Теорема о перехвате

Теорема о пересечении , также известная как теорема Фалеса , основная теорема пропорциональности или теорема о боковом расщеплении , является важной теоремой в элементарной геометрии о соотношениях различных отрезков прямой , которые создаются, если два луча с общей начальной точкой пересекаются парой параллелей . . Она эквивалентна теореме о соотношениях в подобных треугольниках . Традиционно его приписывают греческому математику Фалесу . Оно было известно древним вавилонянам и египтянам, хотя первое известное доказательство его содержится в Евклида » «Началах .

Формулировка теоремы

Предположим, S — общая начальная точка двух лучей, и эти два луча пересекают две параллельные прямые (см. рисунок). Пусть A, B — пересечения первого луча с двумя параллелями, так что B находится дальше от S, чем A, и аналогично C, D — пересечения второго луча с двумя параллелями, так что D находится дальше от S. S, чем C. В этой конфигурации справедливы следующие утверждения: ^[1]^[2]

Отношение любых двух отрезков первого луча равно отношению соответствующих отрезков второго луча:
${\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}$ , ${\frac {|SB|}{|AB|}}={\frac {|SD|}{|CD|}}$ , ${\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}$
Отношение двух сегментов одного луча, начинающегося с точки S, равно отношению сегментов на параллелях:
${\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}$
Обратное утверждение первого утверждения также верно, т. е. если два луча пересекаются двумя произвольными прямыми и ${\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}$ выполняется, то две пересекающие прямые параллельны. Однако обратное второму утверждению неверно (контрпример см. на рисунке).

Дополнения и выводы

Первые два утверждения остаются верными, если два луча заменить двумя линиями, пересекающимися в $S$ . В этом случае возможны два сценария развития событий. $S$ , либо он находится между двумя параллелями (рисунок X), либо нет (рисунок V). Если $S$ не находится между двумя параллелями, исходная теорема применяется напрямую. Если $S$ лежит между двумя параллелями, то отражение $A$ и $C$ в $S$ дает фигуру V с идентичными мерами, к которым теперь применима исходная теорема. ^[2] Однако третье утверждение (обратное) не остается верным для линий. ^[3]^[4]^[5]

Если имеется более двух лучей, начинающихся с $S$ или более двух линий, пересекающихся в $S$ , то каждая параллель содержит более одного отрезка и отношение двух отрезков на одной параллели равно отношению соответствующих отрезков на другой параллели. Например, если есть третий луч, начинающийся с $S$ и пересекая параллели в $E$ и $F$ , такой, что $F$ находится дальше от $S$ чем $E$ , то имеют место следующие равенства: ^[4]

{\frac {|AE|}{|BF|}}={\frac {|EC|}{|FD|}}

,

{\frac {|AE|}{|EC|}}={\frac {|BF|}{|FD|}}

Для второго уравнения верно и обратное: если три луча пересекаются двумя линиями и отношения соответствующих отрезков на каждой линии равны, то эти две линии должны быть параллельны. ^[4]

Связанные понятия

Подобие и подобные треугольники

Теорема о пересечении тесно связана с подобием . Оно эквивалентно понятию подобных треугольников , т.е. его можно использовать для доказательства свойств подобных треугольников, а подобные треугольники можно использовать для доказательства теоремы о пересечении. Сопоставляя одинаковые углы, вы всегда можете поместить два подобных треугольника друг в друга, чтобы получить конфигурацию, к которой применима теорема о пересечении; и наоборот, конфигурация теоремы о пересечении всегда содержит два подобных треугольника.

Скалярное умножение в векторных пространствах

В нормированном векторном пространстве аксиомы, касающиеся скалярного умножения (в частности, $\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}$ и $\|\lambda {\vec {a}}\|=|\lambda |\cdot \ \|{\vec {a}}\|$ ) убедитесь, что теорема о пересечении выполняется. У одного есть ${\frac {\|\lambda \cdot {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |$

Приложения

Алгебраическая формулировка конструкций циркуля и линейки.

