Расхождение суммы обратных простых чисел

Сумма обратных простых чисел, неограниченно возрастающих. Ось X представлена ​​в логарифмическом масштабе, показывая, что расхождение очень медленное. Красная функция — это нижняя граница, которая также расходится.

Сумма всех обратных величин простых чисел расходится ; то есть:

$$\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty$$

Это доказал Леонард Эйлер в 1737 году. и усиливает результат Евклида III века до нашей эры о том, что существует бесконечно много простых чисел , а также доказательство Николь Орем XIV века о расхождении суммы обратных целых чисел (гармонический ряд) .

Существует множество доказательств результата Эйлера, включая нижнюю оценку частичных сумм, утверждающую, что

$$\sum _{\scriptstyle p{\text{ prime}} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}\geq \log \log(n+1)-\log {\frac {\pi ^{2}}{6}}$$

для всех натуральных чисел n . Двойной натуральный логарифм ( log log ) указывает на то, что расхождение может быть очень медленным, и это действительно так. См. постоянную Мейселя – Мертенса .

Гармонический ряд

Сначала мы опишем, как Эйлер первоначально обнаружил этот результат. Он рассматривал гармонический ряд

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\infty$$

Он уже использовал следующую « формулу произведения », чтобы показать существование бесконечного числа простых чисел.

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$$

Здесь произведение берется по множеству всех простых чисел.

Такие бесконечные произведения сегодня называются произведениями Эйлера . Продукт выше является отражением фундаментальной теоремы арифметики . Эйлер заметил, что если бы было только конечное число простых чисел, то произведение справа явно сходилось бы, что противоречит расходимости гармонического ряда.

Доказательства

Доказательство Эйлера

Эйлер рассмотрел приведенную выше формулу произведения и приступил к серии смелых логических шагов. Сначала он взял натуральный логарифм каждой стороны, затем использовал разложение в ряд Тейлора для log x , а также сумму сходящегося ряда:

$${\begin{aligned}\log \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\log \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=-\sum _{p}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\\[5pt]&=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)\\[5pt]&=\sum _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=A+{\frac {1}{2}}B+{\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\[5pt]&=A+K\end{aligned}}$$

для фиксированной константы K < 1 . Затем он применил соотношение

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\log \infty ,$$

что он объяснил, например, в более поздней работе 1748 года: установив x = 1 в разложении в ряд Тейлора

$$\log \left({\frac {1}{1-x}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}.$$

Это позволило ему сделать вывод, что

$$A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots =\log \log \infty .$$

Почти наверняка Эйлер имел в виду, что сумма обратных чисел простых чисел, меньших n, является асимптотической для log log n, когда n приближается к бесконечности. Оказывается, это действительно так, и более точная версия этого факта была строго доказана Францем Мертенсом в 1874 году. Таким образом, Эйлер сомнительным путем получил правильный результат.

Доказательство Эрдеша по верхним

Следующее доказательство от противного принадлежит Полу Эрдешу .

Пусть p _i обозначает i -е простое число. Предположим, что сумма обратных простых чисел сходится .

Тогда существует наименьшее целое положительное число k такое, что

$$\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\qquad (1)$$

Для положительного целого числа x пусть M _x обозначает набор тех n из {1, 2, ..., x } , которые не делятся ни на одно простое число, большее p _k (или, что то же самое, на все n ≤ x, которые являются произведением чисел степени простых чисел p _i ≤ p _k ). Теперь мы получим верхнюю и нижнюю оценку для | М _х | , количество элементов в M _x . При больших x эти оценки окажутся противоречивыми.

