Топос

Чтобы узнать о других значениях, см. Топос (значения) .

В математике топос ​ ( США : / ˈ t ɒ p ɒ s / , Великобритания : / ˈ t oʊ p oʊ s , ˈ t oʊ p ɒ s / ; множественное число topoi / ˈ t ɒ p ɔɪ / или / ˈ t oʊ p ɔɪ / , или топосы ) — категория , которая ведет себя как категория пучков множеств (или в более общем смысле на топологическом пространстве : на сайте ). Топосы ведут себя во многом как категории множеств и обладают понятием локализации; они являются прямым обобщением топологии множества точек . находят Топоны Гротендика применение в алгебраической геометрии ; более общие элементарные топоры используются в логике .

Математическая область, изучающая топосы, называется теорией топосов .

Топос Гротендика (топос в геометрии)

С момента появления пучков в математике в 1940-х годах основной темой было изучение пространства путем изучения пучков в пространстве. Эту идею изложил Александр Гротендик, введя понятие «топос». Основная полезность этого понятия заключается в множестве ситуаций в математике, где топологическая эвристика очень эффективна, но отсутствует честное топологическое пространство; иногда удается найти топос, формализующий эвристику. Важным примером этой программной идеи является топос схемы этальный . Еще одной иллюстрацией способности топосов Гротендика воплощать «сущность» различных математических ситуаций является их использование в качестве мостов для соединения теорий, которые, хотя и написаны, возможно, на очень разных языках, имеют общее математическое содержание.

Эквивалентные определения

Топос Гротендика — это категория C , которая удовлетворяет любому из следующих трёх свойств. ( Теорема Жана Жиро утверждает, что все приведенные ниже свойства эквивалентны.)

• Существует малая категория D и включение C ↪ Presh( D ), допускающее , сохраняющий конечный предел левый сопряженный .
• C — категория пучков на сайте Гротендика .
• C удовлетворяет аксиомам Жиро, приведенным ниже.

Здесь Presh( D ) обозначает категорию контравариантных функторов из D в категорию множеств; такой контравариантный функтор часто называют предпучком .

Аксиомы Жиро

Аксиомы Жиро для категории C :

• C имеет небольшой набор генераторов и допускает все малые копределы . Кроме того, волокнистые продукты распределяются по сопутствующим продуктам. То есть, учитывая набор I , I отображение копродукции с индексом на A и морфизм A' → A , обратный образ является копроизведением с индексом I для обратных моделей: $$\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A').$$
• Суммы в C не пересекаются. Другими словами, расслоенное произведение X и Y по их сумме является исходным объектом в C .
• Все отношения в C эффективны эквивалентности .

Последняя аксиома нуждается в наибольшем объяснении. Если X — объект C , «отношение эквивалентности» R на X — это отображение R → X × X в C. такой, что для любого объекта Y в C индуцированное отображение Hom( Y , R ) → Hom( Y , X ) × Hom( Y , X ) дает обычное отношение эквивалентности на множестве Hom( Y , X ). Поскольку C имеет копределы, мы можем сформировать коэквалайзер двух отображений R → X ; назовите это X / R . Отношение эквивалентности «эффективно», если каноническое отображение

$R\to X\times _{X/R}X\,\!$

является изоморфизмом.

Примеры

Теорема Жиро уже дает «пучки на узлах» в качестве полного списка примеров. Однако обратите внимание, что неэквивалентные сайты часто даютподняться до эквивалентных топосов. Как указано во введении, пучки в обычных топологических пространствах мотивируют многие основные определения и результаты теории топоса.

Категория наборов и G-сетов

Категория множеств представляет собой важный частный случай: она играет роль точки в теории топоса. Действительно, множество можно рассматривать как пучок в точке, поскольку функторы в одноэлементной категории с одним объектом и только тождественным морфизмом являются всего лишь конкретными множествами в категории множеств.

