Проблема с укладкой блоков

В статике задача о штабелировании блоков (иногда известная как «Падающая башня Лиры» ( Джонсон, 1955 ), а также проблема о штабелировании книг или ряд других подобных терминов) представляет собой головоломку, касающуюся укладки блоков на краю стол.

Заявление

Проблема укладки блоков представляет собой следующую головоломку:

Место $N$ одинаковые жесткие прямоугольные блоки в устойчивой стопке на краю стола таким образом, чтобы максимально увеличить свес.

Патерсон и др. (2007) приводят длинный список ссылок по этой проблеме, восходящий к текстам по механике середины XIX века.

Варианты

Одинарной ширины

Проблема единой ширины предполагает наличие только одного блока на любом заданном уровне. В идеальном случае идеально прямоугольных блоков решение проблемы одинарной ширины состоит в том, что максимальный вылет определяется выражением ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2i}}}$ раз больше ширины блока. Эта сумма составляет половину соответствующей частичной суммы гармонического ряда . Поскольку гармонический ряд расходится, максимальный вылет стремится к бесконечности как $N$ увеличивается, а это означает, что можно добиться любого сколь угодно большого вылета при достаточном количестве блоков.

Н	Максимальный вылет
Н	выраженный в виде дроби		десятичный	относительный размер
1	1	/2	0.5	0.5
2	3	/4	0.75	0.75
3	11	/12	~0.91667	0.91667
4	25	/24	~1.04167	1.04167
5	137	/120	~1.14167	1.14167
6	49	/40	1.225	1.225
7	363	/280	~1.29643	1.29643
8	761	/560	~1.35893	1.35893
9	7 129	/5 040	~1.41448	1.41448
10	7 381	/5 040	~1.46448	1.46448

Н	Максимальный вылет
Н	выраженный в виде дроби		десятичный	относительный размер
11	83 711	/55 440	~1.50994	1.50994
12	86 021	/55 440	~1.55161	1.55161
13	1 145 993	/720 720	~1.59007	1.59007
14	1 171 733	/720 720	~1.62578	1.62578
15	1 195 757	/720 720	~1.65911	1.65911
16	2 436 559	/1 441 440	~1.69036	1.69036
17	42 142 223	/24 504 480	~1.71978	1.71978
18	14 274 301	/8 168 160	~1.74755	1.74755
19	275 295 799	/155 195 040	~1.77387	1.77387
20	55 835 135	/31 039 008	~1.79887	1.79887

Н	Максимальный вылет
Н	выраженный в виде дроби		десятичный	относительный размер
21	18 858 053	/10 346 336	~1.82268	1.82268
22	19 093 197	/10 346 336	~1.84541	1.84541
23	444 316 699	/237 965 728	~1.86715	1.86715
24	1 347 822 955	/713 897 184	~1.88798	1.88798
25	34 052 522 467	/17 847 429 600	~1.90798	1.90798
26	34 395 742 267	/17 847 429 600	~1.92721	1.92721
27	312 536 252 003	/160 626 866 400	~1.94573	1.94573
28	315 404 588 903	/160 626 866 400	~1.96359	1.96359
29	9 227 046 511 387	/4 658 179 125 600	~1.98083	1.98083
30	9 304 682 830 147	/4 658 179 125 600	~1.99749	1.99749

Количество блоков, необходимых для достижения как минимум $N$ длина блока за краем таблицы равна 4, 31, 227, 1674, 12367, 91380, ... (последовательность A014537 в OEIS ). ^[1]

Мультиширокий

Пакеты разной ширины с использованием противовеса могут дать больший свес, чем штабель одинарной ширины. Даже для трех блоков установка двух уравновешенных блоков поверх другого блока может дать свес, равный 1, тогда как в простом идеальном случае свес не превышает ⁠ 11/12 ⁠ . Как Патерсон и др. (2007) асимптотически показали, что максимальный выступ, которого можно достичь с помощью штабелей различной ширины, пропорционален кубическому корню из числа блоков, в отличие от случая одинарной ширины, в котором выступ пропорционален логарифму количество блоков. Однако было показано, что на самом деле это невозможно и количество блоков, которые мы можем сдвинуть вправо из-за напряжения блока, не превышает заданного числа. Например, для специального кирпича $h$ = 0,20 м модуль Юнга $Е$ = 3000 МПа и плотность $ρ$ = 1,8 × 10. ³ кг/м ³ и предельное сжимающее напряжение 3 МПа , ориентировочное значение $Н$ составит 853, а максимальная высота башни составит 170 м . ^[2]

