Кольцо (математика)

Эта статья об алгебраической структуре. Чтобы узнать о других значениях в математике, см. Кольцо (значения) § Математика .

В математике , кольца представляют собой алгебраические структуры , обобщающие поля : умножение не обязательно должно быть коммутативным а мультипликативные обратные числа не обязательно должны существовать. Неформально кольцо — это множество , содержащее две двоичные операции, обладающие свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения целых чисел . Кольцевые элементы могут быть числами, такими как целые или комплексные числа , но они также могут быть нечисловыми объектами, такими как многочлены , квадратные матрицы , функции и степенные ряды .

Формально кольцо — это множество, наделенное двумя двоичными операциями, называемыми сложением и умножением, такое, что кольцо является абелевой группой относительно оператора сложения, а оператор умножения ассоциативен , дистрибутивен по операции сложения и имеет мультипликативное тождество. элемент . (Некоторые авторы определяют кольца, не требуя мультипликативной идентичности, и вместо этого называют структуру, определенную выше, кольцом с идентичностью . См. § Вариации определения .)

Коммутативность кольца имеет глубокие последствия для его поведения. Коммутативная алгебра , теория коммутативных колец , является основным разделом теории колец . На ее развитие большое влияние оказали проблемы и идеи алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии . Простейшими коммутативными кольцами являются те, которые допускают деление на ненулевые элементы; такие кольца называются полями .

Примеры коммутативных колец включают набор целых чисел с их стандартным сложением и умножением, набор многочленов с их сложением и умножением, координатное кольцо аффинного алгебраического многообразия и кольцо целых чисел числового поля. Примеры некоммутативных колец включают кольцо размера n × n вещественных квадратных матриц с n ≥ 2 , групповые кольца в теории представлений , операторные алгебры в функциональном анализе , кольца дифференциальных операторов и кольца когомологий в топологии .

Концептуализация колец охватывала период с 1870-х по 1920-е годы, при этом ключевые вклады внесли Дедекинд , Гильберт , Френкель и Нётер . Кольца были впервые формализованы как обобщение дедекиндовых областей , встречающихся в теории чисел , а также колец многочленов и колец инвариантов, встречающихся в алгебраической геометрии и теории инвариантов . Позже они оказались полезными в других областях математики, таких как геометрия и анализ .

Определение

Кольцо — это множество R, снабженное двумя бинарными операциями. + (сложение) и ⋅ (умножение), удовлетворяющие следующим трем наборам аксиом, называемым аксиомами кольца

1. R является абелевой группой при добавлении, что означает, что:
   • ( a + b ) + c = a + ( b + c ) для всех a , b , c в R (то есть ассоциативно + ) .
   • a + b = b + a для всех a , b в R (т. е. + коммутативно ) .
   • существует элемент 0 В R такой, что a + 0 = a для всех a в R (т. е. 0 — аддитивное тождество ).
   • Для каждого a в R существует − a в R такой, что a + (− a ) = 0 (т. е. − a является аддитивным обратным к a ).
2. R является моноидом при умножении, что означает, что:
   • ( a · b ) · c = a · ( b · c ) для всех a , b , c в R (то есть ⋅ ассоциативно).
   • существует элемент 1 В R такой, что a · 1 = a и 1 · a = a для всех a в R (т. е. 1 — мультипликативное тождество ).
3. Умножение является распределительным по отношению к сложению, что означает, что:
   • a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) для всех a , b , c в R (левая дистрибутивность).
   • ( b + c ) · a = ( b · a ) + ( c · a ) для всех a , b , c в R (правая дистрибутивность).

В обозначениях символ умножения · часто опускается, и в этом случае a · b записывается как ab .

Вариации определения

В терминологии этой статьи кольцо определяется как имеющее мультипликативную идентичность, тогда как структура с таким же аксиоматическим определением, но без требования мультипликативной идентичности, вместо этого называется « rng » (IPA: / r ʊ ŋ / ) с пропущенное «я». Например, набор четных целых чисел с обычными + и ⋅ является кольцом, а не кольцом. Как поясняется в разделе «История» ниже, многие авторы применяют термин «кольцо», не требуя мультипликативного тождества.

Хотя сложение колец коммутативно , умножение колец не обязательно должно быть коммутативным: ab не обязательно должно быть равно ba . Кольца, которые также удовлетворяют коммутативности при умножении (например, кольцо целых чисел), называются коммутативными кольцами . В книгах по коммутативной алгебре или алгебраической геометрии часто используется соглашение, согласно которому кольцо означает коммутативное кольцо , чтобы упростить терминологию.

В кольце не обязательно должны существовать мультипликативные инверсии. Ненулевое , коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный называется полем .

Аддитивная группа кольца — это базовое множество, содержащее только операцию сложения. Хотя определение требует, чтобы аддитивная группа была абелевой, это можно вывести из других аксиом колец. Доказательство использует цифру « 1 » и не работает в ряду. (Для гСГ исключение аксиомы коммутативности сложения делает ее вывод из остальных предположений гСГ только для элементов, которые являются продуктами: ab + cd = cd + ab .)

Есть несколько авторов, которые используют термин «кольцо» для обозначения структур, в которых не требуется, чтобы умножение было ассоциативным. Для этих авторов каждая алгебра является «кольцом».

Иллюстрация

Целые числа вместе с двумя операциями сложения и умножения образуют прототип кольца.

Самый знакомый пример кольца — это набор всех целых чисел. $\mathbb {Z} ,$ состоящий из цифр

$\dots ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots$

Аксиомы кольца были разработаны как обобщение известных свойств сложения и умножения целых чисел.

