Вклад Леонарда Эйлера в математику

Швейцарский математик XVIII века Леонард Эйлер (1707–1783) является одним из самых плодовитых и успешных математиков в истории этой области . Его плодотворная работа оказала глубокое влияние на многие области математики, и ему широко приписывают введение и популяризацию современных обозначений и терминологии.

Математические обозначения

Эйлер ввел большую часть математических обозначений, используемых сегодня, таких как обозначение f ( x ) для описания функции и современные обозначения тригонометрических функций . Он был первым, кто использовал букву е в качестве основания натурального логарифма , теперь также известного как число Эйлера . Использование греческой буквы $\pi$ для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также популяризировал Эйлер (хотя он придумал это не он). Ему также приписывают изобретение обозначения i для обозначения ${\sqrt {-1}}$.

Комплексный анализ

Геометрическая интерпретация формулы Эйлера.

Эйлер внес важный вклад в комплексный анализ . Он ввел научную систему обозначений. Он открыл то, что сейчас известно как формула Эйлера : для любого действительного числа $\varphi$, комплексная показательная функция удовлетворяет

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .$

назвал эту формулу «самой замечательной формулой в математике» Ричард Фейнман . Тождество Эйлера является частным случаем этого:

$e^{i\pi }+1=0\,.$

Это тождество особенно примечательно, поскольку оно включает в себя e , $\pi$, i , 1 и 0, возможно, пять самых важных констант в математике, а также четыре фундаментальных арифметических оператора: сложение, умножение, возведение в степень и равенство.

Анализ

Развитие исчисления было в авангарде математических исследований 18-го века, и Бернулли — друзья семьи Эйлера — были ответственны за большую часть раннего прогресса в этой области. Понимание бесконечности было основным направлением исследований Эйлера. Хотя некоторые доказательства Эйлера, возможно, были неприемлемы по современным стандартам строгости , его идеи способствовали многим великим достижениям. Прежде всего, Эйлер ввел понятие функции и ввёл использование показательной функции и логарифмов в аналитических доказательствах.

Эйлер часто использовал логарифмические функции как инструмент в задачах анализа и открывал новые способы их использования. Он открыл способы выражения различных логарифмических функций через степенные ряды и успешно определил логарифмы для комплексных и отрицательных чисел, тем самым значительно расширив область применения логарифмов в математике. Большинство исследователей в этой области долгое время придерживались мнения, что $\log(x)=\log(-x)$ для любого положительного реального $x$ поскольку, используя свойство аддитивности логарифмов $2\log(-x)=\log((-x)^{2})=\log(x^{2})=2\log(x)$. В письме 1747 года Жану Ле Рону д'Аламберу Эйлер определил натуральный логарифм -1 как $i\pi$, чистое воображение .

Эйлер хорошо известен в анализе своим частым использованием и развитием степенных рядов : то есть выражением функций в виде сумм бесконечно многих членов, таких как

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+\cdots +{\frac {1}{n!}}\right).$

Примечательно, что Эйлер открыл разложение в степенной ряд для e и обратного тангенса функцию .

$\arctan z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}.$

Использование степенных рядов позволило ему решить знаменитую Базельскую задачу в 1735 году:

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Кроме того, Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций, введя гамма-функцию , и ввёл новый метод решения уравнений четвертой степени . Он также нашел способ вычисления интегралов со сложными пределами, предвещая развитие комплексного анализа . Эйлер изобрел вариационное исчисление , включая его самый известный результат — уравнение Эйлера-Лагранжа .

Эйлер также был пионером в использовании аналитических методов для решения задач теории чисел. При этом он объединил две разрозненные области математики и представил новую область исследований — аналитическую теорию чисел . Открывая основы этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию цепных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел , используя расхождение гармонического ряда, и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как простые числа распределяются . Работы Эйлера в этой области привели к разработке теоремы о простых числах .

