Теория Редже

В квантовой физике теория Редже ( / ˈr ɛ dʒ eɪ ay / REJ - , Итальянский: [ˈrɛddʒe] ) — это исследование аналитических свойств рассеяния как функции углового момента , где угловой момент не ограничивается целым числом, кратным ħ , но может принимать любое комплексное значение . Нерелятивистская теория была разработана Туллио Редже в 1959 году. ^[1]

Подробности [ править ]

Простейший пример полюсов Редже представляет собой квантовомеханическая трактовка кулоновского потенциала. $V(r)=-e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}r)$ или, другими словами, квантовомеханической трактовкой связывания или рассеяния электрона массы $m$ и электрический заряд $-e$ от протона массы $M$ и зарядить $+e$ . Энергия $E$ энергия связи электрона с протоном отрицательна, тогда как энергия рассеяния положительна. Формулой энергии связи является выражение

E\rightarrow E_{N}=-{\frac {2m'\pi ^{2}e^{4}}{h^{2}N^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}=-{\frac {13.6\,\mathrm {eV} }{N^{2}}},\;\;\;m^{'}={\frac {mM}{M+m}},

где $N=1,2,3,...$ , $h$ – постоянная Планка, а $\epsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума. Главное квантовое число $N$ находится в квантовой механике (путем решения радиального уравнения Шредингера ), которое определяется выражением $N=n+l+1$ , где $n=0,1,2,...$ - радиальное квантовое число и $l=0,1,2,3,...$ квантовое число орбитального углового момента. Решая приведенное выше уравнение для $l$ , получаем уравнение

l\rightarrow l(E)=-n+g(E),\;\;g(E)=-1+i{\frac {\pi e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}h}}(2m'/E)^{1/2}.

Рассматривается как сложная функция $E$ это выражение описывает в комплексе $l$ -плоскость — путь, который называется траекторией Редже . Таким образом, в этом рассмотрении орбиталь импульс может принимать комплексные значения.

Траектории Редже можно получить и для многих других потенциалов, в частности и для потенциала Юкавы . ^[2]^[3]^[4]

Траектории Редже появляются как полюса амплитуды рассеяния или в связанных с ними $S$ -матрица. В случае рассмотренного выше кулоновского потенциала это $S$ -матрица задается следующим выражением, что можно проверить, обратившись к любому учебнику по квантовой механике:

S={\frac {\Gamma (l-g(E))}{\Gamma (l+g(E))}}e^{-i\pi l},

где $\Gamma (x)$ гамма -функция , обобщение факториала $(x-1)!$ . Эта гамма-функция является мероморфной функцией своего аргумента с простыми полюсами в точках $x=-n,n=0,1,2,...$ . Таким образом, выражение для $S$ (гамма-функция в числителе) имеет полюсы именно в тех точках, которые заданы приведенным выше выражением для траекторий Редже; отсюда и название полюсов Редже.

и последствия История

Основной результат теории состоит в том, что амплитуда рассеяния при потенциальном рассеянии растет как функция косинуса $z$ угла рассеяния как степени, которая меняется с изменением энергии рассеяния:

A(z)\propto z^{l(E^{2})}

где $l(E^{2})$ - нецелое значение углового момента потенциально связанного состояния с энергией $E$ . Она определяется путем решения радиального уравнения Шрёдингера и плавно интерполирует энергию волновых функций с разными угловыми моментами, но с одинаковым радиальным числом возбуждения . Траекторная функция является функцией $s=E^{2}$ для релятивистского обобщения. Выражение $l(s)$ известна как функция траектории Редже, и когда она является целым числом, частицы образуют фактическое связанное состояние с этим угловым моментом. Асимптотическая форма применяется, когда $z$ намного больше единицы, что не является физическим пределом нерелятивистского рассеяния.