Есть три знаменитые задачи элементарной геометрии, которые были поставлены греками в виде циркуля и линейки : ^[6]^[7]

Прошло более 2000 лет, прежде чем все три из них наконец оказались невозможными. Это было достигнуто в XIX веке с помощью ставших к тому времени алгебраических методов. Чтобы переформулировать три проблемы в алгебраических терминах с использованием расширений полей , необходимо сопоставить полевые операции с конструкциями циркуля и линейки (см. конструктивное число ). В частности, важно гарантировать, что для двух заданных отрезков можно построить новый отрезок, длина которого равна произведению длин двух других. Аналогично нужно уметь построить для отрезка длины $a$ , новый отрезок длиной $a^{-1}$ . Теорему о пересечении можно использовать, чтобы показать, что в обоих случаях такая конструкция возможна.

Создание продукта	Построение инверсии

Деление отрезка прямой в заданном соотношении

Чтобы разделить произвольный сегмент линии ${\overline {AB}}$ в $m:n$ отношения, нарисуйте произвольный угол в A с ${\overline {AB}}$ как одна нога. На конструкции другой ноги $m+n$ равноотстоящие точки, затем проведите линию через последнюю точку и точку B и параллельную линию через m -ю точку. Эта параллельная линия разделяет ${\overline {AB}}$ в желаемом соотношении. На рисунке справа показано разделение отрезка прямой. ${\overline {AB}}$ в $5:3$ соотношение. ^[8]

Измерение и обследование

Высота пирамиды Хеопса

Согласно некоторым историческим источникам, греческий математик Фалес применил теорему пересечения для определения высоты пирамиды Хеопса . Следующее описание иллюстрирует использование теоремы о пересечении для вычисления высоты пирамиды. Однако в нем не рассказывается об оригинальной работе Фалеса, которая была утеряна. ^[9]^[10]

Фалес измерил длину основания пирамиды и высоту шеста. Затем в одно и то же время дня он измерил длину тени пирамиды и длину тени шеста. В результате были получены следующие данные:

высота шеста (А): 1,63 м
тень от столба (B): 2 м
длина основания пирамиды: 230 м.
тень пирамиды: 65 м

Отсюда он вычислил

C=65~{\text{m}}+{\frac {230~{\text{m}}}{2}}=180~{\text{m}}

Зная A, B и C, он теперь мог применить теорему о пересечении для вычисления

D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63~{\text{m}}\cdot 180~{\text{m}}}{2~{\text{m}}}}=146.7~{\text{m}}

Измерение ширины реки

Теорему о пересечении можно использовать для определения расстояния, которое невозможно измерить напрямую, например, ширины реки или озера, высоты высоких зданий и т.п. На рисунке справа показано измерение ширины реки. Сегменты $\|CF\|$ , $\|CA\|$ , $\|FE\|$ измеряются и используются для расчета желаемого расстояния $\|AB\|={\frac {\|AC\|\|FE\|}{\|FC\|}}$ .

Параллельные линии в треугольниках и трапециях.

Теорему о пересечении можно использовать, чтобы доказать, что определенная конструкция дает параллельные прямые (отрезки).

Если середины двух сторон треугольника соединить, то полученный отрезок параллелен третьей стороне треугольника ( Теорема о средней точке треугольников ).	Если середины двух непараллельных сторон трапеции соединить, то полученный отрезок параллелен двум другим сторонам трапеции.

Исторические аспекты

Теорему традиционно приписывают греческому математику Фалесу Милетскому , который, возможно, использовал ту или иную форму теоремы для определения высоты пирамид в Египте и расчета расстояния корабля от берега. ^[11]^[12]^[13]^[14]

Доказательство

Элементарное доказательство теоремы использует треугольники равной площади для вывода основных утверждений об отношениях (утверждение 1). Затем следуют другие утверждения, применяя первое утверждение и противоречие. ^[1]

