ 4 | 0 ⁄ 6 | 0 ⁄ 8 | 1 ⁄ 0 | 1 ⁄ 2 | 1 ⁄ 4 | 1 ⁄ 6 | 1 ⁄ 8 | 0 ⁄ 4 4 2 |
| 3 | 0 ⁄ 3 | 0 ⁄ 6 | 0 ⁄ 9 | 1 ⁄ 2 | 1 ⁄ 5 | 1 ⁄ 8 | 2 ⁄ 1 | 2 ⁄ 4 | 2 ⁄ 7 | 0 ⁄ 9 6 3 |
| 4 | 0 ⁄ 4 | 0 ⁄ 8 | 1 ⁄ 2 | 1 ⁄ 6 | 2 ⁄ 0 | 2 ⁄ 4 | 2 ⁄ 8 | 3 ⁄ 2 | 3 ⁄ 6 | 1 ⁄ 6 8 4 |
| 5 | 0 ⁄ 5 | 1 ⁄ 0 | 1 ⁄ 5 | 2 ⁄ 0 | 2 ⁄ 5 | 3 ⁄ 0 | 3 ⁄ 5 | 4 ⁄ 0 | 4 ⁄ 5 | 2 ⁄ 5 10 5 |
| 6 | 0 ⁄ 6 | 1 ⁄ 2 | 1 ⁄ 8 | 2 ⁄ 4 | 3 ⁄ 0 | 3 ⁄ 6 | 4 ⁄ 2 | 4 ⁄ 8 | 5 ⁄ 4 | 3 ⁄ 6 12 6 |
| 7 | 0 ⁄ 7 | 1 ⁄ 4 | 2 ⁄ 1 | 2 ⁄ 8 | 3 ⁄ 5 | 4 ⁄ 2 | 4 ⁄ 9 | 5 ⁄ 6 | 6 ⁄ 3 | 4 ⁄ 9 14 7 |
| 8 | 0 ⁄ 8 | 1 ⁄ 6 | 2 ⁄ 4 | 3 ⁄ 2 | 4 ⁄ 0 | 4 ⁄ 8 | 5 ⁄ 6 | 6 ⁄ 4 | 7 ⁄ 2 | 6 ⁄ 4 16 8 |
| 9 | 0 ⁄ 9 | 1 ⁄ 8 | 2 ⁄ 7 | 3 ⁄ 6 | 4 ⁄ 5 | 5 ⁄ 4 | 6 ⁄ 3 | 7 ⁄ 2 | 8 ⁄ 1 | 8 ⁄ 1 18 9 |
Чтобы найти квадратный корень из числа 46785399, его цифры сгруппированы по двое, начиная справа, и это выглядит следующим образом:
- 46 78 53 99
- Примечание. Число с нечетным количеством цифр, например 85399, будет сгруппировано как 08 53 99.
Сначала выбирается самая левая группа, в данном случае 46. Выбирается самый большой квадрат на кости квадратного корня меньше 46, то есть 36 из шестого ряда. Первая цифра решения равна 6, так как была выбрана шестая строка.
Затем на доске выставляется число во втором столбце шестого ряда на кости квадратного корня — 12.
Значение в первом столбце шестой строки, 36, вычитается из 46, в результате чего остается 10.
Следующая группа цифр, 78, добавляется рядом с 10; остается остаток 1078.
На этом этапе плата и промежуточные расчеты должны выглядеть так:
|
√46 78 53 99 = 6
− 36
10 78
|
Числа в каждой строке «читаются», игнорируя второй и третий столбцы из кости квадратного корня; они записаны. (Например, шестая строка читается как: 0 ⁄ 6 1 ⁄ 2 3 ⁄ 6 → 756 ).
Как и в показанном выше умножении, числа читаются справа налево и складывают диагональные числа сверху-право влево-вниз ( 6 + 0 = 6 ; 3 + 2 = 5 ; 1 + 6 = 7 ).
Находится наибольшее число, меньшее текущего остатка, 1078 (из восьмой строки).
|
√46 78 53 99 = 68
− 36
10 78
− 10 24
54
|
Как и раньше, для получения следующей цифры квадратного корня добавляется 8, а значение восьмой строки, 1024, вычитается из текущего остатка, 1078, чтобы получить 54. Второй столбец восьмой строки квадрата Читается корневая кость, цифра 16, и число выставляется на доске следующим образом.
Текущее число на доске — 12. Первая цифра 16 добавляется к 12, а к результату добавляется вторая цифра 16. Итак, на плате должно быть установлено:
- 12 + 1 = 13 → добавить 6 → 136
- Примечание. Если во втором столбце кости с квадратным корнем есть только одна цифра, она добавляется к текущему числу на доске.
