Jump to content

Номер гармоники

Номер гармоники с (красная линия) со своим асимптотическим пределом (синяя линия), где постоянная Эйлера–Машерони .

В математике гармоническое n число представляет собой сумму обратных величин первым n натуральных чисел :

Начиная с n = 1 , начинается последовательность номеров гармоник:

Числа гармоник связаны со средним гармоническим числом в том смысле, что номер n -й гармоники также в n раз превышает среднее гармоническое первых n положительных целых чисел.

Гармонические числа изучаются с древности и играют важную роль в различных разделах теории чисел . Их иногда называют гармоническими рядами , они тесно связаны с дзета-функцией Римана и появляются в выражениях различных специальных функций .

Числа гармоник примерно аппроксимируют функцию натурального логарифма. [1] : 143  и, таким образом, связанный с ним гармонический ряд растет безгранично, хотя и медленно. В 1737 году Леонард Эйлер использовал расхождение гармонического ряда , чтобы предоставить новое доказательство бесконечности простых чисел . Его работа была расширена на комплексную плоскость Бернхардом Риманом в 1859 году, что привело непосредственно к знаменитой гипотезе Римана о распределении простых чисел .

Когда стоимость большого количества предметов имеет распределение по закону Ципфа , общая стоимость n наиболее ценных предметов пропорциональна n -му номеру гармоники. Это приводит к множеству удивительных выводов относительно « длинного хвоста» и теории сетевой стоимости .

Теорема Бертрана-Чебышева подразумевает, что, за исключением случая n = 1 , числа гармоник никогда не являются целыми числами. [2]

Тождества с номерами гармоник

[ редактировать ]

По определению числа гармоник удовлетворяют рекуррентному соотношению

Гармонические числа связаны с числами Стирлинга первого рода соотношением

Номера гармоник удовлетворяют тождествам рядов и Эти два результата очень аналогичны соответствующим интегральным результатам. и

Тождества с участием π

[ редактировать ]

Существует несколько бесконечных суммаций, включающих числа гармоник и степени π : [3] [ нужен лучший источник ]

Интегральное представление, данное Эйлером [4] является

Вышеприведенное равенство вытекает из простого алгебраического тождества

Используя замену x = 1 − u , другое выражение для H n :

График, демонстрирующий связь между гармоническими числами и натуральным логарифмом . Номер гармоники H n можно интерпретировать как сумму Римана интеграла:

Номер n- й гармоники примерно равен натуральному логарифму n . Причина в том, что сумма аппроксимируется интегралом значение которого равно ln n .

Значения последовательности H n − ln n монотонно убывают к пределу где γ ≈ 0,5772156649 постоянная Эйлера–Машерони . Соответствующее асимптотическое разложение имеет вид где Bk числа Бернулли .

Генерирующие функции

[ редактировать ]

для Производящая функция чисел гармоник: где ln( z ) — натуральный логарифм . Экспоненциальная производящая функция – это где Ein( z ) — полный экспоненциальный интеграл . Экспоненциальный интеграл также можно выразить как где Γ(0, z ) — неполная гамма-функция .

Арифметические свойства

[ редактировать ]

Гармонические числа обладают несколькими интересными арифметическими свойствами. Хорошо известно, что является целым числом тогда и только тогда, когда , результат, который часто приписывают Тэзингеру. [5] Действительно, используя 2-адическое нормирование , нетрудно доказать, что для числитель является нечетным числом, а знаменатель это четное число. Точнее, с некоторыми нечетными целыми числами и .

Как следствие теоремы Вольстенхолма , для любого простого числа числитель делится на . Более того, Эйзенштейн [6] доказал, что для всех нечетных простых чисел оно держится где является фактором Ферма , и следствием этого является то, что делит числитель тогда и только тогда, когда является простым числом Вифериха .

В 1991 году Ишваратасан и Левин [7] определенный как набор всех положительных целых чисел такой, что числитель делится на простое число Они доказали, что для всех простых чисел и они определили гармонические простые числа как простые числа такой, что имеет ровно 3 элемента.

Ишваратасан и Левин также предположили, что является конечным множеством для всех простых чисел и что существует бесконечно много гармонических простых чисел. Бойд [8] проверил, что конечно для всех простых чисел до кроме 83, 127 и 397; и он предложил эвристику, предполагающую, что плотность гармонических простых чисел в множестве всех простых чисел должна быть равна . Истинный [9] показал, что имеет нулевую асимптотическую плотность , а Бин-Лин Ву и Юн-Гао Чен [10] доказал, что число элементов не превышающий самое большее , для всех .

Приложения

[ редактировать ]

Номера гармоник появляются в нескольких формулах расчета, таких как дигамма-функция. Это соотношение также часто используется для определения расширения чисел гармоник до нецелых чисел n . Числа гармоник также часто используются для определения γ с использованием введенного ранее предела: хотя сходится быстрее.