Претензия 1

Примечание: для треугольника вертикальные черты ( $\|\ldots \|$ ) обозначают его площадь, а для отрезка — его длину. Доказательство: поскольку $CA\parallel BD$ , высоты $\triangle CDA$ и $\triangle CBA$ имеют одинаковую длину. Поскольку эти треугольники имеют одну и ту же базовую линию, их площади идентичны. Итак, у нас есть $\|\triangle CDA\|=\|\triangle CBA\|$ и поэтому $\|\triangle SCB\|=\|\triangle SDA\|$ также. Это дает ${\frac {\|\triangle SCA\|}{\|\triangle CDA\|}}={\frac {\|\triangle SCA\|}{\|\triangle CBA\|}}$ и ${\frac {\|\triangle SCA\|}{\|\triangle SDA\|}}={\frac {\|\triangle SCA\|}{\|\triangle SCB\|}}$ Подставив формулу площади треугольника ( ${\tfrac {{\text{baseline}}\cdot {\text{altitude}}}{2}}$ ) преобразует это в ${\frac {\|SC\|\|AF\|}{\|CD\|\|AF\|}}={\frac {\|SA\|\|EC\|}{\|AB\|\|EC\|}}$ и ${\frac {\|SC\|\|AF\|}{\|SD\|\|AF\|}}={\frac {\|SA\|\|EC\|}{\|SB\|\|EC\|}}$ Отмена общих факторов приводит к: (а) $\,{\frac {\|SC\|}{\|CD\|}}={\frac {\|SA\|}{\|AB\|}}$ и (б) $\,{\frac {\|SC\|}{\|SD\|}}={\frac {\|SA\|}{\|SB\|}}$ Теперь используйте (b), чтобы заменить $\|SA\|$ и $\|SC\|$ в (а): ${\frac {\frac {\|SA\|\|SD\|}{\|SB\|}}{\|CD\|}}={\frac {\frac {\|SB\|\|SC\|}{\|SD\|}}{\|AB\|}}$ Используя (b) снова, это упрощается до:(с) $\,{\frac {\|SD\|}{\|CD\|}}={\frac {\|SB\|}{\|AB\|}}$ $\,\square$

Претензия 2

Проведите дополнительную параллель с $SD$ через А. Эта параллель пересекает $BD$ в G. Тогда имеем $\|AC\|=\|DG\|$ и по п.1 ${\frac {\|SA\|}{\|SB\|}}={\frac {\|DG\|}{\|BD\|}}$ и поэтому ${\frac {\|SA\|}{\|SB\|}}={\frac {\|AC\|}{\|BD\|}}$ $\square$

Пункт 3

Предполагать $AC$ и $BD$ не параллельны. Тогда параллельная линия $AC$ через $D$ пересекает $SA$ в $B_{0}\neq B$ . С $\|SB\|:\|SA\|=\|SD\|:\|SC\|$ это правда, у нас есть $\|SB\|={\frac {\|SD\|\|SA\|}{\|SC\|}}$ а с другой стороны, из пункта 1 имеем $\|SB_{0}\|={\frac {\|SD\|\|SA\|}{\|SC\|}}$ . Так $B$ и $B_{0}$ находятся на одной стороне $S$ и иметь одинаковое расстояние до $S$ , что означает $B=B_{0}$ . Это противоречие, значит, предположение не могло быть верным, а значит $AC$ и $BD$ действительно параллельны $\square$

Примечания

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шупп, Х. (1977). Элементарная геометрия (на немецком языке). УТБ Шенинг. стр. 124–126. ISBN 3-506-99189-2 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Радиационные наборы . В: Студенты-чуваки: Математика I. Dudenverlag, 8-е издание, Мангейм, 2008 г., стр. 431–433 (немецкий язык).
^ Агрикола, Илька ; Фридрих, Томас (2008). Элементарная геометрия . АМС. стр. 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8 . ( онлайн-копия , стр. 10, в Google Книгах )
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Лоренц Хальбайзен, Норберт Хунгербюлер, Хуан Лаухли: Гармоничное отношение к коникам: жемчужины классической геометрии. Спрингер 2016, ISBN 9783662530344 , стр. 191–208 (немецкий)
^ См. Агриколу/Томаса или следующий рисунок:

