Теорема о средней точке (треугольник)

Теорема о средней точке или теорема о средней линии гласит, что если середины двух сторон треугольника соединить, то полученный отрезок будет параллелен третьей стороне и будет иметь половину ее длины. Теорема о средней точке обобщается до теоремы о пересечении , где вместо использования средних точек обе стороны делятся в одинаковом соотношении.

Верно и обратное утверждение теоремы. То есть, если через середину стороны треугольника провести линию, параллельную другой стороне треугольника, то линия разделит третью сторону треугольника пополам.

Треугольник, образованный тремя параллельными прямыми, проходящими через три середины сторон треугольника, называется его срединным треугольником .

Доказательство

Доказательство

Дано : В $\triangle ABC$ точки M и N являются серединами сторон AB и AC соответственно.

Конструкция : MN расширяется до D, где MN=DN, соединение C с D.

Чтобы доказать :

$MN\parallel BC$
$MN={1 \over 2}BC$

Доказательство :

$AN=CN$ (данный)
$\angle ANM=\angle CND$ (вертикально противоположный угол)
$MN=DN$ (сборный)

Следовательно, сторона угла сторона .

\triangle AMN\cong \triangle CDN

Следовательно, соответствующие стороны и углы равных треугольников равны

$AM=BM=CD$
$\angle MAN=\angle DCN$

Поперечная AC пересекает прямые AB и CD, а противоположные углы ∠MAN и ∠DCN равны. Поэтому

$AM\parallel CD\parallel BM$

Следовательно, BCDM — параллелограмм . BC и DM также равны и параллельны.

$MN\parallel BC$
$MN={1 \over 2}MD={1 \over 2}BC$

Ссылки

Френч, Дуг (2004). Преподавание и изучение геометрии . Блумсбери. стр. 81–84. ISBN 9780826473622 . ( онлайн-копия , стр. 81, в Google Книгах )
Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2009). Краткий Оксфордский математический словарь . Издательство Оксфордского университета. п. 297. ИСБН 9780199235940 . ( онлайн-копия , стр. 297, в Google Книгах )

Внешние ссылки