Лемма Йонеды

В математике является лемма Йонеды фундаментальным результатом теории категорий . Это абстрактный результат о функторах морфизмов типов в фиксированный объект . Это обширное обобщение теоремы Кэли из теории групп (рассмотрение группы как миниатюрной категории с одним объектом и только изоморфизмами). Он позволяет встроить любую локально малую категорию в категорию функторов ( контравариантных многозначных функторов), определенных в этой категории. Это также проясняет, как встроенная категория представимых функторов и их естественных преобразований связана с другими объектами в более крупной категории функторов. Это важный инструмент, лежащий в основе некоторых современных разработок в области алгебраической геометрии и теории представлений . Он назван в честь Нобуо Йонеды .

Общие сведения

Лемма Йонеды предполагает, что вместо изучения локально малой категории ${\mathcal {C}}$, следует изучить категорию всех функторов ${\mathcal {C}}$ в $\mathbf {Set}$ ( категория множеств с функциями как морфизмами ). $\mathbf {Set}$ — это категория, которую, как мы думаем, мы хорошо понимаем, и функтор ${\mathcal {C}}$ в $\mathbf {Set}$ можно рассматривать как «представление» ${\mathcal {C}}$ в терминах известных структур. Исходная категория ${\mathcal {C}}$ содержится в этой категории функторов, но в категории функторов появляются новые объекты, которые отсутствовали и «скрылись» в ${\mathcal {C}}$. Отношение к этим новым объектам так же, как к старым, часто унифицирует и упрощает теорию.

Этот подход родственен (и фактически обобщает) распространенному методу изучения кольца путем исследования модулей над ним. Кольцо занимает место разряда ${\mathcal {C}}$, а категория модулей над кольцом — это категория функторов, определенных на ${\mathcal {C}}$.

Официальное заявление

Лемма Йонеды касается функторов из фиксированной категории. ${\mathcal {C}}$ в категорию наборов , $\mathbf {Set}$. Если ${\mathcal {C}}$ является локально малой категорией (т. е. hom-множества являются реальными множествами, а не собственными классами), то каждый объект $A$ из ${\mathcal {C}}$ порождает естественный функтор $\mathbf {Set}$ называется hom-функтором . Этот функтор обозначается:

$h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)$.

( Ковариантный ) hom-функтор $h_{A}$ отправляет $X\in {\mathcal {C}}$ множеству морфизмов $\mathrm {Hom} (A,X)$ и отправляет морфизм $f\colon X\to Y$ (где $Y\in {\mathcal {C}}$) к морфизму $f\circ -$ (композиция с $f$ слева), который отправляет морфизм $g$ в $\mathrm {Hom} (A,X)$ к морфизму $f\circ g$ в $\mathrm {Hom} (A,Y)$. То есть,

$h_{A}(f)=\mathrm {Hom} (A,f),{\text{ or}}$

$h_{A}(f)(g)=f\circ g$

Лемма Йонеды гласит, что:

Лемма   (Йонеда) — Пусть $F$ быть функтором из локально малой категории ${\mathcal {C}}$ к $\mathbf {Set}$. Тогда для каждого объекта $A$ из ${\mathcal {C}}$, естественные преобразования $\mathrm {Nat} (h_{A},F)\equiv \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,-),F)$ от $h_{A}$ к $F$ находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами $F(A)$. То есть,

$\mathrm {Nat} (h_{A},F)\cong F(A).$

Более того, этот изоморфизм естественен в $A$ и $F$ когда обе стороны рассматриваются как функторы из ${\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$ к $\mathbf {Set}$.

Здесь обозначения $\mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$ обозначает категорию функторов из ${\mathcal {C}}$ к $\mathbf {Set}$.

Учитывая естественную трансформацию $\Phi$ от $h_{A}$ к $F$, соответствующий элемент $F(A)$ является $u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})$; и задан элемент $u$ из $F(A)$, соответствующее естественное преобразование имеет вид $\Phi _{X}(f)=F(f)(u)$ что соответствует морфизму $f\colon A\to X$ значение $F(X)$.

Контравариантная версия

Существует контрвариантная версия леммы Йонеды: что касается контравариантных функторов из ${\mathcal {C}}$ к $\mathbf {Set}$. Эта версия включает контравариантный hom-функтор

$h^{A}=\mathrm {Hom} (-,A),$

который отправляет $X$ на домашнюю площадку $\mathrm {Hom} (X,A)$. Учитывая произвольный контравариантный функтор $G$ от ${\mathcal {C}}$ к $\mathbf {Set}$лемма Йонеды утверждает, что

$\mathrm {Nat} (h^{A},G)\cong G(A).$

Естественность

Биекции, предусмотренные в (ковариантной) лемме Йонеды (для каждого $A$ и $F$) являются компонентами естественного изоморфизма между двумя некоторыми функторами из ${\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$ к $\mathbf {Set}$. Одним из двух функторов является функтор оценки.

