Суммирование

Эта статья о суммах нескольких элементов. Более элементарные аспекты см. в разделе «Дополнение» . Чтобы узнать о бесконечных суммах, см. Ряды (математика) . Чтобы узнать о других значениях, см. Суммирование (значения) .

В математике ; суммирование это сложение последовательности ​ чисел – называемой слагаемыми или слагаемыми , результатом является их сумма или сумма . Помимо чисел, можно суммировать и другие типы значений: функции , векторы , матрицы , полиномы и, вообще, элементы любого типа математических объектов , над которыми операция, определена обозначаемая «+».

Суммы бесконечных последовательностей называются сериями . Они включают в себя концепцию предела и не рассматриваются в данной статье.

Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование [1, 2, 4, 2] обозначается 1 + 2 + 4 + 2 и приводит к 9, то есть 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Поскольку сложение ассоциативно и коммутативно , скобки не нужны, и результат один и тот же независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к самому этому элементу. Суммирование пустой последовательности (последовательности без элементов) по соглашению дает 0.

Очень часто элементы последовательности определяются посредством регулярного шаблона в зависимости от их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено заменой большинства слагаемых эллипсами. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел можно записать как 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 . В противном случае суммирование обозначается с помощью обозначения Σ , где ${\textstyle \sum }$ — увеличенная заглавная греческая буква сигма . Например, сумму первых n натуральных чисел можно обозначить как ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}i.}$

Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (задаваемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) распространенной проблемой является поиск выражений в замкнутой форме для результата. Например,

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.$

Хотя такие формулы не всегда существуют, было открыто множество формул суммирования, некоторые из наиболее распространенных и элементарных из которых перечислены в оставшейся части этой статьи.

Обозначения

Дополнительная информация: Итерированная бинарная операция § Обозначение.

Обозначение заглавной сигмы

Символ суммирования

В математической записи используется символ, который компактно представляет сумму многих подобных терминов: символ суммирования , ${\textstyle \sum }$, увеличенная форма прямой заглавной греческой буквы сигма . Это определяется как

$\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$

где i — индекс суммирования ; a _i — индексированная переменная, представляющая каждый член суммы; m — нижняя граница суммирования , а n — верхняя граница суммирования . « i = m » под символом суммирования означает, что индекс i изначально равен m . Индекс i увеличивается на единицу для каждого последующего термина и останавливается, когда i = n .

Это читается как «сумма a _i от i = m до n ».

Вот пример, показывающий суммирование квадратов:

$\sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.$

В общем, хотя в качестве индекса суммирования можно использовать любую переменную (при условии, что не возникает двусмысленности), некоторые из наиболее распространенных из них включают такие буквы, как $i$, $j$, $k$, и $n$; последний также часто используется для верхней границы суммирования.

Альтернативно, индекс и границы суммирования иногда опускаются из определения суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно применимо, когда индекс изменяется от 1 до n . Например, можно написать так:

$\sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.$

Часто используются обобщения этого обозначения, в которых задается произвольное логическое условие, а сумма рассчитывается по всем значениям, удовлетворяющим этому условию. Например:

$\sum _{0\leq k<100}f(k)$

является альтернативным обозначением для ${\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}$ сумма $f(k)$ по всем ( целые числа ) $k$ в указанном диапазоне. Сходным образом,

$\sum _{x\mathop {\in } S}f(x)$

это сумма $f(x)$ над всеми элементами $x$ в наборе $S$, и

$\sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)$

это сумма $\mu (d)$ по всем положительным целым числам $d$ разделяющий $n$.

Есть также способы обобщить использование многих знаков сигмы. Например,

$\sum _{i,j}$

то же самое, что

$\sum _{i}\sum _{j}.$

Аналогичное обозначение используется для произведения последовательности , где ${\textstyle \prod }$, увеличенная форма греческой заглавной буквы «пи» , используется вместо ${\textstyle \sum .}$

Особые случаи

Можно суммировать менее двух чисел:

• Если суммирование имеет одно слагаемое $x$, то оцененная сумма равна $x$.
• Если в суммировании нет слагаемых, то вычисленная сумма равна нулю , поскольку ноль является единицей сложения. Это известно как пустая сумма .

Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда обозначение суммирования дает вырожденный результат в особом случае.Например, если $n=m$ в приведенном выше определении сумма содержит только одно слагаемое; если $n=m-1$, то его нет.

Формальное определение

Суммирование можно определить рекурсивно следующим образом:

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=0$, для $b<a$;

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)$, для $b\geqslant a$.

теории

В обозначениях теории меры и интегрирования сумму можно выразить в виде определенного интеграла ,

$\sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu$

где $[a,b]$ является подмножеством целых чисел из $a$ к $b$, и где $\mu$ является счетной мерой целых чисел.

Исчисление

Учитывая функцию f , которая определена над целыми числами в интервале [ m , n ] , выполняется следующее уравнение:

$f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).$

Это известно как телескопический ряд и является аналогом фундаментальной теоремы исчисления конечных разностей , которая гласит, что:

$f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,$

где

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

является производной от f .

Примером применения приведенного выше уравнения является следующее:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).$

Используя биномиальную теорему , это можно переписать как:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.$

Приведенная выше формула чаще используется для обращения разностного оператора. $\Delta$, определяемый:

$\Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),$

где f — функция, определенная для целых неотрицательных чисел.Таким образом, для такой функции f проблема состоит в том, чтобы вычислить f , антиразность функции $F=\Delta ^{-1}f$ такой, что $\Delta F=f$. То есть, $F(n+1)-F(n)=f(n).$Эта функция определена с точностью до добавления константы и может быть выбрана как

$F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).$

не всегда существует выражение в замкнутой форме Для такого суммирования , но формула Фаульхабера обеспечивает замкнутую форму в случае, когда $f(n)=n^{k}$ и, по линейности , для любой полиномиальной функции от n .

Приближение определенными интегралами

Многие такие приближения можно получить с помощью следующей связи между суммами и интегралами , которая справедлива для любой возрастающей функции f :

$\int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.$

и для любой убывающей функции f :

$\int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.$

Для более общих приближений см. формулу Эйлера-Маклорена .

Для суммирования, в которых слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемой функцией индекса, суммирование можно интерпретировать как сумму Римана, входящую в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, что, например,

${\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,$

поскольку правая часть по определению является пределом для $n\to \infty$ левой стороны. Однако для данного суммирования n фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений относительно f : ясно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далекой от интеграла Римана.

Личности

В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечного суммирования или конечного суммирования выражений, включающих тригонометрические функции или другие трансцендентные функции , см. список математических рядов .

Общие личности

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad$ ( дистрибутивность )

$\sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad$ ( коммутативность и ассоциативность )

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad$ (индексный сдвиг)

$\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad$ для биекции σ из конечного множества A на множество B (замена индекса); это обобщает предыдущую формулу.

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad$ (разделение суммы с использованием ассоциативности )

$\sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad$ (вариант предыдущей формулы)

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad$ (сумма от первого члена до последнего равна сумме от последнего до первого)

$\sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad$ (частный случай формулы выше)

$\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad$ (опять же коммутативность и ассоциативность)

$\sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad$ (еще одно применение коммутативности и ассоциативности)

$\sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad$ (разбиение суммы на нечетную и четную части, для четных индексов)

$\sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad$ (разделение суммы на нечетную и четную части для нечетных индексов)

${\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad$ ( дистрибутивность )

$\sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad$ (дистрибутивность допускает факторизацию)

$\sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad$ ( логарифм произведения – это сумма логарифмов множителей)

$C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad$ ( экспонента суммы равна произведению экспоненты слагаемых)

$\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad$для любой функции ${\textstyle f}$ от ${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.

Степени и логарифмы арифметических прогрессий

$\sum _{i=1}^{n}c=nc\quad$ для любого c, не зависящего от i

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad$ (Сумма простейшей арифметической прогрессии , состоящей из первых n натуральных чисел.)