Верхняя оценка

Каждое n из M _x можно записать как n = m ² r с целыми положительными числами m и r , где r не содержит квадратов . Поскольку только k простых чисел p ₁ , ..., p _k могут появиться (с показателем 1) при факторизации простых чисел r , существует не более 2 ^к разные возможности для r . Более того, существует не более √ x возможных значений m . Это дает нам верхнюю оценку

$$|M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)$$

Нижняя оценка

Остальные x − | М _х | Все числа в разности множеств {1, 2, ..., x } \ M _x делятся на простое число, большее p _k . Пусть N _{i , x} обозначает множество тех n из {1, 2, ..., x }, которые делятся на i- е простое число p _i . Затем

$$\{1,2,\ldots ,x\}\setminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty }N_{i,x}$$

Поскольку количество целых чисел в N _{i , x} не превышает x / pi ₎ (фактически ноль для pi _> , x мы получаем

$$x-|M_{x}|\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }|N_{i,x}|<\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {x}{p_{i}}}$$

Используя (1), это означает

$${\frac {x}{2}}<|M_{x}|\qquad (3)$$

Возникает противоречие: когда x ≥ 2 ^{2к + 2} , оценки (2) и (3) не могут выполняться одновременно, поскольку х / 2 ≥ 2 ^к √ x .

того, что серия демонстрирует логарифмический

Вот еще одно доказательство, которое фактически дает нижнюю оценку частичных сумм; в частности, это показывает, что эти суммы растут по крайней мере так же быстро, как log log n . Доказательство принадлежит Ивану Нивену. адаптировано из идеи Эйлера о расширении продукта . Далее сумма или произведение по p всегда представляет собой сумму или произведение по указанному набору простых чисел.

Доказательство опирается на следующие четыре неравенства:

• Каждое положительное целое число i может быть однозначно выражено как произведение целого числа без квадратов и квадрата, как следствие фундаментальной теоремы арифметики . Начните с
  $$i=q_{1}^{2{\alpha }_{1}+{\beta }_{1}}\cdot q_{2}^{2{\alpha }_{2}+{\beta }_{2}}\cdots q_{r}^{2{\alpha }_{r}+{\beta }_{r}},$$
  где βs равны 0 (соответствующая степень простого числа q четная) или 1 (соответствующая степень простого числа q нечетная). Выделите одну копию всех простых чисел, у которых β равно 1, оставив произведение простых чисел на четные степени, которое само по себе является квадратом. Перемаркировка:
  $$i=(p_{1}p_{2}\cdots p_{s})\cdot b^{2},$$
  где первый множитель, произведение простых чисел в первой степени, не содержит квадратов. Инвертирование всех i дает неравенство
  $$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\leq \left(\prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\right)=A\cdot B.$$

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что

$${\frac {1}{i}}={\frac {1}{p_{1}p_{2}\cdots p_{s}}}\cdot {\frac {1}{b^{2}}},$$

и

$${\begin{aligned}\left(1+{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1+{\frac {1}{p_{2}}}\right)\ldots \left(1+{\frac {1}{p_{s}}}\right)&=\left({\frac {1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {1}{p_{s}}}\right)+\ldots \\&={\frac {1}{p_{1}p_{2}\cdots p_{s}}}+\ldots .\end{aligned}}$$

То есть, $1/(p_{1}p_{2}\cdots p_{s})$ является одним из слагаемых в расширенном A. произведении И поскольку $1/b^{2}$ является одним из слагаемых B , каждое слагаемое $1/i$ представляется в одном из членов AB при умножении . Отсюда следует неравенство.

• Верхняя оценка натурального логарифма
  $${\begin{aligned}\log(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\underbrace {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}} _{{}\,<\,{\frac {1}{i}}}\\&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{aligned}}$$
• Нижняя оценка 1 + x < exp( x ) для показательной функции , справедливая для всех x > 0 .
• Пусть n ≥ 2 . Верхняя граница (с использованием телескопической суммы ) для частичных сумм (сходимость — это все, что нам действительно нужно)
  $${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum _{k=2}^{n}\underbrace {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2}}}}\right)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4}}}}\,>\,{\frac {1}{k^{2}}}}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3}}\end{aligned}}$$

Объединив все эти неравенства, мы видим, что

$${\begin{aligned}\log(n+1)&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}\exp \left({\frac {1}{p}}\right)\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)\end{aligned}}$$

