Полигамма-функция

Информацию о гамма-функции Барнса см. в разделе « Множественная гамма-функция» .

Графики полигамма-функций ψ , ψ ⁽¹⁾ , п ⁽²⁾ и ψ ⁽³⁾ реальных аргументов

График дигамма-функции , первой полигамма-функции, в комплексной плоскости от −2−2i до 2+2i с цветами, созданными функцией Mathematica ComplexPlot3D, показывающий один цикл фазового сдвига вокруг каждого полюса и нуля.

В математике полигамма -функция порядка m является мероморфной функцией комплексных чисел. $\mathbb {C}$ определяется как ( m + 1) -я производная логарифма гамма -функции :

$\psi ^{(m)}(z):={\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\psi (z)={\frac {\mathrm {d} ^{m+1}}{\mathrm {d} z^{m+1}}}\ln \Gamma (z).$

Таким образом

$\psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}$

выполняется, где ψ ( z ) — дигамма-функция , а Γ( z ) — гамма-функция . Они голоморфны по $\mathbb {C} \backslash \mathbb {Z} _{\leq 0}$. Во всех неположительных целых числах эти полигамма-функции имеют полюс порядка m + 1 . Функция ψ ⁽¹⁾ ( z ) иногда называют тригамма-функцией .

Логарифм гамма-функции и первые несколько полигамма-функций в комплексной плоскости.

ln Γ( z )	п (0) ( С )	п (1) ( С )
п (2) ( С )	п (3) ( С )	п (4) ( С )

Интегральное представление

См. Также: Дигамма-функция § Интегральные представления.

Когда m > 0 и Re z > 0 , полигамма-функция равна

${\begin{aligned}\psi ^{(m)}(z)&=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,\mathrm {d} t\\&=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}(\ln t)^{m}\,\mathrm {d} t\\&=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\end{aligned}}$

где $\zeta (s,q)$ – дзета -функция Гурвица .

Это выражает полигамма-функцию как преобразование Лапласа ⁠ (−1) ^{м +1} т ^м / 1 - е ^{− т} ⁠ . следует Из теоремы Бернштейна о монотонных функциях , что для m > 0 и x вещественного и неотрицательного (−1) ^{м +1} п ^{( м )} ( x ) — полностью монотонная функция.

Установка m = 0 в приведенной выше формуле не дает интегрального представления дигамма-функции. Дигамма-функция имеет интегральное представление благодаря Гауссу, которое аналогично приведенному выше случаю m = 0 , но имеет дополнительный член ⁠ e ^{− т} / t ⁠ .

Рекуррентное отношение

Он удовлетворяет рекуррентному соотношению

$\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}$

что, рассматриваемое для положительного целого аргумента, приводит к представлению суммы обратных степеней натуральных чисел:

${\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1$

и

$\psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}$

для всех $n\in \mathbb {N}$, где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони . Как и логарифмическая гамма-функция, полигамма-функции могут быть обобщены из области определения $\mathbb {N}$ только для положительных действительных чисел только благодаря их рекуррентному соотношению и одному заданному значению функции, скажем, ψ ^{( м )} (1) , за исключением случая m = 0 , когда дополнительное условие строгой монотонности на $\mathbb {R} ^{+}$ все еще нужен. Это тривиальное следствие теоремы Бора–Моллерупа для гамма-функции, где строго логарифмическая выпуклость на $\mathbb {R} ^{+}$ требуется дополнительно. Случай m = 0 следует рассматривать иначе, поскольку ψ ⁽⁰⁾ не нормализуется на бесконечности (сумма обратных величин не сходится).

Отношение отражения

$(-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\cot {\pi z}=\pi ^{m+1}{\frac {P_{m}(\cos {\pi z})}{\sin ^{m+1}(\pi z)}}$

где P _m — попеременно нечетный или четный полином степени | м − 1 | с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом (−1) ^м ⌈2 ^{м - 1} ⌉ . Они подчиняются уравнению рекурсии

${\begin{aligned}P_{0}(x)&=x\\P_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'_{m}(x)\right).\end{aligned}}$

Теорема умножения

Теорема умножения дает

$k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1$

и

$k\psi ^{(0)}(kz)=k\ln {k}+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

для дигамма-функции .

