Классификатор подобъектов

В теории категорий классификатор подобъектов — это специальный объект Ω категории, такой, что интуитивно подобъекты любого объекта X в категории соответствуют морфизмам из X в Ω. В типичных примерах этот морфизм присваивает «истину» элементам подобъекта и «ложь» другим элементам X. Поэтому классификатор подобъектов также известен как «объект значения истинности», и эта концепция широко используется в категориальное описание логики. Однако обратите внимание, что классификаторы подобъектов часто намного сложнее, чем простые значения истинности двоичной логики {true, false}.

Вводный пример

Например, множество Ω = {0,1} является классификатором подобъектов в категории множеств и функций: каждому подмножеству A из S, определенному функцией включения j : A → S, мы можем сопоставить функцию χ _A из S в Ω, который точно отображает элементы A в 1 (см. Характеристическую функцию ). каждая функция из S в Ω возникает ровно из одного подмножества A. Таким образом ,

Чтобы было понятнее, рассмотрим подмножество A из S ( A ⊆ S ), где S — множество. Понятие подмножества можно выразить математически с помощью так называемой характеристической функции χ _A : S → {0,1}, которая определяется следующим образом:

\chi _{A}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x\notin A\\1,&{\mbox{if }}x\in A\end{cases}}

какие элементы принадлежат подмножеству A. (Здесь мы интерпретируем 1 как истинное, а 0 как ложное.) Роль характеристической функции состоит в том, чтобы определить , В действительности, χ _A истинно именно на элементах A .

Таким образом, совокупность всех подмножеств S и совокупность всех отображений S в Ω = {0,1} изоморфны .

Чтобы классифицировать это понятие, напомним, что в теории категорий подобъект на самом деле представляет собой пару, состоящую из объекта и унитарной стрелки (интерпретируемой как включение в другой объект). Соответственно, true относится к элементу 1, который выбран стрелкой: true : {0} → {0, 1}, которая отображает 0 в 1. Подмножество A из S теперь может быть определено как возврат значения true вдоль характеристики функция χ _A , показанная на следующей схеме:

Определенный таким образом, χ является морфизмом Sub _C ( S ) → Hom _C (S, Ω). По определению, Ω является классификатором подобъектов , если этот морфизм является изоморфизмом.

Определение

Для общего определения мы начнем с категории C , которая имеет терминальный объект , который мы обозначаем цифрой 1. Объект Ω категории C является классификатором подобъектов для C, если существует морфизм

1 → Ох

со следующим свойством:

Для каждого мономорфизма j : U → X существует единственный морфизм χ _j : X → Ω такой, что следующая коммутативная диаграмма

— это диаграмма обратного движения , то есть U — предел диаграммы:

Морфизм χ _j тогда называется классифицирующим морфизмом для подобъекта, представленного j .

Дальнейшие примеры

Связки наборов

Категория пучков множеств в топологическом пространстве X имеет классификатор подобъектов Ω, который можно описать следующим образом: для любого открытого множества U пространства X Ω( U ) является множеством всех открытых подмножеств U . Терминальным объектом является пучок 1, который ставит в соответствие одноэлементный элемент {*} каждому открытому множеству U из X. Морфизм η:1 → Ω задается семейством отображений η _U : 1( U ) → Ω( U ), определяемых формулой η _U (*)= U для любого открытого множества U из X . Для заданного пучка F на X и подпучка j : G → F классифицирующий морфизм χ _j : F → Ω задается семейством отображений χ _j,U : F ( U ) → Ω( U ), где χ _j,U ( x — объединение всех открытых множеств V из U таких, что ограничение x на V (в смысле пучков) содержится в jV ₍ ) G ( V )).

Грубо говоря, утверждение внутри этого топоса может быть по-разному истинным или ложным, а его значение истинности с точки зрения открытого подмножества U — это открытое подмножество U , в котором утверждение истинно.

Предварительные шкивы

Учитывая небольшую категорию $C$ , категория предпучков $\mathrm {Set} ^{C^{op}}$ (т.е. категория функторов, состоящая из всех контравариантных функторов из $C$ к $\mathrm {Set}$ ) имеет классификатор подобъектов, заданный функтором, отправляющим любой $c\in C$ к комплекту сит на $c$ . Классифицирующие морфизмы строятся совершенно аналогично морфизмам в приведенном выше примере с пучками множеств.

Элементарные топосы

Оба приведенных выше примера подпадают под действие следующего общего факта: каждый элементарный топос , определенный как категория с конечными пределами и степенными объектами , обязательно имеет классификатор подобъектов. ^[1] Два приведенных выше примера являются топосами Гротендика , и каждый топос Гротендика является элементарным топосом.

Связанные понятия

есть У квазитопоса объект, который является почти классификатором подобъектов; он классифицирует только сильные подобъекты.

Примечания

^ Педиккио и Толен (2004) стр.8

Ссылки

Артин, Майкл ; Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (1964). Семинар по алгебраической геометрии IV . Спрингер Верлаг .
Барр, Майкл; Чарльз Уэллс (1985). Топосы, тройки и теории . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-96115-1 .
Белл, Джон (1988). Топосы и локальные теории множеств: введение . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета .
Голдблатт, Роберт (1983). Топосы: Категориальный анализ логики . Северная Голландия , перепечатано Dover Publications, Inc (2006). ISBN 0-444-85207-7 .
Джонстон, Питер (2002). Зарисовки слона: сборник теории топоса . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета .
Джонстон, Питер (1977). Теория Топоса . Академическая пресса . ISBN 0-12-387850-0 .
Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8 . Збл 0906.18001 .
Мак Лейн, Сондерс ; Ике Мурдейк (1992). Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-97710-4 .
МакЛарти, Колин (1992). Элементарные категории, элементарные топосы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-853392-6 .
Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7 . Збл 1034.18001 .
Тейлор, Пол (1999). Практические основы математики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-63107-6 .

[1] Педиккио и Толен (2004) стр.8

[1]