Аналогично существует топос $BG$ для любой группы $G$ что эквивалентно категории $G$-наборы. Мы конструируем это как категорию предпучков категории с одним объектом, но теперь набор морфизмов задается группой $G$. Поскольку любой функтор должен давать $G$-действие на цель, это дает категорию $G$-наборы. Аналогично для группоида ${\mathcal {G}}$ категория предшкивов на ${\mathcal {G}}$ дает коллекцию наборов, индексированных набором объектов в ${\mathcal {G}}$и автоморфизмы объекта в ${\mathcal {G}}$ имеет действие на цель функтора.

Топосы из окольцованных пространств

Более экзотические примеры и смысл существования теории топоса взяты из алгебраической геометрии. Основной пример топоса взят из топоса Зарисского схемы . По каждой схеме $X$ есть сайт ${\text{Open}}(X)$ (объектов, заданных открытыми подмножествами, и морфизмов, заданных включениями), категория предпучков которых образует топос Зарисского $(X)_{Zar}$. Но как только будут рассмотрены выдающиеся классы морфизмов, возникнет множество их обобщений, что приведет к нетривиальной математике. Более того, топосы дают основу для изучения схем исключительно как функторов категории алгебр.

Схеме и даже стопке можно сопоставить этальный топос, топос фппф или топос Нисневича . Другой важный пример топоса — кристаллический участок . В случае этального топоса они образуют основные объекты изучения анабелевой геометрии , которая изучает объекты алгебраической геометрии, которые полностью определяются структурой их этальной фундаментальной группы .

Патологии

Теория топоса в некотором смысле является обобщением классической топологии множества точек. Поэтому следует ожидать появления старых и новых примеров патологического поведения. Например, есть пример Пьера Делиня нетривиального топоса, не имеющего точек (определение точек топоса см. ниже).

Геометрические морфизмы

Если $X$ и $Y$ являются топосами, геометрическим морфизмом $u:X\to Y$ есть пара сопряженных функторов ( u ^∗ , u _∗ ) (где u ^∗ : Y → X сопряжено слева к u _∗ : X → Y ) такое, что u ^∗ сохраняет конечные пределы. Обратите внимание, что вы ^∗ автоматически сохраняет копределы благодаря наличию правого сопряженного.

По теореме Фрейда о сопряженном функторе задать геометрический морфизм X → Y значит дать функтор u ^∗ : Y → X , сохраняющий конечные пределы и все малые копределы. Таким образом, геометрические морфизмы между топосами можно рассматривать как аналоги карт локалей .

Если $X$ и $Y$ являются топологическими пространствами и $u$ является непрерывным отображением между ними, то операции возврата и продвижения на пучках приводят к геометрическому морфизму между связанными топосами для сайтов ${\text{Open}}(X),{\text{Open}}(Y)$.

Точки топосов

Точка топоса $X$ определяется как геометрический морфизм топосов множеств в $X$.

Если X — обычное пространство и x — точка X , то функтор, переводящий пучок F в его слой F _x, имеет правый сопряженный(функтор «пучок небоскребов»), поэтому обычная точка X также определяет теоретико-топосную точку. назад-вперед по непрерывному отображению x : 1 → X. Их можно построить как движение

Для этального топоса $(X)_{et}$ пространства $X$, точка — это более утонченный объект. Учитывая точку $x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X$ базовой схемы $X$ точка $x'$ топоса $(X)_{et}$ тогда задается сепарабельным расширением поля $k$ из $\kappa (x)$ такая, что соответствующая карта $x':{\text{Spec}}(k)\to X$ факторы через исходную точку $x$. Тогда карта факторизации $${\text{Spec}}(k)\to {\text{Spec}}(\kappa (x))$$ является этальным морфизмом схем.

Точнее, это глобальные точки. Сами по себе они недостаточны для отображения пространственного аспекта топоса, поскольку нетривиальный топос может его не иметь. Обобщенные точки — это геометрические морфизмы топоса Y ( стадия определения в X. ) Их достаточно, чтобы отобразить космический аспект. Например, если X — классифицирующий топос S [ T ] для геометрической теории T , то универсальное свойство говорит, что его точки являются моделями T (на любой стадии определения Y ).