$-(-)\colon {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$

$-(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)$

это отправляет пару $(f,\Phi )$ морфизма $f\colon A\to B$ в ${\mathcal {C}}$ и естественная трансформация $\Phi \colon F\to G$ на карту

$\Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}\colon F(A)\to G(B).$

Этого достаточно, чтобы определить другой функтор, поскольку мы знаем, что такое естественный изоморфизм. Под вторым функтором

$\operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ,$

$\operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F),$

образ пары $(f,\Phi )$ это карта

$\operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )$

который посылает естественную трансформацию $\Psi \colon \hom(A,-)\to F$ к естественной трансформации $\Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)\colon \hom(B,-)\to G$, компоненты которого

$(\Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-))_{C}(g)=(\Phi \circ \Psi )_{C}(g\circ f)\qquad (g\colon B\to C).$

Соглашения об именах

Использование $h_{A}$ для ковариантного hom-функтора и $h^{A}$ ибо контравариантный hom-функтор не является вполне стандартным. Во многих текстах и ​​статьях для этих двух функторов используются либо противоположные соглашения, либо совершенно несвязанные символы. Однако в большинстве современных текстов по алгебраической геометрии, начиная с Александра Гротендика, основополагающего EGA используется соглашение, изложенное в этой статье.

Мнемоника «падение во что-то» может помочь запомнить это. $h_{A}$ — ковариантный hom-функтор. Когда письмо $A$ падает , (т.е. нижний индекс) $h_{A}$ присваивает объекту $X$ морфизмы из $A$ в $X$.

Доказательство

С $\Phi$ является естественным преобразованием, мы имеем следующую коммутативную диаграмму :

Proof of Yoneda's lemma

Эта диаграмма показывает, что естественное преобразование $\Phi$ полностью определяется $\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u$ поскольку для каждого морфизма $f\colon A\to X$ у одного есть

$\Phi _{X}(f)=(Ff)u.$

Более того, любой элемент $u\in F(A)$ таким образом определяет естественную трансформацию. Доказательство в контравариантном случае совершенно аналогично.

Встраивание Йонеды

Важный частный случай леммы Йонеды — когда функтор $F$ от ${\mathcal {C}}$ к $\mathbf {Set}$ это еще один hom-функтор $h_{B}$. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

$\mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).$

То есть естественные преобразования между hom-функторами находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами (в обратном направлении) между ассоциированными объектами. Учитывая морфизм $f\colon B\to A$ соответствующее естественное преобразование обозначается $\mathrm {Hom} (f,-)$.

Отображение каждого объекта $A$ в ${\mathcal {C}}$ связанному с ним hom-функтору $h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)$ и каждый морфизм $f\colon B\to A$ соответствующему естественному преобразованию $\mathrm {Hom} (f,-)$ определить контравариантный оператор $h_{\bullet }$ от ${\mathcal {C}}$ к $\mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$, категория функторов всех (ковариантных) функторов из ${\mathcal {C}}$ к $\mathbf {Set}$. Можно интерпретировать $h_{\bullet }$ как ковариантный функтор :

$h_{\bullet }\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.$

Смысл леммы Йонеды в этом случае состоит в том, что функтор $h_{\bullet }$ и полностью верен , следовательно, дает вложение ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$ в категории функторов $\mathbf {Set}$. Коллекция всех функторов $\{h_{A}|A\in C\}$ это подкатегория $\mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$. Следовательно, вложение Йонеды означает, что категория ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$ изоморфна категории $\{h_{A}|A\in C\}$.

Контравариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

$\mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).$

Поэтому, $h^{\bullet }$ порождает ковариантный функтор из ${\mathcal {C}}$ к категории контравариантных функторов $\mathbf {Set}$:

$h^{\bullet }\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.$

Тогда лемма Йонеды утверждает, что любая локально малая категория ${\mathcal {C}}$ можно вложить в категорию контравариантных функторов из ${\mathcal {C}}$ к $\mathbf {Set}$ с помощью $h^{\bullet }$. Это называется вложением Йонеды .

Вложение Йонеды иногда обозначается よ, хирагана кана Йо .

Представительный оператор

Основная статья: Представимый функтор

что для каждой (локально малой) категории объекты в этой категории могут быть представлены предпучками Вложение Йонеды по существу утверждает , полным и точным образом. То есть,

$\mathrm {Nat} (h^{A},P)\cong P(A)$

для предпучка P . Многие общие категории, по сути, являются категориями предпучков и при ближайшем рассмотрении оказываются категориями пучков , а поскольку такие примеры обычно носят топологический характер, их можно рассматривать как топосы в целом. Лемма Йонеды обеспечивает точку опоры, с помощью которой можно изучать и понимать топологическую структуру категории.

С точки зрения (ко

Основная статья: Конец (теория категорий)

Учитывая две категории $\mathbf {C}$ и $\mathbf {D}$ с двумя функторами $F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D}$, естественные преобразования между ними можно записать как следующий end .