Некоторые свойства

Некоторые основные свойства кольца непосредственно следуют из аксиом:

• Аддитивная идентичность уникальна.
• Аддитивный обратный каждому элементу уникален.
• Мультипликативное тождество уникально.
• Для любого элемента x в кольце R имеем x 0 = 0 = 0 x (ноль является поглощающим элементом относительно умножения) и (–1) x = – x .
• Если 0 = 1 в кольце R (или, в более общем смысле, 0 — единичный элемент), то R имеет только один элемент и называется нулевым кольцом .
• Если кольцо R содержит нулевое кольцо в качестве подкольца, то R само является нулевым кольцом.
• Биномиальная формула справедлива для любых x и y, удовлетворяющих xy = yx .

Пример: Целые числа по модулю 4

См. Также: Модульная арифметика

Экипируйте набор $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ со следующими операциями:

• Сумма ${\overline {x}}+{\overline {y}}$ в $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ является остатком от целого числа x + y деления на 4 (поскольку x + y всегда меньше 8 , этот остаток равен либо x + y , либо x + y − 4 ). Например, ${\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}$ и ${\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.$
• Продукт ${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$ в $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ является остатком от целого числа xy деления на 4 . Например, ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}$ и ${\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.$

Затем $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ является кольцом: каждая аксиома следует из соответствующей аксиомы для $\mathbb {Z} .$ Если x — целое число, остаток x при делении на 4 можно рассматривать как элемент $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,$ и этот элемент часто обозначается « x mod 4 » или ${\overline {x}},$ что соответствует обозначениям 0, 1, 2, 3 . Аддитивная инверсия любого ${\overline {x}}$ в $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ является $-{\overline {x}}={\overline {-x}}.$ Например, $-{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.$

Пример: матрицы 2х2

2х2 Набор квадратных матриц с записями в поле F равен

$\operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.$

С помощью операций сложения и умножения матриц , $\operatorname {M} _{2}(F)$ удовлетворяет указанным выше кольцевым аксиомам. Элемент $\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ – мультипликативное тождество кольца. Если $A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)$ и $B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),$ затем $AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ пока $BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right);$ этот пример показывает, что кольцо некоммутативно.

В более общем смысле, для любого кольца R , коммутативного или нет, и любого неотрицательного целого числа n квадратные матрицы размерности n с элементами в R образуют кольцо; см . Матричное кольцо .

История

Смотрите также: Теория колец § История

Ричард Дедекинд , один из основоположников теории колец.

Дедекинд

Изучение колец зародилось из теории колец полиномов и теории целых алгебраических чисел . В 1871 году Ричард Дедекинд определил понятие кольца целых чисел числового поля. В этом контексте он ввел термины «идеал» (вдохновленный идеей Эрнста Куммера об идеальном числе) и «модуль» и изучил их свойства. Дедекинд не пользовался термином «кольцо» и не определял понятие кольца в общем смысле.

Гильберт

Термин «Зальринг» (числовое кольцо) был придуман Дэвидом Гильбертом в 1892 году и опубликован в 1897 году. На немецком языке XIX века слово «Кольцо» могло означать «ассоциация», которое до сих пор используется в английском языке в ограниченном смысле (например, шпионская сеть). так что если бы это была этимология, то это было бы похоже на то, как слово «группа» вошло в математику, будучи нетехническим словом, обозначающим «набор связанных вещей». По словам Харви Кона, Гильберт использовал этот термин для обозначения кольца, которое обладало свойством «вращаться обратно» к своему элементу (в смысле эквивалентности ) . В частности, в кольце целых алгебраических чисел все старшие степени целого алгебраического числа могут быть записаны как целая комбинация фиксированного набора младших степеней, и, таким образом, степени «вернутся назад». Например, если ³ − 4 a + 1 = 0 , тогда:

${\begin{aligned}a^{3}&=4a-1,\\a^{4}&=4a^{2}-a,\\a^{5}&=-a^{2}+16a-4,\\a^{6}&=16a^{2}-8a+1,\\a^{7}&=-8a^{2}+65a-16,\\\vdots \ &\qquad \vdots \end{aligned}}$

и так далее; в общем, а ^н будет целой линейной комбинацией 1 , a и a ² .

Френкель и Нётер

Первое аксиоматическое определение кольца было дано Адольфом Френкелем в 1915 году. но его аксиомы были строже, чем аксиомы в современном определении. Например, он требовал, чтобы каждый делитель нуля имел мультипликативную обратную величину . В 1921 году Эмми Нётер дала современное аксиоматическое определение коммутативных колец (с единицей и без нее) и развила основы коммутативной теории колец в своей статье Idealtheorie in Ringbereichen .

Мультипликативная идентичность и термин «кольцо»

Аксиомы Френкеля для «кольца» включали аксиомы мультипликативного тождества, тогда как Нётер этого не сделала.

Большинство или все книги по алгебре примерно до 1960 года следовал соглашению Нётер не требовать 1 для «кольца». Начиная с 1960-х годов, все чаще можно было увидеть книги, включающие наличие цифры 1 в определении «кольца», особенно в продвинутых книгах таких известных авторов, как Артин, Бурбаки, Айзенбуд, и Ланг. Есть также книги, опубликованные не позднее 2022 года, в которых этот термин используется без требования 1 . Точно так же Энциклопедия Математики не требует наличия единичных элементов в кольцах. В исследовательской статье авторы часто указывают в начале статьи, какое определение кольца они используют.

