Неопределенная сумма

В дискретном исчислении оператор неопределенной суммы (также известный как оператор антиразности ), обозначаемый ${\textstyle \sum _{x}}$ или $\Delta ^{-1}$, — линейный оператор , обратный оператору прямой разности $\Delta$. Он относится к оператору прямой разности так же, как неопределенный интеграл относится к производной . Таким образом

$\Delta \sum _{x}f(x)=f(x)\,.$

Более явно, если ${\textstyle \sum _{x}f(x)=F(x)}$, затем

$F(x+1)-F(x)=f(x)\,.$

Если F ( x ) является решением этого функционального уравнения для данного f ( x ), то так же является F ( x ) + C ( x ) для любой периодической функции C ( x ) с периодом 1. Следовательно, каждая неопределенная сумма фактически представляет собой семейство функций. Однако, согласно теореме Карлсона , решение, равное его в ряд Ньютона , уникально с точностью до аддитивной константы C. разложению Это уникальное решение можно представить в виде формального степенного ряда оператора антиразности: $\Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}$.

Основная теорема дискретного исчисления

Неопределенные суммы можно использовать для расчета определенных сумм по формуле:

$\sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)$

Определения

Формула суммирования Лапласа

Формула суммирования Лапласа позволяет записать неопределенную сумму в виде неопределенного интеграла плюс поправочные члены, полученные в результате итерации разностного оператора , хотя изначально она была разработана для обратного процесса записи интеграла в виде неопределенной суммы плюс поправочные члены. Как обычно с неопределенными суммами и неопределенными интегралами, это справедливо с точностью до произвольного выбора константы интегрирования . Использование операторной алгебры позволяет избежать загромождения формулы повторяющимися копиями функции, над которой нужно работать:

$$\sum _{x}=\int {}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{12}}\Delta +{\frac {1}{24}}\Delta ^{2}-{\frac {19}{720}}\Delta ^{3}+{\frac {3}{160}}\Delta ^{4}-\cdots$$

В этой формуле, например, член ${\tfrac {1}{2}}$ представляет оператор, который делит данную функцию на два. Коэффициенты $+{\tfrac {1}{2}}$, $-{\tfrac {1}{12}}$и т. д., входящие в эту формулу, — это коэффициенты Грегори , также называемые числами Лапласа. Коэффициент в термине $\Delta ^{n-1}$ является

$${\frac {{\mathcal {C}}_{n}}{n!}}=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx$$

где числитель ${\mathcal {C}}_{n}$ левой части называется числом Коши первого рода, хотя это название иногда применяется и к самим коэффициентам Грегори.

Формула Ньютона

$\sum _{x}f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1}[f]\left(0\right)+C=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}[f](0)}{k!}}(x)_{k}+C$

где $(x)_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}$ это падающий факториал .

Формула Фаульхабера

Основная статья: формула Фаульхабера

$\sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}B_{n}(x)+C\,,$

Формула Фаульхабера показывает, что правая часть уравнения сходится.

Формула Мюллера

Если $\lim _{x\to {+\infty }}f(x)=0,$ затем

$\sum _{x}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(f(n)-f(n+x)\right)+C.$

Формула Эйлера – Маклорена

Основная статья: формула Эйлера – Маклорена

$\sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C$

Выбор постоянного члена

Часто константа C в неопределенной сумме фиксируется из следующего условия.

Позволять

$F(x)=\sum _{x}f(x)+C$

Тогда константа C фиксируется из условия

$\int _{0}^{1}F(x)\,dx=0$

или

$\int _{1}^{2}F(x)\,dx=0$

Альтернативно можно использовать сумму Рамануджана:

$\sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)$

или в 1

$\sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)$

соответственно

Суммирование по частям

Основная статья: Суммирование по частям

Неопределённое суммирование по частям:

$\sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)$

$\sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)$

Определенное суммирование по частям:

$\sum _{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)$

Правила периода

Если $T$ это период функционирования $f(x)$ затем

$\sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C$

Если $T$ является антипериодом функции $f(x)$, то есть $f(x+T)=-f(x)$ затем

$\sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C$

Альтернативное использование

Некоторые авторы используют словосочетание «неопределенная сумма» для описания суммы, в которой не указано числовое значение верхнего предела:

$\sum _{k=1}^{n}f(k).$

В этом случае выражение в замкнутой форме F ( k суммы ) является решением уравнения

$F(x+1)-F(x)=f(x+1)$

которое называется уравнением телескопирования. Это обратная обратная разность $\nabla$ оператор.Он связан с оператором прямой антиразности с использованием фундаментальной теоремы дискретного исчисления, описанной ранее.

Список неопределенных сумм

Это список неопределенных сумм различных функций. Не каждая функция имеет неопределенную сумму, которую можно выразить через элементарные функции.