Теория чисел

Большой интерес Эйлера к теории чисел можно объяснить влиянием его друга по Петербургской академии Кристиана Гольдбаха . Большая часть его ранних работ по теории чисел была основана на работах Пьера де Ферма и развивала некоторые идеи Ферма.

Одним из направлений работы Эйлера было связать природу распределения простых чисел с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных простых чисел расходится . При этом он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами, известную как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана .

Эйлер доказал тождества Ньютона , малую теорему Ферма , теорему Ферма о суммах двух квадратов и внес заметный вклад в теорему Лагранжа о четырех квадратах . Он также изобрел тотент-функцию φ(n), которая присваивает положительному целому числу n количество натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n. Используя свойства этой функции, он смог обобщить маленькую теорему Ферма до того, что впоследствии стало известно как теорема Эйлера . Он также внес значительный вклад в понимание совершенных чисел , которые очаровывали математиков со времен Евклида . Эйлер продвинулся в направлении теоремы о простых числах и выдвинул гипотезу о квадратичном законе взаимности . Эти две концепции считаются фундаментальными теоремами теории чисел, и его идеи проложили путь Карлу Фридриху Гауссу .

Теория графов и топология

Карта Кенигсберга времен Эйлера, показывающая фактическое расположение семи мостов с выделением реки Прегель и мостов.

См. Также: Семь мостов Кенигсберга.

В 1736 году Эйлер решил или, скорее, доказал неразрешимость задачи, известной как семь мостов Кенигсберга. Город Кенигсберг , Королевство Пруссия (ныне Калининград, Россия) расположен на реке Прегель и включает в себя два больших острова, которые были соединены друг с другом и с материком семью мостами. Вопрос в том, можно ли пройти маршрутом, пересекающим каждый мост ровно один раз, и вернуться в исходную точку.Решение Эйлера задачи о Кенигсбергском мосте считается первой теоремой теории графов . Кроме того, его признание того, что ключевой информацией является количество мостов и список их конечных точек (а не их точное положение), предвещало развитие топологии .

Эйлер также внес вклад в понимание плоских графов . Он ввел формулу, определяющую соотношение между числом ребер, вершин и граней выпуклого многогранника. Для такого многогранника попеременная сумма вершин, ребер и граней равна константе: V − E + F = 2. Эта константа χ является эйлеровой характеристикой плоскости. Исследование и обобщение этого уравнения, особенно Коши и Люлье, лежит в основе топологии . Эйлерова характеристика, которую можно обобщить на любое топологическое пространство как знакопеременную сумму чисел Бетти , естественным образом возникает из гомологии . В частности, он равен 2 − 2 g для замкнутой ориентированной поверхности рода g и 2 − k для неориентируемой поверхности с k перемычками. Это свойство привело к определению систем вращения в топологической теории графов .

Прикладная математика

Большинство величайших успехов Эйлера были связаны с применением аналитических методов к проблемам реального мира, описанием многочисленных применений чисел Бернулли , рядов Фурье , диаграмм Венна , чисел Эйлера , констант e и π , непрерывных дробей и интегралов. Он объединил Лейбница дифференциальное исчисление Ньютона с методом флюксий и разработал инструменты, упрощающие применение исчисления к физическим задачам. В частности, он добился больших успехов в совершенствовании численной аппроксимации интегралов, изобретя то, что сейчас известно как аппроксимации Эйлера . Наиболее известными из этих приближений являются метод Эйлера и формула Эйлера-Маклорена . Он также способствовал использованию дифференциальных уравнений , в частности, введя константу Эйлера-Машерони :

$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).$

Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке . В 1739 году он написал « Tentamen novae theoriae musicae» , надеясь в конечном итоге интегрировать теорию музыки как часть математики. Однако эта часть его работ не получила широкого внимания и когда-то была описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков.