Гарднер и Вигандт утверждают, что при работе с несколькими объектами в категории колец (в отличие от работы с фиксированным кольцом), если требовать, чтобы все кольца имели 1 , то некоторые последствия включают отсутствие существования бесконечных прямых сумм кольца и что собственные прямые слагаемые колец не являются подкольцами. Они приходят к выводу, что «во многих, а может быть, и в большинстве разделов теории колец требование существования элемента единицы нецелесообразно и, следовательно, неприемлемо». Пунен приводит контраргумент, что естественным понятием колец будет прямое произведение, а не прямая сумма. Однако его главный аргумент состоит в том, что кольца без мультипликативной идентичности не являются полностью ассоциативными в том смысле, что они не содержат произведения какой-либо конечной последовательности элементов кольца, включая пустую последовательность.

Авторы, которые следуют любому соглашению об использовании термина «кольцо», могут использовать один из следующих терминов для обозначения объектов, удовлетворяющих другому соглашению:

• включить требование мультипликативного тождества: «единичное кольцо», «унитарное кольцо», «единичное кольцо», «кольцо с единицей», «кольцо с единицей», «кольцо с единицей», или «кольцо с 1».
• опустить требование мультипликативной идентичности: «rng» или «псевдокольцо», хотя последнее может сбивать с толку, поскольку оно имеет и другие значения.

Основные примеры

См. Также: Ассоциативная алгебра § Примеры.

Коммутативные кольца

• Прототипическим примером является кольцо целых чисел с двумя операциями сложения и умножения.
• Рациональные, действительные и комплексные числа представляют собой коммутативные кольца типа, называемого полями .
• Ассоциативная алгебра с единицей над коммутативным кольцом R сама является кольцом и R - модулем . Некоторые примеры:
  • Алгебра R [ X ] многочленов коэффициентами с R. из
  • Алгебра $R[[X_{1},\dots ,X_{n}]]$ формальных степенных рядов с коэффициентами из R .
  • Множество всех непрерывных вещественных функций, определенных на вещественной прямой, образует коммутативную $\mathbb {R}$-алгебра. Операции представляют собой поточечное сложение и умножение функций.
  • Пусть X — множество, и пусть R — кольцо. Тогда множество всех функций от X до R образует кольцо, которое является коммутативным, если R коммутативно.
• Кольцо целых квадратичных чисел , целое замыкание $\mathbb {Z}$ в квадратичном расширении $\mathbb {Q} .$ Это подкольцо кольца всех алгебраических целых чисел .
• Кольцо бесконечных целых чисел ${\widehat {\mathbb {Z} }},$ (бесконечное) произведение колец p -адических целых чисел $\mathbb {Z} _{p}$ по всем простым числам p .
• Кольцо Гекке — кольцо, порожденное операторами Гекке.
• Если S — множество, то множество S степенное становится кольцом, если мы определяем сложение как симметричную разность множеств, а умножение — как пересечение . Это пример логического кольца .

Некоммутативные кольца

• Для любого кольца R и любого натурального числа n набор всех квадратных n размером на n матриц с элементами из R образует кольцо с операциями сложения и умножения матриц. При n = 1 это кольцо матриц изоморфно R. самому При n > 1 (и R не нулевое кольцо) это кольцо матриц некоммутативно.
• Если G — абелева группа , то G образуют G. кольцо, эндоморфизмов End( G ) группы эндоморфизмы кольцо Операциями в этом кольце являются сложение и композиция эндоморфизмов. В более общем смысле, если V — левый модуль над кольцом R , то множество всех R -линейных отображений образует кольцо, также называемое кольцом эндоморфизмов и обозначаемое End _R ( V ) .
• Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой . Кольцо является коммутативным, если эллиптическая кривая определена над полем нулевой характеристики.
• Если G — группа , а R — кольцо, групповое кольцо группы G над R является свободным модулем над R, имеющим G в качестве базиса. Умножение определяется правилами, согласно которым элементы G коммутируют с элементами R и умножаются вместе, как они это делают в группе G .
• Кольцо дифференциальных операторов (в зависимости от контекста). Фактически многие кольца, возникающие при анализе, некоммутативны. Например, большинство банаховых алгебр некоммутативны.

Без колец

• Набор натуральных чисел $\mathbb {N}$ при обычных операциях не является кольцом, так как $(\mathbb {N} ,+)$ не является даже группой (не все элементы обратимы относительно сложения — например, не существует натурального числа, которое можно прибавить к 3 и получить 0 в результате ). Существует естественный способ увеличить его до кольца, включив отрицательные числа для создания кольца целых чисел. $\mathbb {Z} .$ Натуральные числа (включая 0 ) образуют алгебраическую структуру, известную как полукольцо (которое имеет все аксиомы кольца, за исключением аксиомы аддитивного обратного).
• Пусть R будет набором всех непрерывных функций на действительной прямой, которые обращаются в нуль вне ограниченного интервала, который зависит от функции, с обычным сложением, но с умножением, определяемым как свертка :
  $$(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy.$$
  Тогда R — это кольцо, а не кольцо: дельта-функция Дирака свойством мультипликативного тождества, но она не является функцией и, следовательно, не является элементом R. обладает

Основные понятия

Продукты и возможности

Для каждого неотрицательного целого числа n задана последовательность $(a_{1},\dots ,a_{n})$ из n элементов R можно определить произведение $P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}$ рекурсивно: пусть P ₀ = 1 и пусть P _m = P _{m −1} a _m для 1 ≤ m ≤ n .

В качестве частного случая можно определить неотрицательные целые степени элемента a кольца: a ⁰ = 1 и а ^н = а ^{п -1} а для n ≥ 1 . Тогда ​ ^{м + н} = а ^м а ^н для всех м , п ≥ 0 .