$\mathrm {Nat} (F,G)=\int _{c\in \mathbf {C} }\mathrm {Hom} _{\mathbf {D} }(Fc,Gc)$

Для любых функторов $K\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Sets}$ и $H\colon \mathbf {C} \to \mathbf {Sets}$ все следующие формулы являются формулировками леммы Йонеды.

$K\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Kc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c),\qquad K\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Kc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-)},$

$H\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Hc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-),\qquad H\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Hc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c)}.$

Преаддитивные категории, кольца и модули

Основная статья: Категория преаддитивов

— Преаддитивная категория это категория, в которой множества морфизмов образуют абелевы группы , а композиция морфизмов билинейна ; примерами являются категории абелевых групп или модулей. В преаддитивной категории происходит как «умножение», так и «сложение» морфизмов, поэтому преаддитивные категории рассматриваются как обобщения колец . Кольца — это преаддитивные категории с одним объектом.

Лемма Йонеды остается верной для преаддитивных категорий, если мы выбираем в качестве расширения категорию аддитивных контравариантных функторов из исходной категории в категорию абелевых групп; это функторы, совместимые с добавлением морфизмов, и их следует рассматривать как образующие категорию модулей над исходной категорией. Тогда лемма Йонеды дает естественную процедуру расширения предаддитивной категории так, чтобы расширенная версия оставалась предаддитивной — фактически расширенная версия является абелевой категорией , что является гораздо более мощным условием. В случае с кольцом $R$расширенная категория — это категория всех правых модулей над $R$, и утверждение леммы Йонеды сводится к известному изоморфизму

$M\cong \mathrm {Hom} _{R}(R,M)$ для всех правильных модулей $M$ над $R$.

Кэли

Как говорилось выше, лемму Йонеды можно рассматривать как обширное обобщение теоремы Кэли из теории групп . Чтобы увидеть это, позвольте ${\mathcal {C}}$ быть категорией с одним объектом $*$ такой, что каждый морфизм является изоморфизмом (т.е. группоидом с одним объектом). Затем $G=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)$ образует группу в результате операции композиции, и любая группа может быть реализована таким образом как категория.

В этом контексте ковариантный функтор ${\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$ состоит из набора $X$ и групповой гомоморфизм $G\to \mathrm {Perm} (X)$, где $\mathrm {Perm} (X)$ группа перестановок это $X$; другими словами, $X$ является G-множеством . Естественное преобразование между такими функторами — это то же самое, что эквивариантное отображение между $G$-sets: функция установки $\alpha \colon X\to Y$ с имуществом, которое $\alpha (g\cdot x)=g\cdot \alpha (x)$ для всех $g$ в $G$ и $x$ в $X$. (В левой части этого уравнения $\cdot$ обозначает действие $G$ на $X$, а справа действие на $Y$.)

Теперь ковариантный hom-функтор $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)$ соответствует действию $G$ на себя путем умножения слева (контравариантная версия соответствует умножению справа). Лемма Йонеды с $F=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)$ заявляет, что

$\mathrm {Nat} (\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-),\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-))\cong \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)$,

то есть эквивариантные отображения из этого $G$-set самому себе находятся в биекции с $G$. Но легко видеть, что (1) эти отображения образуют группу по композиции, которая подгруппой является $\mathrm {Perm} (G)$, и (2) функция, дающая биекцию, является групповым гомоморфизмом. (Двигаясь в обратном направлении, он ассоциируется с каждым $g$ в $G$ эквивариантное отображение правого умножения на $g$.) Таким образом $G$ изоморфна подгруппе $\mathrm {Perm} (G)$, что является утверждением теоремы Кэли.

История

Йошики Киносита заявил в 1996 году, что термин «лемма Йонеды» был придуман Сондерсом Мак Лейном после интервью, которое он дал Йонеде на вокзале Гар-дю-Нор .

См. также

• Теорема о представлении

Ссылки

• Фрейд, Питер (1964), Абелевы категории , Серия Харпера по современной математике (переиздание 2003 г.), Harper and Row, Zbl   0121.02103 .
• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика , Тексты для выпускников по математике , том. 5 (2-е изд.), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  0-387-98403-8 , Збл   0906.18001
• Лорегиан, Фоско (2021). (Ко)конец исчисления . arXiv : 1501.02503 . дои : 10.1017/9781108778657 . ISBN  9781108778657 .
• Ленстер, Том (2014), Базовая теория категорий , arXiv : 1612.09375 , doi : 10.1017/CBO9781107360068 , ISBN  978-1-107-04424-1
• Теория категорий , Oxford University Press, 17 июня 2010 г., ISBN  978-0-19-958736-0

• Лемма Йонеды в n Lab

Внешние ссылки

• системы Mizar : Доказательство Войцеховский, М. (1997). «Вложение Йонеды». Формализованный математический журнал . 6 (3): 377–380. CiteSeerX   10.1.1.73.7127 .
• Бьюрье, Эрван; Пастор Доминик (июль 2019 г.). «Ускоренный курс теории категорий» .