$| СА | / | СБ | = | СК | / | СД |$ не обязательно означает, $что AC$ параллельно $BD$ .
^ Казаринов, Николас Д. (2003) [1970], Ruler and the Round , Дувр, с. 3, ISBN 0-486-42515-0
^ Кунц, Эрнст (1991). Алгебра (на немецком языке). Посмотретьег. стр. 5–7. ISBN 3-528-07243-1 .
^ Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). Геометрия в ее истории . Спрингер. стр. 7 . ISBN 978-3-642-29163-0 . ( онлайн-копия , стр. 7, в Google Книгах )
↑ Оригинальных произведений Фалеса не сохранилось. Все исторические источники, приписывающие ему теорему о перехвате или связанные с ней знания, были написаны спустя столетия после его смерти. Диоген Лаэртский и Плиний дают описание, которое, строго говоря, не требует теоремы о пересечении, а может опираться только на простое наблюдение, а именно на то, что в определенный момент дня длина тени объекта будет соответствовать его высоте. Лаэртий цитирует высказывание философа Иеронима (3 в. до н. э.) о Фалесе: « Иероним говорит, что [Фалес] измерял высоту пирамид по отбрасываемой ими тени, принимая наблюдение в тот час, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами (т.е. как наш собственный рост » ). Плиний пишет: « Фалес открыл, как можно получить высоту пирамид и всех других подобных предметов, а именно путем измерения тени предмета в тот момент, когда тело и его тень равны по длине ». Однако Плутарх дает отчет, который может указывать на то, что Фалес знал теорему о пересечении или, по крайней мере, ее частный случай: ... без труда и помощи какого-либо инструмента [он] просто установил палку на конце тени, отбрасываемой пирамидой, и, таким образом, образовав два треугольника путем пересечения солнечных лучей, ... показал, что пирамида имеет к палке такое же соотношение, какое имеет тень [пирамиды] к тени [палки] ». (Источник: Фалес, биография , МакТьютора (переведенные) оригинальные произведения Плутарха и Лаэрция: Моралия, Ужин семи мудрецов , 147А и Жития выдающихся философов , Глава 1. Фалес, п. 27 )
^ Герберт Брудерер: Вехи в аналоговых и цифровых вычислениях . Спрингер, 2021 г., ISBN 9783030409746 , стр. 214–217.
^ Дитмар Херрманн: Древняя математика. История математики в Древней Греции и эллинизме , Springer 2022, ISBN 978-3-662-66493-3 , стр. 27-36
^ Фрэнсис Борсо: Аксиоматический подход к геометрии . Спрингер, 2013, стр. 10–13.
^ Жиль Доук: Вычисление, доказательство, машина . Издательство Кембриджского университета, 2015, ISBN 9780521118019 , стр. 17–18.
^ Лотар Редлин, Нго Вьет, Салим Уотсон: «Тень Фалеса», Журнал Mathematics , Vol. 73, № 5 (декабрь 2000 г.), стр. 347–353 ( JSTOR

Ссылки

Френч, Дуг (2004). Преподавание и изучение геометрии . Блумсбери. стр. 84–87. ISBN 9780826473622 . ( онлайн-копия , стр. 84, в Google Книгах )
Агрикола, Илька ; Фридрих, Томас (2008). Элементарная геометрия . АМС. стр. 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8 . ( онлайн-копия , стр. 10, в Google Книгах )
Стиллвелл, Джон (2005). Четыре столпа геометрии . Спрингер. п. 34 . ISBN 978-0-387-25530-9 . ( онлайн-копия , стр. 34, в Google Книгах )
Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). Геометрия в ее истории . Спрингер. стр. 3–7 . ISBN 978-3-642-29163-0 . ( онлайн-копия , стр. 3, в Google Книгах )
Лоренц Хальбайзен, Норберт Хунгербюлер, Хуан Лаухли: Гармоничное отношение к коникам: жемчужины классической геометрии. Спрингер 2016, ISBN 9783662530344 , стр. 191–208 (немецкий)

Внешние ссылки

Теорема о перехвате в PlanetMath
Александр Богомольный: Теоремы Фалеса и, в частности, теорема Фалеса в «Разрубить узел»
интерактивная теорема о перехвате

[Schupp-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шупп, Х. (1977). Элементарная геометрия (на немецком языке). УТБ Шенинг. стр. 124–126. ISBN 3-506-99189-2 .