Элементы в кольце

Левый делитель нуля кольца R — это элемент a в кольце такой, что существует ненулевой элемент b кольца R такой, что ab = 0 . Правый делитель нуля определяется аналогично.

– Нильпотентный элемент это элемент a такой, что ^н = 0 для некоторого n > 0 . Одним из примеров нильпотентного элемента является нильпотентная матрица . Нильпотентный элемент в ненулевом кольце обязательно является делителем нуля.

Идемпотент ​ $e$ – такой элемент, что e ² = е . Одним из примеров идемпотентного элемента является проекция в линейной алгебре.

Единица — это элемент a, имеющий мультипликативную инверсию ; единственное и обозначается в этом случае обратное ^–1 . Множество единиц кольца представляет собой группу при умножении колец; эта группа обозначается R ^× или R * или U ( R ) . Например, если R — кольцо всех квадратных матриц размера n над полем, то R ^× состоит из множества всех обратимых матриц размера n и называется общей линейной группой .

Подкольцо

Основная статья: Подкольцо

Подмножество S кольца R называется подкольцом, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• сложение и умножение R ограничиваются операциями S × S → S, делающими S кольцом с той же мультипликативной идентичностью, что и R .
• 1 € S ; и для всех x, y в S элементы xy , x + y и −x находятся S. в
• S можно снабдить операциями, делающими его таким кольцом, что отображение включения S → R является кольцевым гомоморфизмом.

Например, кольцо $\mathbb {Z}$ целых чисел является подкольцом поля действительных чисел, а также подкольцом кольца многочленов. $\mathbb {Z} [X]$ (в обоих случаях $\mathbb {Z}$ содержит 1, что является мультипликативным тождеством больших колец). С другой стороны, подмножество четных целых чисел $2\mathbb {Z}$ не содержит единичный элемент 1 и, следовательно, не может рассматриваться как подкольцо $\mathbb {Z} ;$ можно было бы позвонить $2\mathbb {Z}$ субрегион . , однако

Пересечение подколец является подкольцом. Учитывая подмножество E кольца R , наименьшее подкольцо R, E , является пересечением всех подколец R , содержащих E , и оно называется подкольцом, порожденным E. содержащее

Для кольца R наименьшее подкольцо называется характеристическим подкольцом R R . Его можно сгенерировать путем сложения копий 1 и −1 . Возможно, что n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 ( n раз) может быть равно нулю. Если n — наименьшее положительное целое число, такое, что это происходит, n называется характеристикой R то . В некоторых кольцах n · 1 никогда не равняется нулю ни для одного положительного целого числа n , и говорят, что эти кольца имеют нулевую характеристику .

Для кольца R пусть Z( R ) обозначает набор всех элементов x в R таких, что коммутирует с каждым элементом в R : xy = yx для любого y в R. x Тогда Z( R ) — подкольцо кольца , называемое центром кольца R. R В более общем смысле, учитывая подмножество X в R , пусть S будет набором всех элементов в R которые коммутируют с каждым элементом в X. , Тогда S — подкольцо кольца R , называемое централизатором (или коммутантом) X. кольца централизатором всего кольца R. Центр является Элементы или подмножества центра называются центральными в R ; они (каждый по отдельности) порождают подкольцо центра.

Идеал

Основная статья: Идеал (теория колец)

Пусть R — кольцо. Левый идеал R R — это непустое подмножество I в rx такое, что для любых , y I и r в R элементы x + y и находятся x в I. в Если RI обозначает R -пространство I , то есть множество конечных сумм

$r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I,$

то I — левый идеал, RI ⊆ I. если Аналогично, правый идеал — это такое подмножество I что IR ⊆ I. , Подмножество I называется двусторонним идеалом или просто идеалом , если оно одновременно является левым и правым идеалом. Односторонний или двусторонний идеал тогда является аддитивной подгруппой R . Если E — подмножество R , то RE — левый идеал, называемый левым идеалом, порожденным E ; это наименьший левый идеал, E. содержащий Аналогично можно рассмотреть правый идеал или двусторонний идеал, порожденный подмножеством R .

Если x находится в R , то Rx и xR — левые идеалы и правые идеалы соответственно; они называются главными левыми идеалами и правыми идеалами, порожденными x . Главный идеал RxR записывается как ( x ) . Например, набор всех положительных и отрицательных кратных 2 вместе с 0 образует идеал целых чисел, и этот идеал генерируется целым числом 2 . Фактически, каждый идеал кольца целых чисел является главным.

Как и группа, кольцо называется простым, если оно ненулевое и не имеет собственных ненулевых двусторонних идеалов. Коммутативное простое кольцо — это в точности поле.

Кольца часто изучаются с особыми условиями, предъявляемыми к их идеалам. Например, кольцо, в котором нет строго возрастающей бесконечной цепочки левых идеалов, называется левым нетеровым кольцом . Кольцо, в котором нет строго убывающей бесконечной цепочки левых идеалов, называется левым артиновым кольцом . Несколько удивительным является тот факт, что артиново слева кольцо нётерово слева ( теорема Хопкинса–Левицкого ). Однако целые числа образуют нётерово кольцо, которое не является артиновым.

Для коммутативных колец идеалы обобщают классическое понятие делимости и разложения целого числа на простые числа в алгебре. Собственный идеал P кольца R называется простым идеалом, если для любых элементов $x,y\in R$ у нас есть это $xy\in P$ подразумевает либо $x\in P$ или $y\in P.$ Эквивалентно, P является простым, если для любых идеалов I , J мы имеем, что из ⊆ P следует либо I ⊆ P , либо J ⊆ P. IJ Эта последняя формулировка иллюстрирует идею идеалов как обобщений элементов.