Вскоре после этого Стэнли Мандельштам заметил, что в теории относительности чисто формальный предел $z$ большой близок к физическому пределу — предел большого $t$ . Большой $t$ означает большую энергию в пересеченном канале, где одна из входящих частиц имеет энергетический импульс, который делает ее энергичной выходящей античастицей. Это наблюдение превратило теорию Редже из математической диковины в физическую теорию: она требует, чтобы функция, определяющая скорость спада амплитуды рассеяния при рассеянии частица-частица при больших энергиях, была такой же, как функция, определяющая энергии связанных состояний для Система частица-античастица как функция углового момента. ^[5]

Переключатель потребовал замены переменной Мандельштама. $s$ , который представляет собой квадрат энергии, для $t$ , который представляет собой квадрат переданного импульса, который для упругих мягких столкновений одинаковых частиц равен s, умноженному на единицу, минус косинус угла рассеяния. Отношение в пересеченном канале становится

A(z)\propto s^{l(t)}

который говорит, что амплитуда имеет разный степенной закон спада в зависимости от энергии под разными соответствующими углами, где соответствующими углами являются углы с одинаковым значением $t$ . Он предсказывает, что функция, определяющая степенной закон, является той же функцией, которая интерполирует энергии, в которых возникают резонансы. Диапазон углов, при которых рассеяние может быть продуктивно описано теорией Редже, при больших энергиях сужается до узкого конуса вокруг линии луча.

В 1960 году Джеффри Чу и Стивен Фраучи на основе ограниченных данных предположили, что сильно взаимодействующие частицы имеют очень простую зависимость квадрата массы от углового момента: частицы попадают в семейства, где функции траектории Редже представляют собой прямые линии: $l(s)=ks$ с той же константой $k$ для всех траекторий. Позднее стало понятно, что прямолинейные траектории Редже возникают из безмассовых конечных точек вращающихся релятивистских струн. Поскольку описание Редже подразумевало, что частицы представляют собой связанные состояния, Чу и Фраучи пришли к выводу, что ни одна из сильно взаимодействующих частиц не является элементарной.

Экспериментально, поведение рассеяния в ближнем направлении действительно уменьшалось с увеличением угла, как это объясняется теорией Редже, что заставило многих признать, что частицы в сильных взаимодействиях являются составными. Большая часть рассеяния была дифракционной , а это означает, что частицы вообще почти не рассеиваются — оставаясь близко к линии луча после столкновения. Владимир Грибов отметил, что граница Фруассара в сочетании с предположением о максимально возможном рассеянии подразумевает существование траектории Редже, которая приведет к логарифмически растущему сечению, траектории, ныне известной как померон . Далее он сформулировал количественную теорию возмущений для рассеяния на ближних линиях пучка, в котором доминирует многопомеронный обмен.

Из фундаментального наблюдения о том, что адроны являются составными, возникли две точки зрения. Некоторые правильно утверждали, что существуют элементарные частицы, ныне называемые кварками и глюонами, которые создали квантовую теорию поля, в которой адроны являются связанными состояниями. Другие также правильно считали, что можно сформулировать теорию без элементарных частиц, где все частицы представляют собой связанные состояния, лежащие на траекториях Редже и самосогласованно разлетающиеся. Это называлось S теорией -матрицы .

Самый успешный подход S -матрицы был основан на приближении узкого резонанса, идее о том, что существует последовательное расширение, начиная со стабильных частиц на прямолинейных траекториях Редже. После многих фальстартов Ричард Долен, Дэвид Хорн и Кристоф Шмид поняли важнейшее свойство, которое привело Габриэле Венециано к формулировке амплитуды самосогласованного рассеяния — первой теории струн . Мандельштам отмечал, что предел, при котором траектории Редже являются прямыми, является также пределом, при котором время жизни состояний велико.

В качестве фундаментальной теории сильных взаимодействий при высоких энергиях теория Редже пользовалась интересом в 1960-х годах, но на смену ей в значительной степени пришла квантовая хромодинамика . Как феноменологическая теория, она до сих пор остается незаменимым инструментом для понимания рассеяния в ближних линиях и рассеяния при очень больших энергиях. Современные исследования сосредоточены как на связи с теорией возмущений, так и с теорией струн.

См. также [ править ]

Нерешенная задача по физике :

Как теория Редже возникает из квантовой хромодинамики на больших расстояниях?