Доказательство решения варианта с одинарной шириной

Приведенная выше формула для максимального вылета $n$ блоки, каждый длиной $l$ и масса $m$ , сложенные на одном уровне, можно доказать методом индукции , рассматривая крутящие моменты на блоках около края стола, над которым они нависают. Блоки можно смоделировать как точечные массы, расположенные в центре каждого блока, предполагая однородную плотность массы. В базовом случае ( $n=1$ ), центр массы блока находится над краем стола, что означает выступ $l/2$ . Для $k$ блоков, центр масс $k$ -блоковая система должна лежать выше края стола, а центр масс $k-1$ верхние блоки должны лежать выше края первого для статического равновесия. ^[3] Если $k$ блок нависает над $(k-1)$ это по $l/2$ и свес первого $x$ , ^[4]

$(k-1)mgx=(l/2-x)mg\implies x=l/2k,$

где $g$ обозначает гравитационное поле . Если $k-1$ верхние блоки нависают над своим центром масс на $y$ , тогда, если принять индуктивную гипотезу, максимальный вылет стола составит

$y+{\frac {l}{2k}}=\sum _{i=1}^{k}{l/2i}\implies y=\sum _{i=1}^{k-1}{l/2i}.$

Для $k+1$ блоки, $y$ обозначает, насколько $k+1-1$ верхние блоки нависают над центром масс $(y=\sum _{i=1}^{k}l/2i)$ , и $x={\frac {l}{2(k+1)}}$ . Тогда максимальный вылет составит:

${\frac {l}{2(k+1)}}+\sum _{i=1}^{k}l/2i=\sum _{i=1}^{k+1}l/2i.$

Надежность

Холл (2005) обсуждает эту проблему, показывает, что она устойчива к неидеализациям, таким как закругленные углы блоков и конечная точность размещения блоков, и предлагает несколько вариантов, включая ненулевые силы трения между соседними блоками.

Ссылки

^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014537 (Количество книг, необходимых для n длин книг с выступом в задаче о гармонической укладке книг.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Хошбин-э-Хошназар, М.Р. (2007). «Упрощение моделирования может ввести студентов в заблуждение» . Физическое образование . 42 : 14–15. дои : 10.1088/0031-9120/42/1/F05 . S2CID 250745206 .
^ Казеле, Жиль. «Проблема укладки блоков» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 4 декабря 2023 года.
^ Джоанна (14 апреля 2022 г.). «Задача о бесконечной укладке блоков или Падающая башня Лиры» . Математическая карьера . Проверено 4 декабря 2023 г.
^ М. Патерсон и др., Максимальный вылет , Математическая ассоциация Америки, ноябрь 2009 г.

Холл, Дж. Ф. (2005). «Забава со штабелированием кубиков». Американский журнал физики . 73 (12): 1107–1116. Бибкод : 2005AmJPh..73.1107H . дои : 10.1119/1.2074007 . .
Джонсон, Пол Б. (апрель 1955 г.). «Падающая башня Лиры». Американский журнал физики . 23 (4): 240. Бибкод : 1955AmJPh..23..240J . дои : 10.1119/1.1933957 .
Патерсон, Майк ; Перес, Юваль ; Торуп, Миккель ; Винклер, Питер ; Цвик, Ури (2007). «Максимальный вылет». arXiv : 0707.0093 [ math.HO ].

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Проблема штабелирования книг» . Математический мир .
«Строительство бесконечного моста» . Бесконечный сериал PBS . 04 мая 2017 г. Проверено 3 сентября 2018 г.

[1] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014537 (Количество книг, необходимых для n длин книг с выступом в задаче о гармонической укладке книг.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[2] Хошбин-э-Хошназар, М.Р. (2007). «Упрощение моделирования может ввести студентов в заблуждение» . Физическое образование . 42 : 14–15. дои : 10.1088/0031-9120/42/1/F05 . S2CID 250745206 .

[3] Казеле, Жиль. «Проблема укладки блоков» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 4 декабря 2023 года.

[4] Джоанна (14 апреля 2022 г.). «Задача о бесконечной укладке блоков или Падающая башня Лиры» . Математическая карьера . Проверено 4 декабря 2023 г.

[5] М. Патерсон и др., Максимальный вылет , Математическая ассоциация Америки, ноябрь 2009 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]