Гомоморфизм

Основная статья: Кольцевой гомоморфизм

Гомоморфизм R кольца ( — , +, ⋅ ) в кольцо ( S , ‡, ∗) это функция f из R в S , сохраняющая кольцевые операции; а именно, такой, что для всех a , b в R выполняются следующие тождества:

${\begin{aligned}&f(a+b)=f(a)\ddagger f(b)\\&f(a\cdot b)=f(a)*f(b)\\&f(1_{R})=1_{S}\end{aligned}}$

Если вы работаете с кольцами, то третье условие отпадает.

Кольцевой гомоморфизм f называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм к f (то есть гомоморфизм колец, который является обратной функцией ). Любой биективный гомоморфизм колец является кольцевым изоморфизмом. Два кольца R , S называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм, и в этом случае пишут $R\simeq S.$ Кольцевой гомоморфизм одного и того же кольца называется эндоморфизмом, а изоморфизм одного и того же кольца — автоморфизмом.

Примеры:

• Функция, которая отображает каждое целое число x в его остаток по модулю 4 (число из {0, 1, 2, 3} ), является гомоморфизмом кольца $\mathbb {Z}$ факторкольцу $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ («частное кольцо» определено ниже).
• Если u — единичный элемент в кольце R , то $R\to R,x\mapsto uxu^{-1}$ является кольцевым гомоморфизмом, называемым автоморфизмом R внутренним .
• Пусть R — коммутативное кольцо простой характеристики p . Тогда х ↦ х ^п является кольцевым эндоморфизмом R, называемым гомоморфизмом Фробениуса .
• Группа Галуа расширения поля L / K — это множество всех автоморфизмов L , ограничения которых на n тождественны.
• Для любого кольца R существует единственный гомоморфизм колец. $\mathbb {Z} \mapsto R$ и единственный гомоморфизм колец R → 0 .
• Эпиморфизм (т. е . правосократимый морфизм) колец не обязательно должен быть сюръективным. Например, уникальная карта $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ является эпиморфизмом.
• Гомоморфизм алгебры k -алгебры в алгебру эндоморфизмов векторного пространства над k называется представлением алгебры .

Для кольцевого гомоморфизма f : R → S множество всех элементов, отображаемых в 0 с помощью f называется ядром f , . Ядро является двусторонним идеалом R . С другой стороны, образ f подкольцом S. не всегда является идеалом, но всегда является

Придать кольцевой гомоморфизм коммутативного кольца R кольцу А с образом, содержащимся в центре А, — это то же самое, что придать А структуру алгебры над R ( что , в частности , дает структуру А -модуля ). .

Коэффициентное кольцо

Основная статья: Факторное кольцо

Понятие факторкольца аналогично понятию факторгруппы . Учитывая кольцо ( R , +, ⋅ ) и двусторонний идеал I группы ( R , +, ⋅ ) , рассмотрим I как подгруппу группы ( R , +) ; тогда факторкольцо R / I представляет собой множество смежных классов вместе I с операциями

${\begin{aligned}&(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\&(a+I)(b+I)=(ab)+I.\end{aligned}}$

для a , b в R. всех Кольцо R / I также называют факторкольцом .

в случае с факторгруппой, существует канонический гомоморфизм p : R → R / I , заданный формулой x ↦ x + I. Как и Он сюръективен и удовлетворяет следующему универсальному свойству:

• Если f : R → S — кольцевой гомоморфизм такой, что f ( I ) = 0 , то существует единственный гомоморфизм ${\overline {f}}:R/I\to S$ такой, что $f={\overline {f}}\circ p.$

Для любого кольцевого гомоморфизма f : R → S обращение к универсальному свойству с I = ker f приводит к гомоморфизму ${\overline {f}}:R/\ker f\to S$ что дает изоморфизм R /ker f образу f .

Модуль

Основная статья: Модуль (математика)

Понятие модуля над кольцом обобщает понятие векторного пространства (над полем ) путем обобщения от умножения векторов на элементы поля ( скалярного умножения ) к умножению на элементы кольца. Точнее, для данного кольца R -модуль R M сопоставляющей представляет собой абелеву группу , снабженную операцией R × M → M ( элемент M каждой паре элемента R и элемента M ), которая удовлетворяет определенным аксиомам . Эту операцию обычно обозначают сопоставлением и называют умножением. Аксиомы модулей следующие: для всех a , b в R и всех x , y в M ,

M — абелева присоединяемая группа.

${\begin{aligned}&a(x+y)=ax+ay\\&(a+b)x=ax+bx\\&1x=x\\&(ab)x=a(bx)\end{aligned}}$

Когда кольцо некоммутативно, эти аксиомы определяют левые модули ; Правые модули определяются аналогично, записывая xa вместо ax . Это не только изменение обозначений, поскольку последняя аксиома правых модулей (то есть x ( ab ) = ( xa ) b ) становится ( ab ) x = b ( ax ) , если используется левое умножение (на кольцевые элементы). для правого модуля.

Базовыми примерами модулей являются идеалы, включая само кольцо.

Несмотря на аналогичное определение, теория модулей намного сложнее, чем теория векторного пространства, главным образом потому, что, в отличие от векторных пространств, модули не характеризуются (с точностью до изоморфизма) одним инвариантом (размерностью векторного пространства ). В частности, не все модули имеют основу .

Из аксиом модулей следует, что (−1) x = − x , где первый минус обозначает аддитивный обратный в кольце, а второй минус аддитивный обратный в модуле. Используя это и обозначая повторное сложение умножением на положительное целое число, можно идентифицировать абелевы группы с модулями над кольцом целых чисел.

