Трансфинитная интерполяция

В численном анализе трансфинитная интерполяция — это средство построения функций в плоской области таким образом, чтобы они соответствовали заданной функции на границе. Этот метод применяется в геометрическом моделировании и в области метода конечных элементов .

Метод трансфинитной интерполяции, впервые предложенный Уильямом Дж. Гордоном и Чарльзом А. Холлом, получает свое название благодаря тому, что функция, принадлежащая этому классу, способна сопоставить примитивную функцию в несчетном числе точек. По словам авторов:

Мы используем термин «трансфинитный» для описания общего класса схем интерполяции, изучаемых здесь, поскольку, в отличие от классических методов интерполяции более высокой размерности, которые сопоставляют примитивную функцию F в конечном числе различных точек, эти методы сопоставляют F в несчетной точке. (трансфинитное) количество точек.

Трансфинитная интерполяция похожа на патч Кунса , изобретенный в 1967 году.

Формула

С параметризованными кривыми ${\vec {c}}_{1}(u)$, ${\vec {c}}_{3}(u)$ описывающую одну пару противоположных сторон домена, и ${\vec {c}}_{2}(v)$, ${\vec {c}}_{4}(v)$описывая другую пару. положение точки (u,v) в области равно

${\begin{array}{rcl}{\vec {S}}(u,v)&=&(1-v){\vec {c}}_{1}(u)+v{\vec {c}}_{3}(u)+(1-u){\vec {c}}_{2}(v)+u{\vec {c}}_{4}(v)\\&&-\left[(1-u)(1-v){\vec {P}}_{1,2}+uv{\vec {P}}_{3,4}+u(1-v){\vec {P}}_{1,4}+(1-u)v{\vec {P}}_{3,2}\right]\end{array}}$

где, например, ${\vec {P}}_{1,2}$ это точка, где кривые ${\vec {c}}_{1}$ и ${\vec {c}}_{2}$ встретиться.