Основные геометрические морфизмы

Геометрический морфизм ( u ^∗ , u _∗ ) существенна, если u ^∗ имеет еще одно левое сопряженное с вами _! , или, что то же самое (по теореме о сопряженном функторе), если u ^∗ сохраняет не только конечные, но и все малые пределы.

Кольчатые топои

Основная статья: Кольчатые топосы

Кольцевой топос — это пара ( X , R ), где X — топос, а — коммутативный кольцевой объект в X. R Большинство конструкций окольцованных пространств проходят через окольцованные топосы. Категория объектов R -модуля в X является абелевой категорией с достаточным количеством инъектив. Более полезной абелевой категорией является подкатегория квазикогерентных R -модулей: это R -модули, допускающие представление.

Другим важным классом окольцованных топосов, помимо окольцованных пространств, являются этальные топосы стопок Делиня-Мамфорда .

Гомотопическая теория топосов

Майкл Артин и Барри Мазур связали с местом, лежащим в основе топоса, просимплициальное множество (с точностью до гомотопии ). (Лучше рассматривать это в Ho(pro-SS); см. Эдвардса). Используя эту обратную систему симплициальных множеств, можно иногда связать с гомотопическим инвариантом в классической топологии обратную систему инвариантов в теории топоса. Исследование просимплициального множества, ассоциированного с этальным топосом схемы, называется этальной гомотопической теорией . В хороших случаях (если схема нетерова и геометрически одноветвлена ) это просимплициальное множество является проконечным .

Элементарные топосы (топосы в логике)

Введение

С начала 20-го века преобладающей аксиоматической основой математики была теория множеств , в которой все математические объекты в конечном итоге представлены множествами (включая функции , которые отображают между множествами). Более поздние работы по теории категорий позволяют обобщить эту основу с помощью топосов; каждый топос полностью определяет свою математическую основу. Категория множеств образует знакомый топос, и работа в рамках этого топоса эквивалентна использованию традиционной теоретико-множественной математики. Но вместо этого можно было бы выбрать работу со многими альтернативными топосами. Стандартная формулировка аксиомы выбора имеет смысл в любом топосе, но есть топосы, в которых она недействительна. Конструктивистам будет интересно работать в топосе без закона исключенного третьего . симметрия относительно конкретной группы G Если важна , можно использовать топос, состоящий из всех G -множеств .

Также возможно закодировать алгебраическую теорию , такую ​​как теория групп, как топос, в форме классифицирующего топоса . Отдельные модели теории, т. е. группы в нашем примере, тогда соответствуют функторам из кодирующего топоса в категорию множеств, которые соблюдают структуру топоса.

Формальное определение

При использовании для фундаментальной работы топос будет определен аксиоматически; теория множеств тогда рассматривается как частный случай теории топоса. На основе теории категорий существует множество эквивалентных определений топоса. Следующее имеет достоинство краткости:

Топос – это категория, обладающая следующими двумя свойствами:

• Все пределы, принятые для категорий конечного индекса, существуют.
• У каждого объекта есть объект силы. Это играет роль набора власти в теории множеств.

Формально энергетический объект объекта $X$ это пара $(PX,\ni _{X})$ с ${\ni _{X}}\subseteq PX\times X$, который классифицирует отношения в следующем смысле. Прежде всего отметим, что для каждого объекта $I$, морфизм $r\colon I\to PX$ («семейство подмножеств») порождает подобъект $\{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X$. Формально это определяется откатом назад $\ni _{X}$ вдоль $r\times X:I\times X\to PX\times X$. Универсальное свойство объекта власти состоит в том, что каждое отношение возникает таким образом, давая биективное соответствие между отношениями. $R\subseteq I\times X$ и морфизмы $r\colon I\to PX$.

Из конечных пределов и объектов власти можно вывести, что

• Все копределы, взятые для категорий конечного индекса, существуют.
• Категория имеет классификатор подобъектов .
• Категория является декартово закрытой .

В некоторых приложениях роль классификатора подобъектов является решающей, тогда как мощные объекты — нет. Таким образом, некоторые определения меняют роли того, что определяется, и того, что получается.

