Принадлежащий

Эта статья о математическом операторе, представленном символом набла. О самом символе см. Символ набла . Информацию об операции, связанной с символом ∂, также иногда называемой «del», см. в разделе Частная производная . Чтобы узнать о других значениях, см. Del (значения) .

Не путать с Деллом .

Оператор Дел,
в лице
символ наблы

Del , или набла , — оператор, используемый в математике (особенно в векторном исчислении ) как векторный дифференциальный оператор , обычно обозначаемый символом набла ∇ . Применительно к функции, определенной в одномерной области, он обозначает стандартную производную функции, определенной в исчислении . Применительно к полю (функции, определенной в многомерной области), оно может обозначать любую из трех операций в зависимости от способа его применения: градиент или (локально) крутой наклон скалярного поля (или иногда векторное поле , как в уравнениях Навье–Стокса ); дивергенция ; векторного поля или ротор (вращение) векторного поля.

Del — это очень удобное математическое обозначение для этих трех операций (градиент, дивергенция и ротор), которое упрощает многих уравнений написание и запоминание . Символ del (или набла) можно формально определить как векторный оператор, компонентами которого являются соответствующие операторы частных производных . Как векторный оператор, он может действовать на скалярные и векторные поля тремя разными способами, приводя к трем различным дифференциальным операциям: во-первых, он может действовать на скалярные поля посредством «формального» скалярного умножения — чтобы получить векторное поле, называемое градиентом. ; во-вторых, он может действовать на векторные поля посредством «формального» скалярного произведения , создавая скалярное поле, называемое дивергенцией; и, наконец, он может действовать на векторные поля посредством «формального» векторного произведения , создавая векторное поле, называемое ротором. Эти «формальные» продукты не обязательно коммутируют с другими операторами или продуктами. Эти три применения, подробно описанные ниже, суммируются следующим образом:

• Градиент: $\operatorname {grad} f=\nabla f$
• Дивергенция: $\operatorname {div} \mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v}$
• Завиток: $\operatorname {curl} \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {v}$

Определение

В декартовой системе координат $\mathbb {R} ^{n}$ с координатами $(x_{1},\dots ,x_{n})$ и стандартная основа $\{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}$, del — векторный оператор, $x_{1},\dots ,x_{n}$ компоненты являются частных производных операторами ${\partial \over \partial x_{1}},\dots ,{\partial \over \partial x_{n}}$; то есть,

$\nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)$

Где выражение в круглых скобках представляет собой вектор-строку. В трехмерной декартовой системе координат $\mathbb {R} ^{3}$ с координатами $(x,y,z)$ и стандартный базис или единичные векторы осей $\{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\}$, del записывается как

$\nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)$

Как векторный оператор, del естественным образом действует на скалярные поля посредством скалярного умножения и естественным образом действует на векторные поля посредством скалярного произведения и векторного произведения.

Точнее, для любого скалярного поля $f$ и любое векторное поле $\mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})$, если определить

$\left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)f:={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}f)={\partial f \over \partial x_{i}}\mathbf {e} _{i}$

$\left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)\cdot \mathbf {F} :={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} )={\partial F_{i} \over \partial x_{i}}$

$\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial x}(\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})$

$\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial y}(\mathbf {e} _{y}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})$

$\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial z}(\mathbf {e} _{z}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0),$

затем, используя приведенное выше определение $\nabla$, можно написать

$\nabla f=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)f+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)f+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)f={\partial f \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial f \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {e} _{z}$

и

$\nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\cdot \mathbf {F} \right)={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+{\partial F_{z} \over \partial z}$

и

${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\times \mathbf {F} \right)\\&={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})+{\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})+{\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0)\\&=\left({\partial F_{z} \over \partial y}-{\partial F_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\partial F_{x} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\partial F_{y} \over \partial x}-{\partial F_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}$

Пример:

$f(x,y,z)=x+y+z$

$\nabla f=\mathbf {e} _{x}{\partial f \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial f \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)$

Del также может быть выражена в других системах координат, см., например, del в цилиндрических и сферических координатах .

Использование обозначений

Del используется как сокращенная форма для упрощения многих длинных математических выражений. Чаще всего он используется для упрощения выражений для градиента , дивергенции , ротора , производной по направлению и лапласиана .