(еще нерешенные задачи по физике)

Ссылки [ править ]

^ Редже, Т. (1959). «Введение в сложные орбитальные моменты». Иль Нуово Чименто . 14 (5). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 951–976. Бибкод : 1959NCim...14..951R . дои : 10.1007/bf02728177 . ISSN 0029-6341 . S2CID 8151034 .
^ Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен: Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траектории, 2-е изд., World Scientific (2012), стр. 395-414
^ Мюллер, Харальд Дж.В. (1965). «Полюсы Редже в нерелятивистском потенциальном рассеянии». Анналы физики (на немецком языке). 470 (7-8). Уайли: 395-411. Бибкод : 1965АнП...470..395М . дои : 10.1002/andp.19654700708 . ISSN 0003-3804 .
^ Мюллер, HJW; Шильчер, К. (1968). «Рассеяние высоких энергий для потенциалов Юкавы». Журнал математической физики . 9 (2). Издательство АИП: 255–259. дои : 10.1063/1.1664576 . ISSN 0022-2488 .
^ Грибов, В. (2003). Теория комплексного углового момента . Издательство Кембриджского университета. Бибкод : 2003tcam.book.....G . ISBN 978-0-521-81834-6 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Коллинз, PDB (1977). Введение в теорию Редже и физику высоких энергий . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-21245-8 .
Иден, Р.Дж. (1971). «Полюса Редже и элементарные частицы». Реп. прог. Физ . 34 (3): 995–1053. Бибкод : 1971РПФ...34..995Е . дои : 10.1088/0034-4885/34/3/304 . S2CID 54093447 .
Ирвинг, AC; Уорден, Р.П. (1977). «Феноменология Редже». Физ. Представитель . 34 (3): 117–231. Бибкод : 1977PhR....34..117I . дои : 10.1016/0370-1573(77)90010-2 .
Логан, Роберт К. (1965). «Анализ одного полюса Редже π ⁻ p cex Scattering». Phys. Rev. Lett . 14 (11): 414–416. Bibcode : 1965PhRvL..14..414L . doi : 10.1103/physrevlett.14.414 .

Внешние ссылки [ править ]

Енковский; Мартынов; Пакканони (1996). «Модель Редже-поля для фоторождения векторных мезонов в HERA». arXiv : hep-ph/9608384 .
Кайдалов (2001). «Поляки Редже в КХД». На переднем крае физики элементарных частиц . стр. 603–636. arXiv : hep-ph/0103011 . Бибкод : 2001afpp.book..603K . дои : 10.1142/9789812810458_0018 . ISBN 978-981-02-4445-3 . S2CID 119488011 .
Мартынов; Предацци; Прокудин (2002). «Универсальная модель полюса Редже для исключительного фоторождения всех векторных мезонов реальными и виртуальными фотонами» . Европейский физический журнал C (представлена рукопись). 26 (2): 271–284. arXiv : hep-ph/0112242 . Бибкод : 2002EPJC...26..271M . дои : 10.1140/epjc/s2002-01058-5 . S2CID 15726077 .
Олег Андреев; Уоррен Сигел (2004). «Квантованное напряжение: струнные амплитуды с полюсами Редже и партонным поведением». Физический обзор D . 71 (8): 086001. arXiv : hep-th/0410131 . Бибкод : 2005PhRvD..71h6001A . doi : 10.1103/PhysRevD.71.086001 . S2CID 13960304 .
Бигацци; Котроне; Мартуччи; Пандо Заяс (2004). «Петля Вильсона, траектория Редже и массы адронов в теории Янга-Миллса на основе полуклассических струн». Физический обзор D . 71 (6): 066002. arXiv : hep-th/0409205 . Бибкод : 2005PhRvD..71f6002B . doi : 10.1103/PhysRevD.71.066002 . S2CID 6142141 .

[1] Редже, Т. (1959). «Введение в сложные орбитальные моменты». Иль Нуово Чименто . 14 (5). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 951–976. Бибкод : 1959NCim...14..951R . дои : 10.1007/bf02728177 . ISSN 0029-6341 . S2CID 8151034 .

[2] Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен: Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траектории, 2-е изд., World Scientific (2012), стр. 395-414

[3] Мюллер, Харальд Дж.В. (1965). «Полюсы Редже в нерелятивистском потенциальном рассеянии». Анналы физики (на немецком языке). 470 (7-8). Уайли: 395-411. Бибкод : 1965АнП...470..395М . дои : 10.1002/andp.19654700708 . ISSN 0003-3804 .

[4] Мюллер, HJW; Шильчер, К. (1968). «Рассеяние высоких энергий для потенциалов Юкавы». Журнал математической физики . 9 (2). Издательство АИП: 255–259. дои : 10.1063/1.1664576 . ISSN 0022-2488 .

[5] Грибов, В. (2003). Теория комплексного углового момента . Издательство Кембриджского университета. Бибкод : 2003tcam.book.....G . ISBN 978-0-521-81834-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]