Пропорциональность (математика)

В математике две последовательности чисел, часто экспериментальные данные , пропорциональны или прямо пропорциональны , если их соответствующие элементы имеют постоянное соотношение . Это соотношение называется коэффициентом пропорциональности (или константой пропорциональности ), а обратная ему величина известна как константа нормализации (или константа нормализации ). Две последовательности обратно пропорциональны, если соответствующие элементы имеют постоянное произведение, также называемое коэффициентом пропорциональности.

Это определение обычно распространяется на связанные переменные величины, которые часто называют переменными . Это значение переменной не является общепринятым значением этого термина в математике (см. переменная (математика) ); эти две разные концепции имеют одно и то же название по историческим причинам.

Две функции $f(x)$ и $g(x)$ пропорциональны , если их соотношение ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ является постоянной функцией .

Если несколько пар переменных имеют одну и ту же константу прямой пропорциональности, уравнение, выражающее равенство этих отношений, называется пропорцией , например: $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}а / б = x / y = ⋯ = k$ (подробнее см. Соотношение ). Пропорциональность тесно связана с линейностью .

Прямая пропорциональность [ править ]

Учитывая независимую переменную x и зависимую переменную y , y пропорциональна прямо x . ^[1] если существует положительная константа k такая, что:

y=kx

Отношение часто обозначается символами «∝» (не путать с греческой буквой альфа ) или «~», за исключением японских текстов, где «~» зарезервировано для интервалов:

y\propto x

(или

y\sim x

)

Для $x\neq 0$ можно константу пропорциональности выразить как соотношение:

k={\frac {y}{x}}

Ее еще называют константой вариации или константой пропорциональности . При такой константе k пропорциональности отношение ∝ с константой пропорциональности k между двумя множествами A и B является отношением эквивалентности, определяемым формулой $\{(a,b)\in A\times B:a=kb\}.$

Прямую пропорциональность также можно рассматривать как линейное уравнение с двумя переменными с y точкой пересечения , равной $0$ и наклоном k , > 0, что соответствует линейному росту .

Примеры [ править ]

Если объект движется с постоянной скоростью , то пройденное расстояние прямо пропорционально времени, потраченному на перемещение, причем скорость является константой пропорциональности.
Длина окружности причем диаметру прямо пропорциональна ее , константа пропорциональности равна $π$ .
На карте достаточно небольшой географической области, нарисованной в масштабе расстояний, расстояние между любыми двумя точками на карте прямо пропорционально расстоянию по прямой между двумя местоположениями, представленными этими точками; константой пропорциональности является масштаб карты.
Сила со стороны , действующая на небольшой объект с небольшой массой близлежащей большой протяженной массы под действием силы тяжести , прямо пропорциональна массе объекта; константа пропорциональности между силой и массой известна как гравитационное ускорение .
Чистая сила, действующая на объект, пропорциональна ускорению этого объекта относительно инерциальной системы отсчета. Константа пропорциональности во втором законе Ньютона — это классическая масса объекта.

Обратная пропорциональность [ править ]

Две переменные обратно пропорциональны (также называемые изменяющимися обратно пропорционально , в обратном изменении , в обратной пропорции ) ^[2] если каждая из переменных прямо пропорциональна мультипликативной обратной (обратной) величине другой, или, что то же самое, если их произведение является константой. ^[3] Отсюда следует, что переменная y обратно пропорциональна переменной x , если существует ненулевая константа k такая, что

y={\frac {k}{x}}

или эквивалентно, $xy=k$ . Следовательно, константа « k » является произведением x и y .

График двух переменных, обратно меняющихся на декартовой координатной плоскости, представляет собой прямоугольную гиперболу . Произведение значений x и y каждой точки кривой равно константе пропорциональности ( k ). Поскольку ни x, ни y не могут равняться нулю (поскольку k не равно нулю), график никогда не пересекает ни одну из осей.

Прямая и обратная пропорциональность контрастируют следующим образом: в прямой зависимости переменные увеличиваются или уменьшаются вместе. При обратной пропорциональности увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. Например, в путешествии постоянная скорость определяет прямую пропорцию между расстоянием и пройденным временем; напротив, для данного расстояния (константы) время путешествия обратно пропорционально скорости: s × t = d .

Гиперболические координаты [ править ]

Понятия прямой и обратной пропорциональности приводят к расположению точек на декартовой плоскости по гиперболическим координатам ; две координаты соответствуют константе прямой пропорциональности, указывающей, что точка находится на определенном луче, и константе обратной пропорциональности, указывающей, что точка находится на определенной гиперболе .

Компьютерное кодирование [ править ]

Символы Юникода , обозначающие пропорциональность, следующие:

U+221D ∝ ПРОПОРЦИОНАЛЬНО ( &prop;, &Proportional;, &propto;, &varpropto;, &vprop; )
U+007E ~ ТИЛЬДА
U + 2237 ∷ ПРОПОРЦИЯ
U + 223C ∼ ОПЕРАТОР ТИЛЬДА ( &sim;, &thicksim;, &thksim;, &Tilde; )
U + 223A ∺ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ ( &mDDот; )

См. также [ править ]

Рост

Примечания [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Прямо пропорционально» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
^ «Обратная вариация» . math.net . Проверено 31 октября 2021 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Обратно пропорционально» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.

Ссылки [ править ]

Я. Б. Зельдович, И. М. Яглом : Высшая математика для начинающих , с. 34–35 .
Брайан Баррелл: Руководство Merriam-Webster по повседневной математике: справочник по дому и бизнесу . Мерриам-Вебстер, 1998 г., ISBN 9780877796213 , с. 85–101 .
Ланиус, Синтия С.; Уильямс Сьюзен Э.: ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ: объединяющая тема для средних классов . Преподавание математики в средней школе 8.8 (2003), с. 392–396.
Сили, Кэти; Шилак Джейн Ф.: Взгляд на развитие коэффициентов, ставок и пропорциональности . Преподавание математики в средней школе, 13.3, 2007, с. 140–142.
Ван Доорен, Вим; Де Бок Дирк; Эверс Марлин; Вершаффель Ливен: Чрезмерное использование студентами принципа пропорциональности при решении задач с пропущенными значениями: как числа могут изменить решения . Журнал исследований в области математического образования, 40.2, 2009 г., стр. 187–211.

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Прямо пропорционально» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.

[2] «Обратная вариация» . math.net . Проверено 31 октября 2021 г.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Обратно пропорционально» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.

[1]

[2]

[3]