Градиент

Векторная производная скалярного поля $f$ называется градиентом и его можно представить как:

$\operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\partial f \over \partial y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}=\nabla f$

Оно всегда указывает в сторону наибольшего увеличения $f$, и он имеет величину , равную максимальной скорости роста в этой точке — точно так же, как стандартная производная. В частности, если холм определяется как функция высоты над плоскостью $h(x,y)$, градиент в данном месте будет вектором в плоскости xy (отображаемым как стрелка на карте), указывающим в самом крутом направлении. Величина градиента — это величина этого самого крутого склона.

В частности, это обозначение является мощным, потому что правило произведения градиента очень похоже на случай 1d-производной:

$\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f$

Однако правила скалярного произведения не оказываются простыми, о чем свидетельствует:

$\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )$

Дивергенция

Дивергенция ​ векторного поля $\mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}$ представляет собой скалярное поле , которое можно представить как:

$\operatorname {div} \mathbf {v} ={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot \mathbf {v}$

Дивергенция — это примерно мера увеличения векторного поля в том направлении, в котором оно указывает; но точнее, это мера тенденции этого поля сходиться к определенной точке или расходиться от нее.

Силу нотации del демонстрирует следующее правило произведения:

$\nabla \cdot (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\cdot \mathbf {v} +f(\nabla \cdot \mathbf {v} )$

Формула векторного произведения немного менее интуитивна, поскольку это произведение не является коммутативным:

$\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\nabla \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} -\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )$

Завиток

Ротор поля векторного $\mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}$ — векторная функция, которую можно представить как:

$\operatorname {curl} \mathbf {v} =\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\hat {\mathbf {x} }}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\hat {\mathbf {y} }}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\hat {\mathbf {z} }}=\nabla \times \mathbf {v}$

Изгиб в определенной точке пропорционален крутящему моменту на оси, которому подверглась бы крошечная вертушка, если бы она была центрирована в этой точке.

Операцию векторного произведения можно представить как псевдодетерминант :

$\nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|$

Силу обозначений снова демонстрирует правило произведения:

$\nabla \times (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )$

Правило для векторного произведения оказывается непростым:

$\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v}$

Производная по направлению

Производная по направлению скалярного поля $f(x,y,z)$ в направлении $\mathbf {a} (x,y,z)=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}$ определяется как:

$\mathbf {a} \cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}=\mathbf {a} \cdot (\nabla f)$

Это дает скорость изменения поля $f$ в направлении $\mathbf {a}$, масштабированный по величине $\mathbf {a}$. В операторной записи элемент в круглых скобках можно рассматривать как единую связную единицу; Гидродинамика широко использует это соглашение, называя его конвективной производной — «движущейся» производной жидкости.

Обратите внимание, что $(\mathbf {a} \cdot \nabla )$ — оператор, преобразующий скаляр в скаляр. Его можно расширить для работы с вектором, работая отдельно с каждым из его компонентов.

Лаплас

Оператор Лапласа — это скалярный оператор, который можно применять как к векторным, так и к скалярным полям; для декартовых систем координат он определяется как:

$\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$

а определение более общих систем координат дается в векторном лапласиане .

Лапласиан повсеместно встречается в современной математической физике , появляясь, например, в уравнении Лапласа , уравнении Пуассона , уравнении теплопроводности , волновом уравнении и уравнении Шрёдингера .

Матрица Гессе

Пока $\nabla ^{2}$ обычно представляет собой лапласиан , иногда $\nabla ^{2}$ также представляет собой матрицу Гессе . Первое относится к внутреннему продукту $\nabla$, а последнее относится к диадическому произведению $\nabla$:

$\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T}$.

Так ли $\nabla ^{2}$ относится к матрице Лапласа или Гессе в зависимости от контекста.

производная

Del также можно применить к векторному полю, в результате чего получится тензор . Тензорная производная векторного поля $\mathbf {v}$ (в трех измерениях) представляет собой 9-членный тензор второго ранга, то есть матрицу 3×3, но его можно обозначить просто как $\nabla \otimes \mathbf {v}$, где $\otimes$ представляет собой диадический продукт . Эта величина эквивалентна транспонированию матрицы Якоби векторного поля относительно пространства. Тогда дивергенцию векторного поля можно выразить как след этой матрицы.