Любой кольцевой гомоморфизм индуцирует структуру модуля: если f : R → S — кольцевой гомоморфизм, то S — левый модуль над R посредством умножения: rs = f ( r ) s . Если R коммутативно или если ( R ) содержится в центре S S , кольцо f называется R - алгеброй . В частности, каждое кольцо является алгеброй целых чисел.

Конструкции

Прямой продукт

Основная статья: Прямое произведение колец

Пусть R и S — кольца. Тогда произведение R × S можно снабдить следующей естественной кольцевой структурой:

${\begin{aligned}&(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})\\&(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})\end{aligned}}$

для всех r ₁ , r ₂ в R и s ₁ , s ₂ в S . Кольцо R × S с указанными выше операциями сложения и умножения и мультипликативным тождеством 1, 1) называется прямым произведением R ( на S . Та же конструкция работает и для произвольного семейства колец: если R _i — кольца, индексированные множеством I , то ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$ является кольцом с покомпонентным сложением и умножением.

Пусть R — коммутативное кольцо и ${\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}$ быть такими идеалами, что ${\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)$ всякий раз, когда я ≠ j . Тогда китайская теорема об остатках утверждает, что существует канонический изоморфизм колец:

$$R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x{\bmod {\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{1},\ldots ,x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{n}).$$

«Конечный» прямой продукт также можно рассматривать как прямую сумму идеалов. А именно, пусть $R_{i},1\leq i\leq n$ быть кольцами, ${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$ включения с изображениями ${\mathfrak {a}}_{i}$ (в частности ${\mathfrak {a}}_{i}$ являются кольцами, но не подкольцами). Затем ${\mathfrak {a}}_{i}$ являются идеалами R и

$$R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}$$

как прямая сумма абелевых групп (поскольку для абелевых групп конечные произведения совпадают с прямыми суммами). Ясно, что прямая сумма таких идеалов определяет также произведение колец, изоморфное R . Эквивалентно вышеописанное можно сделать через центральные идемпотенты . Предположим, что R имеет указанное выше разложение. Тогда мы можем написать

$$1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.$$

По условиям на ${\mathfrak {a}}_{i},$ имеем, что e _i — центральные идемпотенты и e _i e _j = 0 , i ≠ j (ортогональные). Опять же, можно повернуть конструкцию вспять. А именно, если дано разбиение единицы на ортогональные центральные идемпотенты, то пусть ${\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i},$ которые являются двусторонними идеалами. Если каждое e _i не является суммой ортогональных центральных идемпотентов, то их прямая сумма изоморфна R .

Важным применением бесконечного прямого произведения является построение проективного предела колец (см. ниже). Другое применение — ограниченное произведение семейства колец (ср. кольцо Адель ).

Полиномиальное кольцо

Основная статья: Полиномиальное кольцо

Учитывая символ t (называемый переменной) и коммутативное кольцо R , набор многочленов

$R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}$

образует коммутативное кольцо с обычным сложением и умножением, содержащее R в качестве подкольца. Оно называется многочленов над R. кольцом В более общем смысле набор $R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ всех многочленов от переменных $t_{1},\ldots ,t_{n}$ образует коммутативное кольцо, содержащее $R\left[t_{i}\right]$ как подкольца.

Если R — область целостности , то R [ t ] также является областью целостности; его поле дробей есть поле рациональных функций . Если R — нётерово кольцо, то R [ t ] — нётерово кольцо. Если R — уникальная область факторизации, то R [ t ] — уникальная область факторизации. Наконец, R является полем тогда и только тогда, когда R [ t ] — область главных идеалов.

Позволять $R\subseteq S$ быть коммутативными кольцами. Учитывая элемент x из S , можно рассмотреть кольцевой гомоморфизм

$R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)$

(то есть замена ). Если S = ​​R [ t ] и x = t , то f ( t ) = f . По этой причине многочлен f часто также обозначается как f ( t ) . Изображение карты $f\mapsto f(x)$ обозначается R [ x ] ; это то же самое, что подкольцо S, порожденное R и x .

Пример: $k\left[t^{2},t^{3}\right]$ обозначает образ гомоморфизма

$k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).$

Другими словами, это подалгебра k [ t ], порожденная t ² и т ³ .

Пример: пусть f — многочлен от одной переменной, то есть элемент кольца R. полиномов Тогда f ( x + h ) — элемент из R [ h ] и f ( x + h ) – f ( x ) делится на h в этом кольце. Результатом замены нуля на h в ( f ( x + h ) – f ( x )) / h будет f' ( x ) , производная f в x .

Замена является частным случаем универсального свойства кольца многочленов. Свойство гласит: при наличии кольцевого гомоморфизма $\phi :R\to S$ и элемента x из S существует единственный кольцевой гомоморфизм ${\overline {\phi }}:R[t]\to S$ такой, что ${\overline {\phi }}(t)=x$ и ${\overline {\phi }}$ ограничивается φ . Например, при выборе базиса симметрическая алгебра удовлетворяет универсальному свойству и поэтому является кольцом многочленов.

В качестве примера пусть S — кольцо всех функций из R в себя; сложение и умножение относятся к функциям. Пусть x — тождественная функция. Каждый r в R приводящую к гомоморфизму R → S. определяет постоянную функцию , Свойство универсальности говорит, что это отображение однозначно распространяется на

$R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}$

( t отображается в x ), где ${\overline {f}}$ — полиномиальная функция, определяемая f . Полученное отображение будет инъективным тогда и только тогда, когда R бесконечно.