В 2002 году Джеффри Лагариас доказал [11] что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что верно для любого целого числа n ≥ 1 со строгим неравенством, если n > 1 ; здесь σ ( n ) обозначает делителей n . сумму

Собственные значения нелокальной задачи даны , где по соглашению , а соответствующие собственные функции задаются полиномами Лежандра . [12]

Обобщения

[ редактировать ]

Обобщенные числа гармоник

[ редактировать ]

Номер n- й обобщенной гармоники порядка m определяется выражением

(В некоторых источниках это также может обозначаться как или )

Частный случай m = 0 дает Частный случай m = 1 сводится к обычному номеру гармоники:

Предел при n → ∞ конечно, если m > 1 , с обобщенным гармоническим числом, ограниченным и сходящимся к дзета-функции Римана

Наименьшее натуральное число k такое, что k н не делит знаменатель номера обобщенной гармоники H ( k , n ), а знаменатель чередующегося номера обобщенной гармоники H ' ( k , n ) не равен для n = 1, 2, ... :

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (последовательность A128670 в OEIS )

Соответствующая сумма встречается при изучении чисел Бернулли ; гармонические числа появляются также при изучении чисел Стирлинга .

Некоторые интегралы от чисел обобщенных гармоник: и где A постоянная Апери ζ (3),и

Каждое обобщенное гармоническое число порядка m можно записать как функцию чисел гармоник порядка с использованием например:

для Производящая функция чисел обобщенных гармоник: где полилогарифм , а | г | < 1 . Приведенная выше производящая функция для m = 1 является частным случаем этой формулы.

Дробный аргумент для обобщенных чисел гармоник можно ввести следующим образом:

Для каждого целое число и целое или нет, мы имеем из полигамма-функций: где дзета-функция Римана . Соответствующее рекуррентное соотношение Некоторые особые значения где G константа Каталана . В частном случае, когда , мы получаем


где – дзета -функция Гурвица . Это соотношение используется для численного расчета номеров гармоник.

Формулы умножения

[ редактировать ]

Теорема умножения применима к гармоническим числам. Используя полигамма -функции, получаем или, в более общем смысле,

Для обобщенных чисел гармоник имеем где дзета-функция Римана .

Гипергармонические числа

[ редактировать ]

Следующее обобщение обсуждалось Дж. Х. Конвеем и Р. К. Гаем в их книге «Книга чисел» 1995 года . [1] : 258  Позволять Тогда n-е гипергармоническое число порядка r ( r>0 ) определяется рекурсивно как В частности, это обычный номер гармоники .

Римские гармонические числа

[ редактировать ]

Римские гармонические числа , [13] названные в честь Стивена Романа , были представлены Даниэлем Лебом и Джан-Карло Ротой в контексте обобщения умбрального исчисления с логарифмами. [14] Существует множество возможных определений, но одно из них — , является и Конечно,

Если , они удовлетворяют Формулы закрытой формы где - числа Стирлинга первого рода , обобщенные на отрицательный первый аргумент, и который нашел Дональд Кнут .

Фактически, эти числа были определены в более общем виде с использованием римских чисел и римских факториалов , которые включают отрицательные значения для . Это обобщение было полезно в их исследовании по определению гармонических логарифмов .

Гармонические числа для действительных и комплексных значений

[ редактировать ]

Формулы, приведенные выше, представляют собой интеграл и рядное представление функции, которая интерполирует гармонические числа и посредством аналитического продолжения расширяет определение на комплексную плоскость, отличную от отрицательных целых чисел x . Интерполирующая функция на самом деле тесно связана с дигамм-функцией. где ψ ( x ) — дигамма-функция, а γ константа Эйлера–Машерони . Процесс интегрирования можно повторить, чтобы получить

Ряд Тейлора для чисел гармоник равен который получается из ряда Тейлора для дигамма-функции ( дзета-функция Римана ).

Альтернативная асимптотическая формулировка

[ редактировать ]

При попытке аппроксимировать H x для комплексного числа   x эффективно сначала вычислить H m для некоторого большого целого числа m . Используйте это как приближение значения H m + x . Затем используйте рекурсивное соотношение H n = H n −1 + 1/ n назад m раз, чтобы развернуть его до приближения для H x . Более того, это приближение является точным в пределе, когда m стремится к бесконечности.