Для небольшого перемещения $\delta \mathbf {r}$, изменение векторного поля определяется выражением:

$\delta \mathbf {v} =(\nabla \otimes \mathbf {v} )^{T}\cdot \delta \mathbf {r}$

Правила продукта

Для векторного исчисления :

${\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}$

Для матричного исчисления (для которого $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}$ можно написать $\mathbf {u} ^{\text{T}}\mathbf {v}$):

${\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}$

Другое представляющее интерес соотношение (см., например, уравнения Эйлера ) следующее: $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ – тензор внешнего произведения :

${\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} \end{aligned}}$

Вторые производные

Диаграмма DCG: простая диаграмма, изображающая все правила, относящиеся к вторым производным. D, C, G, L и CC обозначают дивергенцию, ротор, градиент, лапласиан и ротор ротора соответственно. Стрелки указывают на существование вторых производных. Синий кружок посередине представляет завиток завитка, тогда как два других красных кружка (пунктирные) означают, что DD и GG не существуют.

Когда del работает со скаляром или вектором, возвращается либо скаляр, либо вектор. Из-за разнообразия векторных произведений (скалярных, точечных, перекрестных) одно применение del уже приводит к трем основным производным: градиенту (скалярному произведению), дивергенции (скалярному произведению) и ротору (перекрестному произведению). Повторное применение этих трех видов производных друг к другу дает пять возможных вторых производных для скалярного поля f или векторного поля v ; использование скалярного лапласиана и векторного лапласиана дает еще два:

${\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\Delta \mathbf {v} &=\nabla ^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}$

Они представляют интерес главным образом потому, что не всегда уникальны или независимы друг от друга. Пока функции ведут себя хорошо ( $C^{\infty }$ в большинстве случаев) два из них всегда равны нулю:

${\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}$

Два из них всегда равны:

$\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f$

Три оставшиеся векторные производные связаны уравнением:

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {v} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla ^{2}\mathbf {v}$

И один из них даже можно выразить с помощью тензорного произведения, если функции ведут себя хорошо:

$\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )=\nabla \cdot (\mathbf {v} \otimes \nabla )$

Меры предосторожности

Большинство из вышеперечисленных свойств вектора (за исключением тех, которые явно зависят от дифференциальных свойств del — например, правила произведения) основаны только на перестановке символов и обязательно должны выполняться, если символ del заменяется любым другим вектором. Это часть ценности, которую можно получить, представив этот оператор в виде вектора.

Хотя часто можно заменить del вектором и получить векторную идентичность, сделав эти идентичности мнемоническими, обратное не обязательно надежно, поскольку del вообще не коммутирует.

Контрпример, демонстрирующий расхождение ( $\nabla \cdot \mathbf {v}$) и оператор переноса ( $\mathbf {v} \cdot \nabla$) не коммутативны:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )f&\equiv (\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )f\\(\nabla \cdot \mathbf {v} )f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\(\mathbf {v} \cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {v} )f&\neq (\mathbf {v} \cdot \nabla )f\\\end{aligned}}$

Контрпример, основанный на дифференциальных свойствах del:

${\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=(\mathbf {e} _{x}\cdot 1+\mathbf {e} _{y}\cdot 0+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\times (\mathbf {e} _{x}\cdot 0+\mathbf {e} _{y}\cdot 1+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\\&=\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {e} _{y}\\&=\mathbf {e} _{z}\\(\mathbf {u} x)\times (\mathbf {u} y)&=xy(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )\\&=xy\mathbf {0} \\&=\mathbf {0} \end{aligned}}$

Центральное место в этих различиях занимает тот факт, что del — это не просто вектор; это векторный оператор . В то время как вектор — это объект, имеющий как величину, так и направление, del не имеет ни величины, ни направления, пока не воздействует на функцию.

По этой причине тождества, включающие del, должны быть получены с осторожностью, используя как векторные тождества, так и тождества дифференцирования, такие как правило произведения.

См. также

• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Обозначения для дифференцирования
• Тождества векторного исчисления
• Уравнения Максвелла
• Уравнения Навье – Стокса.
• Таблица математических символов
• Оператор Кабла

Ссылки

• Уиллард Гиббс и Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ , издательство Йельского университета , 1960: Dover Publications .
• Шей, Х.М. (1997). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению . Нью-Йорк: Нортон. ISBN  0-393-96997-5 .
• Миллер, Джефф. «Самое раннее использование символов исчисления» .
• Арнольд Ноймайер (26 января 1998 г.). Клив Молер (ред.). «История Наблы» . Дайджест НС, том 98, выпуск 03. netlib.org.

Внешние ссылки

• Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994) Тай, Чен