Для данного непостоянного монического многочлена f в R [ t ] существует кольцо S, содержащее R такое, что f является произведением линейных множителей в S [ t ] .

Пусть k — алгебраически замкнутое поле. утверждает Nullstellensatz (теорема нулей) Гильберта , что существует естественное взаимно-однозначное соответствие между множеством всех простых идеалов в $k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ и множество замкнутых подмногообразий k ^н . В частности, многие локальные проблемы алгебраической геометрии могут быть решены путем изучения генераторов идеала в кольце полиномов. (см. базис Грёбнера .)

Есть и другие сопутствующие конструкции. Формальное кольцо степенного ряда $R[\![t]\!]$ состоит из формальных степенных рядов

$\sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R$

вместе с умножением и сложением, которые имитируют операции сходящегося ряда. Оно содержит R [ t ] как подкольцо. Кольцо формальных степенных рядов не обладает универсальным свойством кольца многочленов; ряд может не сходиться после замены. Важным преимуществом кольца формальных степенных рядов перед кольцом многочленов является его локальность (фактически полная ).

Матричное кольцо

Основные статьи: Матричное кольцо и кольцо эндоморфизмов

Пусть R — кольцо (не обязательно коммутативное). Множество всех квадратных матриц размера n с элементами из R образует кольцо с поэлементным сложением и обычным матричным умножением. Оно называется матричным кольцом обозначается Mn _и ( R ) . Для правого R -модуля U множество всех R -линейных отображений U в себя образует кольцо со сложением, состоящим из функции, и умножением, состоящим из композиции функций ; оно называется кольцом эндоморфизмов U и обозначается End _R ( U ) .

Как и в линейной алгебре, кольцо матриц можно канонически интерпретировать как кольцо эндоморфизмов: $\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R).$ Это частный случай следующего факта: если $f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U$ является R -линейным отображением, то f можно записать как матрицу с элементами f _ij из S = End _R ( U ) , что приводит к кольцевому изоморфизму:

$\operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).$

Любой кольцевой гомоморфизм R → S индуцирует M _n ( R ) → M _n ( S ) .

Лемма Шура гласит, что если U — простой правый R -модуль, то End _R ( U ) — тело. Если $U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ является прямой суммой m _i -копий простых R -модулей $U_{i},$ затем

$\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i})).$

Теорема Артина – Веддерберна утверждает, что любое полупростое кольцо (см. ниже) имеет такой вид.

Кольцо R матриц Mn _: ( R ) над ним Морита-эквивалентны категория R правых модулей кольца эквивалентна категории правых модулей над Mn _{и кольцо} ( R ) . , двусторонние идеалы в R взаимно однозначно соответствуют двусторонним идеалам в Mn ₍ В частности R ) .

Пределы и копределы колец

Пусть R _i — последовательность колец такая, что R _i — подкольцо R _{i + 1} для всех i . Тогда объединение (или фильтрованный копредел ) кольца R _i представляет собой кольцо $\varinjlim R_{i}$ определяется следующим образом: это дизъюнктное объединение всех R _i по модулю отношения эквивалентности x ~ y тогда и только тогда, когда x = y в R _i для достаточно большого i .

Примеры копределов:

• Кольцо полиномов от бесконечного числа переменных: $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$
• Алгебраическое замыкание конечных полей одной характеристики ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.$
• Поле формальных рядов Лорана над полем k : $k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]$ (это поле дробей кольца формальных степенных рядов $k[\![t]\!].$)
• Функциональное поле алгебраического многообразия над полем k — это $\varinjlim k[U]$ где предел пробегает все координатные кольца k [ U ] непустых открытых подмножеств U (более кратко - это стебель структурного пучка в общей точке .)

Любое коммутативное кольцо является копределом конечно порожденных подколец .

Проективный предел (или фильтрованный предел ) колец определяется следующим образом. Предположим, нам дано семейство колец R _i , i, бегущее, скажем, по положительным целым числам, и гомоморфизмы колец R _j → R _i , j ≥ i такие, что R _i → R _i — все тождества и R _k → R _j → R. _я есть R _k → R _i всякий раз, когда k ≥ j ≥ i . Затем $\varprojlim R_{i}$ является подкольцом $\textstyle \prod R_{i}$ состоящий из ( x _n ) такой, что x _j отображается в x _i при R _j → R _i , j ≥ i .

Пример проективного предела см. в § Завершение .

Локализация

Локализация области целостности на произвольное обобщает конструкцию поля частных кольцо и модули. Учитывая (не обязательно коммутативное) кольцо R и подмножество S кольца R , существует кольцо $R[S^{-1}]$ вместе с кольцевым гомоморфизмом $R\to R\left[S^{-1}\right]$ который «инвертирует» S ; то есть гомоморфизм отображает элементы из S в единичные элементы из $R\left[S^{-1}\right],$ и, более того, любой гомоморфизм колец из R , который «инвертирует» S, однозначно факторизуется через $R\left[S^{-1}\right].$ Кольцо $R\left[S^{-1}\right]$ называется локализацией R ​ относительно S. ​Например, если R — коммутативное кольцо и f — элемент из R , то локализация $R\left[f^{-1}\right]$ состоит из элементов вида $r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0$ (если быть точным, $R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).$)