Логические функторы

— Логический функтор это функтор между топосами, сохраняющий конечные пределы, и степенные объекты. Логические функторы сохраняют структуры, которые имеют топосы. В частности, они сохраняют конечные копределы, классификаторы подобъектов и экспоненциальные объекты .

Объяснение

Топос, определенный выше, можно понимать как декартову замкнутую категорию, для которой понятие подобъекта объекта имеет элементарное определение или определение первого порядка. Это понятие, как естественная категориальная абстракция понятий подмножества множества, подгруппы группы и, в более общем смысле, подалгебры любой алгебраической структуры , предшествует понятию топоса. Его можно определить в любой категории, а не только в топосах, в языке второго порядка , т. е. в терминах классов морфизмов, а не отдельных морфизмов, следующим образом. Учитывая две моники m , n из Y и Z соответственно в X , мы говорим, что m ≤ n когда существует морфизм p : Y → Z, для которого np = m , индуцирующий предварительный порядок моник в X. , Когда m ⩽ n и n ⩽ m, мы говорим, что m и n эквивалентны. Подобъекты X — это результирующие классы эквивалентности моник ему.

В топосе «подобъект» становится, по крайней мере имплицитно, понятием первого порядка следующим образом.

Как отмечалось выше, топос — это категория C, имеющая все конечные пределы и, следовательно, в частности, пустой предел или конечный объект 1. Тогда естественно рассматривать морфизмы формы x : 1 → X как элементы x ∈ X . Таким образом, морфизмы f : X → Y соответствуют функциям, отображающим каждый элемент x ∈ X в элемент fx ∈ Y с применением, реализуемым посредством композиции.

Тогда можно было бы подумать определить подобъект X как класс эквивалентности моник m : X′ → X, имеющих тот же образ { mx | х € Х' }. Загвоздка в том, что одной и той же функции могут соответствовать два или более морфизмов, то есть мы не можем предполагать, что C конкретна в том смысле, что функтор C (1,-): C → Set точен. категория Grph графов Например , и связанных с ними гомоморфизмов представляет собой топос, конечным объектом которого 1 является граф с одной вершиной и одним ребром (петля), но он не является конкретным, поскольку элементы 1 → G графа G соответствуют только к петлям, а не к другим ребрам или вершинам без петель. В то время как определение второго порядка делает G и подграф всех петель G (с их вершинами) отдельными подобъектами G (если только каждое ребро не является циклом и каждая вершина не имеет цикл), это определение на основе изображений делает нет. Это можно решить для примера с графом и связанных с ним примеров с помощью леммы Йонеды , как описано в разделе «Дополнительные примеры» ниже, но тогда это перестает быть первым порядком. Топои предлагают более абстрактное, общее и первоклассное решение.

Рисунок 1. m как обратный образ общего подобъекта t вдоль f .

Как отмечалось выше, топос C имеет классификатор подобъектов Ω, а именно объект C с элементом t ∈ Ω, общий подобъект C , обладающий тем свойством, что каждая моника m : X ' → X возникает как обратный образ общего подобъект вдоль уникального морфизма f : X → Ω, как показано на рисунке 1. Теперь возврат моники является моникой, и все элементы, включая t, являются мониками, поскольку существует только один морфизм на 1 из любого данного объекта, откуда и возврат t вдоль f : X → Ω является моникой. Таким образом, моники X находятся в биекции с обратными образами t вдоль морфизмов из X в Ω. Последние морфизмы разбивают моники на классы эквивалентности, каждый из которых определяется морфизмом f : X → Ω, характеристическим морфизмом этого класса, который мы принимаем в качестве подобъекта X , характеризуемого или называемого f .

Все это относится к любому топосу, конкретному или нет. В конкретном случае, а именно C (1,-) верно, например, категории множеств, ситуация сводится к привычному поведению функций. Здесь моники m : X′ → X — это в точности инъекции (однозначные функции) из X′ в X , причем с заданным образом { mx | x ∈ X′ } составляют подобъект X , соответствующий морфизму f : X → Ω, для которого f ⁻¹ ( t ) — это изображение. Моники подобъекта, как правило, будут иметь множество областей, однако все они будут биекционными друг с другом.