Доска и промежуточные расчеты теперь выглядят так.
|
√46 78 53 99 = 68
− 36
10 78
− 10 24
54 53
|
И снова находится строка с наибольшим значением, меньшим текущего частичного остатка, 5453. На этот раз это третья строка с 4089.
|
√46 78 53 99 = 683
− 36
10 78
− 10 24
54 53
− 40 89
13 64
|
Следующая цифра квадратного корня равна 3. Повторяются те же шаги, что и раньше, и из текущего остатка 5453 вычитается 4089, чтобы получить следующий остаток 1364. Когда доска переставляется, второй столбец кости квадратного корня равен 6, одной цифре. Таким образом, к текущему числу на доске, 136, добавляется 6, чтобы на доске осталось 1366.
- 136 → добавить 6 → 1366
|
√46 78 53 99 = 683
− 36
10 78
− 10 24
54 53
− 40 89
13 64 99
|
Процесс повторяется снова. Теперь наибольшее значение на доске, меньшее текущего остатка, 136499, равно 123021 из девятой строки.
Часто для получения ответа не требуется находить значение каждой строки. Ряд, содержащий ответ, можно угадать, посмотрев на число на первых нескольких костях и сравнив его с первыми цифрами остатка. Но на диаграммах показано значение всех строк, чтобы было понятно.
К результату добавляется 9, а из текущего остатка вычитается 123021.
|
√46 78 53 99 = 6839
− 36
10 78
− 10 24
54 53
− 40 89
13 64 99
− 12 30 21
1 34 78
|
Если все цифры были использованы, а остаток остался, то целая часть решена, но дробный бит еще нужно найти.
Если целая часть решена, текущий результат возводится в квадрат ( 6839 2 = 46771921 ) должен быть наибольшим полным квадратом, меньшим 46785899.
Эта идея используется позже, чтобы понять, как работает этот метод, но можно сгенерировать больше цифр.
Подобно нахождению дробной части при делении столбиком , к остатку добавляются два нуля, чтобы получить новый остаток 1347800. Второй столбец девятого ряда кости квадратного корня равен 18, а текущее число на доске — 1366.
- 1366 + 1 → 1367 → добавить 8 → 13678
рассчитан для установки на доске числа 13678.
Доска и промежуточные вычисления теперь выглядят так.
|
√46 78 53 99.00 = 6839.
− 36
10 78
− 10 24
54 53
− 40 89
13 64 99
− 12 30 21
1 34 78 00
|
Девятая строка с 1231101 представляет собой наибольшее значение, меньшее остаток, то есть первая цифра дробной части квадратного корня равна 9.
|
√46 78 53 99.00 = 6839.9
− 36
10 78
− 10 24
54 53
− 40 89
13 64 99
− 12 30 21
1 34 78 00
− 1 23 11 01
11 66 99
|
Значение девятой строки вычитается из остатка и добавляется еще несколько нулей, чтобы получить новый остаток 11669900. Второй столбец девятой строки равен 18 с 13678 на доске, поэтому
- 13678 + 1 → 13679 → добавить 8 → 136798
рассчитан для установки на доске числа 136798.
|
√46 78 53 99.00 00 = 6839.9
− 36
10 78
− 10 24
54 53
− 40 89
13 64 99
− 12 30 21
1 34 78 00
− 1 23 11 01
11 66 99 00
|
Шаги можно продолжить, чтобы найти столько цифр, сколько необходимо, и если необходимая точность достигнута. Если остаток становится нулевым, это означает, что найден точный квадратный корень.
Округление вверх
[ редактировать ]Найдя нужное количество цифр, легко определить, нужно ли его округлять в большую сторону; т. е. изменение последней цифры. Не обязательно искать другую цифру, чтобы определить, равна ли она 5 или больше. 25 добавляется к корню и сравнивается с остатком; если он меньше или равен остатку, то следующая цифра будет не меньше пяти и необходимо округление в большую сторону. В приведенном выше примере 6839925 меньше 11669900, поэтому корень необходимо округлить до 6840,0.
Чтобы найти квадратный корень из числа, которое не является целым числом, например 54782,917, все делается так же, за исключением того, что цифры слева и справа от десятичной точки группируются в двойки.
Таким образом, 54782,917 будет сгруппировано как
- 05 47 82.91 70
Затем квадратный корень можно найти, используя ранее упомянутый процесс.
Диагональная модификация
[ редактировать ]В 19 веке кости Нэпьера были преобразованы, чтобы их было легче читать. Стержни были сделаны под углом около 65°, чтобы треугольники, которые нужно было добавить, совпадали. В этом случае в каждом квадрате стержня справа находится единица, а слева — десятка (или ноль).
Стержни были сделаны таким образом, чтобы вертикальные и горизонтальные линии были более заметны, чем линия соприкосновения стержней, что облегчало чтение двух компонентов каждой цифры результата. Таким образом, на картинке сразу видно, что:
- 987654321 × 5 = 4938271605
Правители Женайя-Лукаса
[ редактировать ]В 1891 году Анри Женай изобрел вариант костей Непера, который стал известен как линейки Женайля-Люка . Графически представляя перенос , результаты простых задач на умножение можно прочитать напрямую, без промежуточных вычислений в уме.
В следующем примере вычисляется 52749 × 4 = 210996 .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Джон Нэпьер (1617 г.). Рабдологи (на латыни). Эдинбург, Шотландия.