Разделив на 5/3 и дает натуральный логарифм обеих частей

$$\log \log(n+1)-\log {\frac {5}{3}}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}$$

по желанию. КЭД

С использованием

$$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$$

(см. Базельскую задачу ), приведенный выше постоянный журнал 5/3 = 0,51082 ... можно улучшить для регистрации п ² / 6 = 0,4977... ; на самом деле оказывается, что

$$\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n\right)=M$$

где M = 0,261497... — константа Мейселя–Мертенса (в некоторой степени аналогичная гораздо более известной константе Эйлера–Машерони ).

Дюсарта

Из неравенства Дюсарта получаем

$$p_{n}<n\log n+n\log \log n\quad {\mbox{for }}n\geq 6$$

Затем

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\log n+n\log \log n}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\log n}}=\infty \end{aligned}}$$

по интегральному критерию сходимости . Это показывает, что ряд слева расходится.

и гармонического

Следующее доказательство является модифицированным доказательством Джеймса А. Кларксона .

Определите k -й хвост

$$x_{k}=\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}.$$

Тогда для $i\geq 0$, расширение $(x_{k})^{i}$ содержит по крайней мере один член для каждого обратного целого положительного числа с точностью до $i$ простые множители (с учетом кратностей) только из множества $\{p_{k+1},p_{k+2},\cdots \}$. Отсюда следует, что геометрическая прогрессия ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }(x_{k})^{i}}$ содержит хотя бы один член для каждого обратного целого положительного числа, не делящегося ни на что $p_{n},n\leq k$. Но поскольку $1+j(p_{1}p_{2}\cdots p_{k})$ всегда удовлетворяет этому критерию,

$$\sum _{i=0}^{\infty }(x_{k})^{i}>\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{1+j(p_{1}p_{2}\cdots p_{k})}}>{\frac {1}{1+p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j}}=\infty$$

расходимостью гармонического ряда . Это показывает, что $x_{k}\geq 1$ для всех $k$, а поскольку хвосты сходящегося ряда сами должны сходиться к нулю, это доказывает расходимость.

Частичные суммы

Хотя частичные суммы обратных простых чисел в конечном итоге превышают любое целочисленное значение, они никогда не равны целому числу.

Одно доказательство по индукции: первая частичная сумма равна 1/2 имеет , который вид нечетный / четный . Если n- я частичная сумма (при n ≥ 1 ) имеет вид нечетный / четный , то ( n + 1) -я сумма равна

$${\frac {\text{odd}}{\text{even}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}\cdot p_{n+1}+{\text{even}}}{{\text{even}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}+{\text{even}}}{\text{even}}}={\frac {\text{odd}}{\text{even}}}$$

поскольку ( n + 1) -е простое число p _{n + 1} нечетно; поскольку эта сумма также имеет в нечетной / четной форме эта частичная сумма не может быть целым числом (поскольку 2 делит знаменатель, но не числитель), и индукция продолжается.

Другое доказательство переписывает выражение суммы первых n обратных чисел простых чисел (или даже суммы обратных чисел любого набора простых чисел) в терминах наименьшего общего знаменателя , который является произведением всех этих простых чисел. Тогда каждое из этих простых чисел делит все члены числителя, кроме одного, и, следовательно, не делит сам числитель; но каждое простое число делит знаменатель. Таким образом, выражение неприводимо и не является целым числом.

См. также

• Теорема Евклида о том, что простых чисел бесконечно много.
• Малый набор (комбинаторика)
• Теорема Брюна о сходящейся сумме обратных чисел-близнецов
• Список сумм обратных величин

Ссылки

Источники

• Данэм, Уильям (1999). Эйлер: Господин всех нас . МАА . стр. 61–79 . ISBN  0-88385-328-0 .

Внешние ссылки

• Колдуэлл, Крис К. «Простых чисел бесконечно много, но насколько велика бесконечность?» .