Подводя итог, можно сказать, что это понятие классификатора подобъектов первого порядка неявно определяет для топоса то же самое отношение эквивалентности на монике X , которое ранее было явно определено понятием подобъекта второго порядка для любой категории. Понятие отношения эквивалентности в классе морфизмов само по себе является вторым порядком, который определение топоса аккуратно обходит, явно определяя только понятие классификатора подобъектов Ω, оставляя понятие подобъекта X как неявное следствие, характеризуемое (и, следовательно, именуемый) посредством ассоциированного с ним морфизма f : X → Ω.

Дополнительные примеры и непримеры

Каждый топос Гротендика является элементарным топосом, но обратное неверно (поскольку каждый топос Гротендика является кополным, чего не требуется от элементарного топоса).

Категории конечных множеств, конечных G -множеств ( действий группы G на конечном множестве) и конечных графов являются элементарными топосами, не являющимися топосами Гротендика.

Если C — малая категория, то категория функтора Set ^С (состоящий из всех ковариантных функторов из C в множества с естественными преобразованиями в качестве морфизмов) является топосом. Например, категория Grph графов, допускающих кратные направленные ребра между двумя вершинами, является топосом. Такой граф состоит из двух наборов, набора ребер и набора вершин, а также двух функций s,t между этими наборами, присваивающих каждому ребру e его источник s ( e ) и цель t ( e ). Grph Таким образом, эквивалентен функторной категории Set ^С , где C — категория с двумя объектами E и V и двумя морфизмами s,t : E → V, дающими соответственно источник и цель каждого ребра.

утверждает Лемма Йонеды , что C ^на встраивается в набор ^С как полноценная подкатегория. В примере графа вложение представляет собой C ^на как подкатегория Set ^С двумя объектами которого являются V' как одновершинный граф без ребер и E' как двухвершинный однореберный граф (оба как функторы), и чьи два нетождественных морфизма являются двумя гомоморфизмами графов из V' в E' ( оба как естественные преобразования). Естественные преобразования из V' в произвольный граф (функтор) G составляют вершины G, а преобразования из E' в G составляют его ребра. Хотя набор ^С , который мы можем отождествить с Grph , не конкретизируется ни V' , ни E' , функтор U : Grph → Set ² отправка объекта G в пару множеств ( Grph ( V' , G ), Grph ( E' , G )) и морфизма h : G → H в пару функций ( Grph ( V' , h ), Grph ( E' , ч )) верен. То есть морфизм графов можно понимать как пару функций, одна из которых отображает вершины, а другая — ребра, причем применение по-прежнему реализуется как композиция, но теперь с несколькими видами обобщенных элементов. Это показывает, что традиционная концепция конкретной категории как категории, объекты которой имеют базовый набор, может быть обобщена для охвата более широкого диапазона топосов, позволяя объекту иметь несколько базовых наборов, то есть подвергаться мультисортировке.

Категория точечных множеств с функциями сохранения точки не является топосом, так как не имеет степенных объектов: если $PX$ были объектом силы указанного множества $X$, и $1$ обозначает указанный синглтон, то существует только одна функция, сохраняющая точку $r\colon 1\to PX$, но отношения в $1\times X$ столь же многочисленны, как и указанные подмножества $X$. Категория абелевых групп также не является топосом по той же причине: каждый гомоморфизм группы должен отображать 0 в 0.

См. также

• История теории топоса
• Гомотопическая гипотеза
• Интуиционистская теория типов
• ∞-топос
• Квазитопос
• Геометрическая логика
• Обобщенное пространство

Ссылки

Некоторые нежные бумаги

• Эдвардс, Д.А.; Гастингс, HM (лето 1980 г.). «Теория Чеха: ее прошлое, настоящее и будущее» (PDF) . Математический журнал Роки Маунтин . 10 (3): 429–468. дои : 10.1216/RMJ-1980-10-3-429 . JSTOR   44236540 .
• Баэз, Джон . «Теория топоса в двух словах» . Нежное знакомство.
• Стивен Викерс : « Топоны для нулевых вещей » и « Топсы для нулевых вещей ». Элементарные и еще более элементарные введения в топосы как обобщенные пространства.
• Иллюзи, Люк (2004). «Что такое... Топос?» (PDF) . Уведомления АМС . 51 (9): 160–1.