Работает

Работы, которые Эйлер опубликовал отдельно:

• Dissertatio physica de sono (Диссертация по физике звука) (Базель, 1727 г., ин-кварто)
• Механика, или наука о движении аналитически; expasita (СПб., 1736, в 2 т. кварто)
• Введение в арифметику (СПБ, 1738, в 2 т. октаво), на немецком и русском языках.
• Попытка новой теории музыки (Санкт-Петербург, 1739, в четвертом)
• Метод нахождения кривых линий, обладающий наибольшим и наименьшим свойством (Лозанна, 1744, в четвертом)
  • Приложение II ( перевод на английский язык )
• Теория движения планет и комет (Берлин, 1744 г., в четвертом)
• Beantwortung и т. д. или Ответы на разные вопросы о кометах (Берлин, 1744 г., октаво)
• Neue Grundsatze и т. д. или «Новые принципы артиллерии», перевод с английского Бенджамина Робинса, с примечаниями и иллюстрациями (Берлин, 1745 г., октаво)
• Брошюры на разные темы (Берлин, 1746–1751, в 3-х томах-кварто)
• Новые и переработанные таблицы для расчета положения Луны (Берлин, 1746 г., ин-кварто)
• Астрономические таблицы Солнца и Луны (Берлин, четвёртый)
• Геданкен и т. д. или Мысли об элементах тел (Берлин, ин-кварто)
• Rettung der Gall-lichen Offenbarung и т. д. , Защита Божественного Откровения от вольнодумцев (Берлин, 1747 г., ин-кварто)
• Введение в анализ бесконечности (Лозанна, 1748 г., в 2-х томах кварто)
• Введение в анализ бесконечного, пер. Дж. Блэнтон (Нью-Йорк, 1988–1990 гг., в 2 т.)
• Морская наука, или Трактат о постройке и управлении кораблями (СПб., 1749, в 2 т. кварто)
• Полная теория устройства и свойств судов с практическими выводами по управлению судами, облегченная для мореплавателей. книги «Теория завершения строительства и маневра на дорогах» знаменитого Леонарда Эйлера В переводе Хен Уотсон, эсквайр, с . Корнихилл, 1790 г.)
• Представление об экспертизе письма М. де Лейбница (1752 г., английский перевод )
• Теория движения Луны (Берлин, 1753 г., в четвертом)
• Диссертация о принципе действия мининий вместе с рассмотрением возражений кл. проф. Кенигии (Берлин, 1753 г., в восьмом)
• Учреждения дифференциального исчисления с его использованием в анализе интуиции и учении о рядах (Берлин, 1755 г., в четвертом)
• Изготовление объективов и т. д. (Санкт-Петербург, 1762, в четвертом)
• Теория движения твердых или твердых тел (Росток, 1765, в четвертом)
• Учреждения, интегральное исчисление (Санкт-Петербург, 1768–1770, в 3 т. кварто)
• Письма к принцессе Германии о некоторых предметах физики и философии (Санкт-Петербург, 1768–1772, в 3 т. октаво)
• Письма Эйлера к немецкой принцессе о различных предметах физики и философии (Лондон, 1795, в 2 т.)
• «Руководство к алгебре «Начала алгебры»» (СПб., 1770, октаво); Диоптрика (Санкт-Петербург, 1767–1771, в 3-х томах кварто)
• Теория выпадов по новой методике. ограниченный (Санкт-Петербург, 1772, в четвертом)
• Novae tabulae lunares (Санкт-Петербург, октаво); Полная теория постройки и содержания кораблей (СПб., 1773, октаво).
• Разъяснения по установлениям в пользу как вдов, так и умерших , без даты
• Аналитические брошюры (СПб., 1783–1785, в 2 т. кварто). См. Ф. Рудио , Леонард Эйлер (Базель, 1884).
• и Кристиан Гольдбах, Леонард Эйлер и Кристиан Гольдбах, переписка, 1729–1764 гг . А. П. Юшкевич и Э. Винтер. [Переводы с русского и редактирование издания: П. Гофман] (Берлин: Akademie-Verlag, 1965)..

См. также

• Список вещей, названных в честь Леонарда Эйлера