Представление серии

Полигамма-функция имеет представление в виде ряда

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}$

которое справедливо для целых значений m > 0 и любого комплексного z, не равного отрицательному целому числу. Это представление можно более компактно записать в терминах дзета-функции Гурвица как

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z).$

Это соотношение можно, например, использовать для вычисления специальных значений

$\psi ^{(2n-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)={\frac {4^{2n-1}}{2n}}\left(\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|+2(2n)!\beta (2n)\right);$

$\psi ^{(2n-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {4^{2n-1}}{2n}}\left(\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|-2(2n)!\beta (2n)\right);$

$\psi ^{(2n)}\left({\frac {1}{4}}\right)=-2^{2n-1}\left(\pi ^{2n+1}|E_{2n}|+2(2n)!(2^{2n+1}-1)\zeta (2n+1)\right);$

$\psi ^{(2n)}\left({\frac {3}{4}}\right)=2^{2n-1}\left(\pi ^{2n+1}|E_{2n}|-2(2n)!(2^{2n+1}-1)\zeta (2n+1)\right).$

С другой стороны, можно понимать, что дзета Гурвица обобщает полигамму до произвольного, нецелого порядка.

Для полигамма-функций может быть разрешен еще один ряд. По данным Шлёмильха ,

${\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}.$

Это результат факторизационной теоремы Вейерштрасса . Таким образом, гамма-функция теперь может быть определена как:

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}.$

Теперь натуральный логарифм гамма-функции легко представить:

$\ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}-\ln \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right).$

Наконец, мы приходим к представлению суммирования полигамма-функции:

$\psi ^{(n)}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{n+1}}{\mathrm {d} z^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)$

Где δ _{n 0} — дельта Кронекера .

Также трансцендентный Лерх

$\Phi (-1,m+1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}$

можно обозначить через полигамма-функцию

$\Phi (-1,m+1,z)={\frac {1}{(-2)^{m+1}m!}}\left(\psi ^{(m)}\left({\frac {z}{2}}\right)-\psi ^{(m)}\left({\frac {z+1}{2}}\right)\right)$

Серия Тейлора

Ряд Тейлора при z = -1 равен

$\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1$

и

$\psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}$

который сходится для | г | < 1 . Здесь ζ – дзета-функция Римана . Этот ряд легко выводится из соответствующего ряда Тейлора для дзета-функции Гурвица. Этот ряд можно использовать для вывода ряда рациональных дзета-рядов .

Асимптотическое расширение

Эти несходящиеся ряды можно использовать для быстрого получения значения аппроксимации с определенной числовой точностью (по крайней мере) для больших аргументов:

$\psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1$

и

$\psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{kz^{k}}}$

где мы выбрали B ₁ = ⁠ 1/2 числа ⁠ , т. е. Бернулли второго рода.

Неравенства

Гиперболический котангенс удовлетворяет неравенству

${\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1,$

а это означает, что функция

${\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)$

неотрицательен для всех m ≥ 1 и t ≥ 0 . Отсюда следует, что преобразование Лапласа этой функции вполне монотонно. Используя приведенное выше интегральное представление, заключаем, что

$(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)$

является совершенно монотонным. Неравенство выпуклости e ^т ≥ 1 + t означает, что

$\left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}$

неотрицательен для всех m ≥ 1 и t ≥ 0 , поэтому аналогичный аргумент преобразования Лапласа дает полную монотонность

$\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x).$

Следовательно, для всех m ≥ 1 и x > 0

${\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}.$

Поскольку обе оценки строго положительны для $x>0$, у нас есть:

• $\ln \Gamma (x)$ является строго выпуклой .
• Для $m=0$, дигамма-функция, $\psi (x)=\psi ^{(0)}(x)$, строго монотонно возрастает и строго вогнута .
• Для $m$ нечетно, полигамма-функции, $\psi ^{(1)},\psi ^{(3)},\psi ^{(5)},\ldots$, строго положительны, строго монотонно убывают и строго выпуклы.
• Для $m$ даже полигамма-функции, $\psi ^{(2)},\psi ^{(4)},\psi ^{(6)},\ldots$, строго отрицательны, строго монотонно возрастают и строго вогнуты.

Это можно увидеть на первом графике выше.

Границы тригаммы и асимптота

Для случая тригамма-функции ( $m=1$) окончательная формула неравенства, приведенная выше для $x>0$, можно переписать как:

${\frac {x+{\frac {1}{2}}}{x^{2}}}\leq \psi ^{(1)}(x)\leq {\frac {x+1}{x^{2}}}$

так что для $x\gg 1$: $\psi ^{(1)}(x)\approx {\frac {1}{x}}$.

См. также

• Факториал
• Гамма-функция
• Дигамма-функция
• Тригамма-функция
• Обобщенная полигамма-функция

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1964). «Раздел 6.4» . Справочник по математическим функциям . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0 .