Следующие тексты представляют собой простые введения в топосы и основы теории категорий. Они должны подойти тем, кто мало разбирается в математической логике и теории множеств, даже нематематикам.

• Ловер, Ф. Уильям ; Шануэль, Стивен Х. (1997). Концептуальная математика: первое введение в категории . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-47817-5 . «Введение в категории для ученых-компьютерщиков, логиков, физиков, лингвистов и т. д.». (цитата по тексту обложки).
• Ловер, Ф. Уильям; Роузбру, Роберт (2003). Наборы по математике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-01060-3 . Знакомит с основами математики с категориальной точки зрения.

Основополагающая работа Гротендика о топосах:

• Гротендик, А .; Вердье, Дж. Л. (1972). Теория топоса и стандартные когомологии схем . Конспекты лекций по математике. Полет. 269. Спрингер. дои : 10.1007/BFb0081551 . ISBN  978-3-540-37549-4 . Том 2 270 дои : 10.1007/BFb0061319 ISBN   978-3-540-37987-4

Следующие монографии включают введение в некоторые или всю теорию топоса, но не предназначены в первую очередь для начинающих студентов. Перечислены в (воспринимаемом) порядке возрастания сложности.

• МакЛарти, Колин (1992). Элементарные категории, элементарные топосы . Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-158949-2 . Хорошее введение в основы теории категорий, теории топоса и логики топоса. Предполагает очень мало предварительных условий.
• Голдблатт, Роберт (2013) [1984]. Топосы: Категориальный анализ логики . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-31796-0 . Хорошее начало. Доступно онлайн на домашней странице Роберта Голдблатта.
• Белл, Джон Л. (2001). «Развитие категорической логики» . В Габбае, DM; Гентнер, Франц (ред.). Справочник по философской логике . Том. 12 (2-е изд.). Спрингер. стр. 279–. ISBN  978-1-4020-3091-8 . Версия доступна онлайн на домашней странице Джона Белла.
• Маклейн, Сондерс ; Мурдейк, Ике (2012) [1994]. Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса . Спрингер. ISBN  978-1-4612-0927-0 . Более полная и более трудная для чтения.
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2013) [1985]. Топосы, тройки и теории . Спрингер. ISBN  978-1-4899-0023-4 . (Онлайн-версия). Более краткий, чем «Пучки в геометрии и логике» , но труден для новичков.

Справочные издания для экспертов, менее подходящие для первого ознакомления.

• Эдвардс, Д.А.; Гастингс, HM (1976). Гомотопические теории Чеха и Стинрода с приложениями к геометрической топологии . Конспекты лекций по математике. Том. 542. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/BFb0081083 . ISBN  978-3-540-38103-7 .
• Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категорической алгебре: Том 3, Теория пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 52. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-44180-3 . Третья часть «выдающегося произведения Борсо», как назвал ее Джонстон. По-прежнему подходит в качестве введения, хотя новичкам может быть сложно распознать наиболее важные результаты среди огромного количества предоставленного материала.
• Джонстон, Питер Т. (2014) [1977]. Теория Топоса . Курьер. ISBN  978-0-486-49336-7 . Долгое время это был стандартный сборник по теории топоса. Однако даже Джонстон описывает эту работу как «слишком сложную для чтения и не для слабонервных».
• Джонстон, Питер Т. (2002). Зарисовки слона: сборник теории топоса . Том. 2. Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-851598-2 . По состоянию на начало 2010 года были доступны два из запланированных трех томов этого огромного сборника.
• Карамелло, Оливия (2017). Теории, сайты, топосы: связь и изучение математических теорий через топо-теоретические «мосты» . Издательство Оксфордского университета. дои : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001 . ISBN  9780198758914 .

Книги, посвященные специальным применениям теории топоса.

• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер; Рота, GC, ред. (2004). Категориальные основы: специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-83414-8 . Включает в себя множество интересных специальных приложений.