В частности, для фиксированного целого числа n это тот случай, когда

Если n не является целым числом, невозможно сказать, верно ли это уравнение, поскольку мы еще (в этом разделе) не определили числа гармоник для нецелых чисел. Однако мы получаем уникальное расширение гармонических чисел до нецелых чисел, настаивая на том, что это уравнение продолжает выполняться, когда произвольное целое число n заменяется произвольным комплексным числом x ,

Поменяв местами порядок двух частей этого уравнения и затем вычитая их из H x, получим

Этот бесконечный ряд сходится для всех комплексных чисел x , за исключением целых отрицательных чисел, что не удается, поскольку попытка использовать рекурсивное соотношение H n = H n −1 + 1/ n в обратном направлении через значение n = 0 включает деление на ноль. Согласно этой конструкции, функция, определяющая номер гармоники для комплексных значений, является единственной функцией, которая одновременно удовлетворяет условиям (1) H 0 = 0 , (2) H x = H x −1 + 1/ x для всех комплексных чисел x, кроме неположительные целые числа и (3) lim m →+∞ ( H m + x H m ) = 0 для всех комплексных значений x .

Эту последнюю формулу можно использовать, чтобы показать, что где γ константа Эйлера–Машерони или, в более общем смысле, для каждого n имеем:

Специальные значения для дробных аргументов

[ редактировать ]

Существуют следующие специальные аналитические значения для дробных аргументов от 0 до 1, определяемые интегралом

Дополнительные значения могут быть сгенерированы из рекуррентного отношения. или из отношения отражения

Например:

Они вычисляются с помощью дигамм-теоремы Гаусса , которая, по сути, утверждает, что для натуральных чисел p и q с p < q

Связь с дзета-функцией Римана

[ редактировать ]

Некоторые производные дробных чисел гармоник имеют вид

А используя ряд Маклорена , мы имеем для x < 1, что

Для дробных аргументов от 0 до 1 и для a > 1,

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Перейти обратно: а б Джон Х., Конвей; Ричард К., Гай (1995). Книга чисел . Коперник.
  2. ^ Грэм, Рональд Л.; Кнут, Дональд Э.; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика . Аддисон-Уэсли.
  3. ^ Сондоу, Джонатан и Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническое число». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
  4. ^ Сандифер, К. Эдвард (2007), Как Эйлер сделал это , MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 206, ISBN  9780883855638 .
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. (2003). CRC Краткая математическая энциклопедия . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. п. 3115. ИСБН  978-1-58488-347-0 .
  6. ^ Эйзенштейн, Фердинанд Готхольд Макс (1850). «Новый род теоретико-числовых функций, которые зависят от двух элементов и определяются некоторыми линейными функциональными уравнениями». Об этом сообщает Royal. Пруссия. Академическая наука Берлин . 15 :36–42.
  7. ^ Ишваратасан, Арулаппа; Левин, Юджин (1991). «p-целые гармонические суммы» . Дискретная математика . 91 (3): 249–257. дои : 10.1016/0012-365X(90)90234-9 .
  8. ^ Бойд, Дэвид В. (1994). «Р-адическое исследование частичных сумм гармонического ряда» . Экспериментальная математика . 3 (4): 287–302. CiteSeerX   10.1.1.56.7026 . дои : 10.1080/10586458.1994.10504298 .
  9. ^ Санна, Карло (2016). «О p-адической оценке гармонических чисел» (PDF) . Журнал теории чисел . 166 : 41–46. дои : 10.1016/j.jnt.2016.02.020 . hdl : 2318/1622121 .
  10. ^ Чен, Юн-Гао; Ву, Бин-Лин (2017). «О некоторых свойствах гармонических чисел». Журнал теории чисел . 175 : 66–86. дои : 10.1016/j.jnt.2016.11.027 .
  11. ^ Джеффри Лагариас (2002). «Элементарная проблема, эквивалентная гипотезе Римана». амер. Математика. Ежемесячно . 109 (6): 534–543. arXiv : math.NT/0008177 . дои : 10.2307/2695443 . JSTOR   2695443 .
  12. ^ Э.О. Так (1964). «Некоторые методы обтекания тупых тонких тел». Дж. Гидромеханика . 18 (4): 619–635. Бибкод : 1964JFM....18..619T . дои : 10.1017/S0022112064000453 . S2CID   123120978 .
  13. ^ Сесма, Дж. (2017). «Возвращение к римским гармоническим числам» . Журнал теории чисел . 180 : 544–565. arXiv : 1702.03718 . дои : 10.1016/j.jnt.2017.05.009 . ISSN   0022-314X .
  14. ^ Леб, Дэниел Э; Рота, Джан-Карло (1989). «Формальный степенной ряд логарифмического типа» . Достижения в математике . 75 (1): 1–118. дои : 10.1016/0001-8708(89)90079-0 . ISSN   0001-8708 .
[ редактировать ]

Эта статья включает в себя материал из числа Harmonic на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 53c461b36bdc5f88176a4c024ac319a2__1719144660
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/53/a2/53c461b36bdc5f88176a4c024ac319a2.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Harmonic number - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)