Антиразличия рациональных функций

$\sum _{x}a=ax+C$

Из которого $a$ можно выбросить, оставив 1, с альтернативной формой $x^{0}$. Отсюда мы имеем:

$\sum _{x}x^{0}=\ x$

Для суммы ниже помните $x=x^{1}$

$\sum _{x}x={\frac {x(x+1)}{2}}+C$

Для положительных целых показателей формулу Фаульхабера можно использовать . Для отрицательных целочисленных показателей

$\sum _{x}{\frac {1}{x^{a}}}={\frac {(-1)^{a+1}\psi ^{(a+1)}(x)}{a!}}+C,\,a\in \mathbb {Z}$

где $\psi ^{(n)}(x)$ функцию полигаммы . можно использовать

В более общем смысле,

$\sum _{x}x^{a}={\begin{cases}-\zeta (-a,x+1)+C_{1},&{\text{if }}a\neq -1\\\psi (x+1)+C_{2},&{\text{if }}a=-1\end{cases}}$

где $\zeta (s,a)$ - дзета -функция Гурвица и $\psi (z)$ это функция Дигаммы . $C_{1}$ и $C_{2}$ являются константами, которым обычно присваивается значение $\zeta (-a)$ (где $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана ) и константа Эйлера–Машерони соответственно. Заменив переменную $a$ с $-a$, это становится Обобщенным номером гармоники . О связи между дзета-функцией Гурвица и полигамма- функцией см. Сбалансированная полигамма-функция и дзета-функция Гурвица#Специальные случаи и обобщения .

Исходя из этого, используя ${\frac {\partial }{\partial a}}\zeta (s,a)=-s\zeta (s+1,a)$, можно получить другую форму:

$\sum _{x}x^{a}=\int _{0}^{x}-a\zeta (1-a,u+1)du+C,{\text{ if }}a\neq -1$

$\sum _{x}B_{a}(x)=(x-1)B_{a}(x)-{\frac {a}{a+1}}B_{a+1}(x)+C$

Антиразности показательных функций

$\sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C$

Особенно,

$\sum _{x}2^{x}=2^{x}+C$

Антиразности логарифмических функций

$\sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}(x!)+C$

$\sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(x!a^{x})+C$

Антиразличия гиперболических функций

$\sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C$

$\sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C$

$\sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C$

где $\psi _{q}(x)$ — q-дигамма -функция.

Антиразности тригонометрических функций

$\sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi$

$\sum _{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi$

$\sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi$

$\sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi$

$\sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi _{e^{2ia}}\left(x-{\frac {\pi }{2a}}\right)+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}$

где $\psi _{q}(x)$ — q-дигамма -функция.

$\sum _{x}\tan x=ix-\psi _{e^{2i}}\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C=-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-x\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+x\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C$

$\sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi _{e^{2ia}}(x)}{a}}+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}$

$\sum _{x}\operatorname {sinc} x=\operatorname {sinc} (x-1)\left({\frac {1}{2}}+(x-1)\left(\ln(2)+{\frac {\psi ({\frac {x-1}{2}})+\psi ({\frac {1-x}{2}})}{2}}-{\frac {\psi (x-1)+\psi (1-x)}{2}}\right)\right)+C$

где $\operatorname {sinc} (x)$ — нормализованная функция sinc .

Антиразности обратных гиперболических функций

$\sum _{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(x-{\frac {1}{a}}\right)}}\right)+C$

Антиразности обратных тригонометрических функций

$\sum _{x}\arctan ax={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+C$

Антиотличия специальных функций

$\sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C$

$\sum _{x}\Gamma (x)=(-1)^{x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C$

где $\Gamma (s,x)$ – неполная гамма-функция .

$\sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}}{a+1}}+C$

где $(x)_{a}$ это падающий факториал .

$\sum _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)=\ln _{a}{\frac {(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C$

(см. суперэкспоненциальную функцию )

См. также

• Неопределенный продукт
• Расчет шкалы времени
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях

Дальнейшее чтение

• «Разностные уравнения: введение с приложениями», Уолтер Г. Келли, Аллан К. Петерсон, Academic Press, 2001 г., ISBN   0-12-403330-X
• Маркус Мюллер. Как сложить нецелое количество членов и как производить необычные бесконечные суммирования
• Маркус Мюллер, Дирк Шлейхер. Дробные суммы и тождества типа Эйлера
• ИП Поляков. Неопределенное суммирование рациональных функций с дополнительной минимизацией суммируемой части. Программирование, 2008, Том. 34, № 2.
• «Уравнения в конечных разностях и моделирование», Фрэнсис Б. Хильдебранд, Прентис-Холл, 1968 г.