[Duden-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Радиационные наборы . В: Студенты-чуваки: Математика I. Dudenverlag, 8-е издание, Мангейм, 2008 г., стр. 431–433 (немецкий язык).

[Agricola-3] Агрикола, Илька ; Фридрих, Томас (2008). Элементарная геометрия . АМС. стр. 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8 . ( онлайн-копия , стр. 10, в Google Книгах )

[Halbeisen-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Лоренц Хальбайзен, Норберт Хунгербюлер, Хуан Лаухли: Гармоничное отношение к коникам: жемчужины классической геометрии. Спрингер 2016, ISBN 9783662530344 , стр. 191–208 (немецкий)

[ce-5] См. Агриколу/Томаса или следующий рисунок:

$| СА | / | СБ | = | СК | / | СД |$ не обязательно означает, $что AC$ параллельно $BD$ .

[6] Казаринов, Николас Д. (2003) [1970], Ruler and the Round , Дувр, с. 3, ISBN 0-486-42515-0

[Kunz-7] Кунц, Эрнст (1991). Алгебра (на немецком языке). Посмотретьег. стр. 5–7. ISBN 3-528-07243-1 .

[Ostermann-8] Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). Геометрия в ее истории . Спрингер. стр. 7 . ISBN 978-3-642-29163-0 . ( онлайн-копия , стр. 7, в Google Книгах )

[mactutor-9] Оригинальных произведений Фалеса не сохранилось. Все исторические источники, приписывающие ему теорему о перехвате или связанные с ней знания, были написаны спустя столетия после его смерти. Диоген Лаэртский и Плиний дают описание, которое, строго говоря, не требует теоремы о пересечении, а может опираться только на простое наблюдение, а именно на то, что в определенный момент дня длина тени объекта будет соответствовать его высоте. Лаэртий цитирует высказывание философа Иеронима (3 в. до н. э.) о Фалесе: « Иероним говорит, что [Фалес] измерял высоту пирамид по отбрасываемой ими тени, принимая наблюдение в тот час, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами (т.е. как наш собственный рост » ). Плиний пишет: « Фалес открыл, как можно получить высоту пирамид и всех других подобных предметов, а именно путем измерения тени предмета в тот момент, когда тело и его тень равны по длине ». Однако Плутарх дает отчет, который может указывать на то, что Фалес знал теорему о пересечении или, по крайней мере, ее частный случай: ... без труда и помощи какого-либо инструмента [он] просто установил палку на конце тени, отбрасываемой пирамидой, и, таким образом, образовав два треугольника путем пересечения солнечных лучей, ... показал, что пирамида имеет к палке такое же соотношение, какое имеет тень [пирамиды] к тени [палки] ». (Источник: Фалес, биография , МакТьютора (переведенные) оригинальные произведения Плутарха и Лаэрция: Моралия, Ужин семи мудрецов , 147А и Жития выдающихся философов , Глава 1. Фалес, п. 27 )

[Bruderer-10] Герберт Брудерер: Вехи в аналоговых и цифровых вычислениях . Спрингер, 2021 г., ISBN 9783030409746 , стр. 214–217.

[Herrmann-11] Дитмар Херрманн: Древняя математика. История математики в Древней Греции и эллинизме , Springer 2022, ISBN 978-3-662-66493-3 , стр. 27-36

[Borceux-12] Фрэнсис Борсо: Аксиоматический подход к геометрии . Спрингер, 2013, стр. 10–13.

[Dowek-13] Жиль Доук: Вычисление, доказательство, машина . Издательство Кембриджского университета, 2015, ISBN 9780521118019 , стр. 17–18.

[Redlin-14] Лотар Редлин, Нго Вьет, Салим Уотсон: «Тень Фалеса», Журнал Mathematics , Vol. 73, № 5 (декабрь 2000 г.), стр. 347–353 ( JSTOR

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]