Графические обозначения Пенроуза

Графическое обозначение Пенроуза (обозначение тензорной диаграммы) состояния матричного произведения пяти частиц

В математике и физике предложенное графическая нотация Пенроуза или нотация тензорной диаграммы — это (обычно рукописное) визуальное изображение полилинейных функций или тензоров, Роджером Пенроузом в 1971 году. Диаграмма в обозначениях состоит из нескольких фигур, соединенных между собой линиями.

Это обозначение широко встречается в современной квантовой теории , особенно в состояниях матричных произведений и квантовых схемах . В частности, категориальная квантовая механика , включающая ZX-исчисление, представляет собой полностью полную переформулировку квантовой теории в терминах диаграмм Пенроуза.

Эти обозначения были тщательно изучены Предрагом Цвитановичем , который использовал их вместе с диаграммами Фейнмана и другими соответствующими обозначениями при разработке «птичьих следов», теоретико-групповой диаграммы для классификации классических групп Ли . Обозначения Пенроуза также были обобщены с использованием теории представлений для вращения сетей в физике и с наличием групп матриц для отслеживания диаграмм в линейной алгебре .

Интерпретации

Полилинейная алгебра

На языке полилинейной алгебры каждая фигура представляет собой полилинейную функцию . Линии, прикрепленные к фигурам, представляют входные или выходные данные функции, а соединение фигур каким-либо образом представляет собой, по сути, композицию функций .

Тензоры

На языке тензорной алгебры конкретный тензор связан с определенной формой со множеством линий, выступающих вверх и вниз, что соответствует абстрактным верхним и нижним индексам тензоров соответственно. Соединение линий между двумя фигурами соответствует сжатию индексов . Одним из преимуществ этого обозначения является то, что не нужно изобретать новые буквы для новых индексов. Это обозначение также явно не зависит от базиса .

Матрицы

Каждая фигура представляет собой матрицу, тензорное умножение выполняется горизонтально, а матричное умножение выполняется вертикально.

Представление специальных тензоров

Метрический тензор

Метрический тензор представлен U-образной петлей или перевернутой U-образной петлей, в зависимости от типа используемого тензора.

метрический тензор $g^{ab}$

метрический тензор $g_{ab}$

Тензор Леви-Чивита

Антисимметричный тензор Леви -Чивита представляет собой толстую горизонтальную полосу со палочками, направленными вниз или вверх, в зависимости от типа используемого тензора.

$\varepsilon _{ab\ldots n}$

$\varepsilon ^{ab\ldots n}$

$\varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}$$=n!$

Структурная константа

структурная константа ${\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }$

Структурные константы ( ${\gamma _{ab}}^{c}$) алгебры Ли изображаются в виде маленького треугольника с одной линией, направленной вверх, и двумя линиями, направленными вниз.

Тензорные операции

индексов

Сокращение индексов представлено соединением индексных линий.

Кронекера дельта $\delta _{b}^{a}$

Скалярное произведение $\beta _{a}\,\xi ^{a}$

$g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}$

Симметризация

Симметризация индексов представлена ​​толстой зигзагообразной или волнистой полосой, пересекающей индексные линии по горизонтали.

Симметризация $Q^{(ab\ldots n)}$ (с ${}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}$)

Антисимметризация

Антисимметризация индексов представлена ​​толстой прямой линией, пересекающей индексные линии по горизонтали.

Антисимметризация $E_{[ab\ldots n]}$ (с ${}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}$)

Определить

Определитель формируется путем применения антисимметризации к индексам.

Определитель $\det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)$

Обратная матрица $\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}$

Ковариантная производная

производная Ковариантная ( $\nabla$) представлен кружком вокруг тензора(ов), который нужно дифференцировать, и линией, соединенной с кругом, направленной вниз, чтобы представить нижний индекс производной.

ковариантная производная $12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)$ $=12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)$

Тензорные манипуляции

Диаграмматические обозначения полезны при работе с тензорной алгеброй. Обычно это включает в себя несколько простых « тождеств » тензорных манипуляций.

Например, $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$, где n — количество измерений, является общей «тождественностью».

Тензор

Тождества Риччи и Бьянки, заданные в терминах тензора кривизны Римана, иллюстрируют силу обозначений.

Обозначение тензора кривизны Римана

Тензор Риччи $R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}$

личность Риччи $(\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}$$=R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}$

личность Бьянки $\nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0$

Расширения

Обозначение расширено за счет поддержки спиноров и твисторов .

См. также

• Обозначение абстрактного индекса
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Плетеная моноидальная категория
• Категориальная квантовая механика использует обозначение тензорной диаграммы.
• Состояние матричного продукта использует графическую нотацию Пенроуза.
• Фигурное исчисление
• Спиновые сети
• Диаграмма трассировки