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad$ (Сумма первых нечетных натуральных чисел)

$\sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad$ (Сумма первых четных натуральных чисел)

$\sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad$ (Сумма логарифмов есть логарифм произведения)

$\sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad$ (Сумму первых квадратов см. квадратное пирамидальное число .)

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad$ ( теорема Никомаха )

В более общем плане имеется формула Фаульхабера для $p>1$

$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},$

где $B_{k}$ обозначает число Бернулли и ${\binom {p}{k}}$ является биномиальным коэффициентом .

Индекс суммирования в показателях

В следующих суммированиях предполагается, что a отличается от 1.

$\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}$ (сумма геометрической прогрессии )

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}$ (частный случай для a = 1/2 )

$\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}$ ( a , умноженная на производную по a геометрической прогрессии)

${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}$

(сумма арифметико-геометрической последовательности )

Биномиальные коэффициенты и факториалы

Основная статья: Биномиальный коэффициент § Суммы биномиальных коэффициентов

Существует очень много тождеств суммирования с биномиальными коэффициентами (целая глава «Конкретной математики» посвящена только основным приемам). Некоторые из наиболее основных из них следующие.

теоремы

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},$ биномиальная теорема

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},$ частный случай, когда a = b = 1

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1$, частный случай, когда p = a = 1 − b , который для $0\leq p\leq 1,$ выражает сумму биномиального распределения

$\sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),$ значение при a = b = 1 по производной a биномиальной теоремы

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},$ значение при a = b = 1 по первообразной a биномиальной теоремы

Использование чисел перестановок

В следующих обобщениях ${}_{n}P_{k}$ — количество k -перестановок n .

$\sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})$

$\sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}$

$\sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$, где и $\lfloor x\rfloor$ обозначает функцию пола .

Другие

$\sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}$

$\sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}$

$\sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1$

$\sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}$

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}$

Гармонические числа

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad$ ( номер n -й гармоники )

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad$ ( обобщенный номер гармоники )

роста

Ниже приведены полезные приближения (с использованием тета-нотации ):

$\sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})$ для реального c больше -1

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)$ (См. номер гармоники )

$\sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})$ на самом деле c больше 1

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})$ для неотрицательного действительного c

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})$ для неотрицательных действительных c , d

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})$ для неотрицательного действительного b > 1, c , d

История

• В 1675 году Готфрид Вильгельм Лейбниц в письме Генри Ольденбургу предлагает использовать символ ∫ для обозначения суммы дифференциалов ( лат . Calculus summatorius ), отсюда и S-образная форма. Переименование этого символа в интеграл возникло позднее в беседах с Иоганном Бернулли .
• В 1755 году символ суммирования Σ засвидетельствован в книге Леонарда Эйлера « Institutiones Calculi Differentialis» . Эйлер использует этот символ в таких выражениях, как:

$\Sigma \ (2wx+w^{2})=x^{2}$

• В 1772 году использование Σ и Σ ^н подтверждает Лагранж .
• В 1823 году заглавная буква S была признана символом суммирования серий. Это использование, по-видимому, было широко распространено.
• В 1829 году символ суммирования Σ засвидетельствован Фурье и К.Г. Якоби . Использование Фурье включает в себя нижнюю и верхнюю границы, например:

$\sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots$

См. также

• Обозначение заглавной буквы «пи»
• Обозначение Эйнштейна
• Кронштейн Айверсона
• Итерированная бинарная операция
• Алгоритм суммирования Кахана
• Продукт (математика)
• Суммирование по частям
• ∑ одиночный символ суммирования (U+2211 N-ARY SUMMATION )
• ⎲ начало парного глифа (U+23B2 SUMMATION TOP )
• ⎳ конец парного глифа (U+23B3 СУММАЦИЯ НИЖНЯЯ )

Библиография

• Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений, том II . Издательство «Открытый суд». ISBN  978-0-486-67766-8 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с суммированием, на Викискладе?