Локализация часто применяется к коммутативному кольцу R относительно дополнения к простому идеалу (или объединению простых идеалов) в R . В этом случае $S=R-{\mathfrak {p}},$ часто пишут $R_{\mathfrak {p}}$ для $R\left[S^{-1}\right].$ $R_{\mathfrak {p}}$ тогда является локальным кольцом с максимальным идеалом ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.$ Это причина терминологии «локализация». Поле частных области целостности R является локализацией R в нулевом простом идеале. Если ${\mathfrak {p}}$ — простой идеал коммутативного кольца R , то поле частных $R/{\mathfrak {p}}$ совпадает с полем вычетов локального кольца $R_{\mathfrak {p}}$ и обозначается $k({\mathfrak {p}}).$

Если M — левый R -модуль, то локализация M относительно S задается заменой колец $M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M.$

Важнейшими свойствами локализации являются следующие: когда R — коммутативное кольцо, а S — мультипликативно замкнутое подмножество

• ${\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]$ является биекцией между множеством всех простых идеалов в R, не пересекающихся с S, и множеством всех простых идеалов в $R\left[S^{-1}\right].$
• $R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right],$ f перебирает элементы в S с частичным упорядочением, заданным делимостью.
• Локализация точная:
  $$0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0$$
  точно закончилось $R\left[S^{-1}\right]$ в любое время $0\to M'\to M\to M''\to 0$ точен над R .
• И наоборот, если $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$ точен для любого максимального идеала ${\mathfrak {m}},$ затем $0\to M'\to M\to M''\to 0$ это точно.
• Замечание: локализация не помогает доказать глобальное существование. Одним из примеров этого является то, что если два модуля изоморфны во всех простых идеалах, из этого не следует, что они изоморфны. (Один из способов объяснить это состоит в том, что локализация позволяет рассматривать модуль как пучок простых идеалов, а пучок по своей сути является локальным понятием.)

В теории категорий локализация категории сводится к превращению некоторых морфизмов в изоморфизмы. Элемент коммутативного кольца R можно рассматривать как эндоморфизм любого R -модуля. Таким образом, категорически локализация R относительно подмножества S в R представляет собой функтор из категории R -модулей в себя, переводящий элементы S , рассматриваемые как эндоморфизмы, в автоморфизмы и универсальный относительно этого свойства. (Конечно, тогда R отображается в $R\left[S^{-1}\right]$ и R -модули сопоставляются с $R\left[S^{-1}\right]$-модули.)

Завершение

Пусть R — коммутативное кольцо и I — идеал R. кольца Пополнение есть R I в предел проективный ${\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n};$ это коммутативное кольцо. Канонические гомоморфизмы из R в факторы $R/I^{n}$ индуцировать гомоморфизм $R\to {\hat {R}}.$ Последний гомоморфизм инъективен, если R — нётерова область целостности, а I — собственный идеал, или если R — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом I по теореме Крулла о пересечении . Конструкция особенно полезна, когда I — максимальный идеал.

Основным примером является завершение $\mathbb {Z}$ в главном идеале ( p ), порожденном простым числом p ; оно называется кольцом целых p -адических чисел и обозначается $\mathbb {Z} _{p}.$ В этом случае пополнение можно построить и по p -адическому модулю на $\mathbb {Q} .$ -адическое абсолютное значение p на $\mathbb {Q}$ это карта $x\mapsto |x|$ от $\mathbb {Q}$ к $\mathbb {R}$ данный $|n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}$ где $v_{p}(n)$ обозначает показатель степени p при разложении простого числа ненулевого целого числа n на простые числа (мы также полагаем $|0|_{p}=0$ и $|m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}$). Он определяет функцию расстояния на $\mathbb {Q}$ и завершение $\mathbb {Q}$ в качестве метрического пространства обозначается $\mathbb {Q} _{p}.$ Это снова поле, поскольку полевые операции продолжаются до завершения. Подкольцо $\mathbb {Q} _{p}$ состоящий из элементов х с | х | _p ≤ 1 изоморфен $\mathbb {Z} _{p}.$

Аналогично, кольцо формальных степенных рядов R [{[ t ]}] является пополнением кольца R [ t ] в точке ( t ) (см. также лемму Гензеля )

Полное кольцо имеет гораздо более простую структуру, чем коммутативное кольцо. Это соответствует структурной теореме Коэна , которая, грубо говоря, гласит, что полное локальное кольцо имеет тенденцию выглядеть как кольцо формального степенного ряда или его частное. С другой стороны, взаимодействие между интегральным замыканием и пополнением было одним из наиболее важных аспектов, которые отличают современную коммутативную теорию колец от классической, разработанной людьми, подобными Нётер. Патологические примеры, найденные Нагатой, привели к переосмыслению роли нетеровских колец и мотивировали, среди прочего, определение превосходного кольца .

Кольца с образующими и отношениями

Самый общий способ построить кольцо — указать генераторы и отношения. Пусть F — свободное кольцо (т. е. свободная алгебра над целыми числами) с множеством X символов, т. е. F состоит из многочленов с целыми коэффициентами от некоммутирующих переменных, являющихся элементами X . Свободное кольцо обладает универсальным свойством: любая функция из множества X в кольцо R факторизуется через F так, что F → R является единственным гомоморфизмом колец. Как и в групповом случае, каждое кольцо можно представить как фактор свободного кольца.

Теперь мы можем установить отношения между символами в X, взяв частное. Явно, если E является подмножеством F , то фактор-кольцо F по идеалу, порожденному E, называется кольцом с образующими X и отношениями E . Если бы мы использовали кольцо, скажем, А в качестве базового кольца вместо $\mathbb {Z} ,$ полученное кольцо будет над A. тогда Например, если $E=\{xy-yx\mid x,y\in X\},$ то результирующее кольцо будет обычным кольцом полиномов с коэффициентами из A от переменных, являющихся элементами X (это то же самое, что и симметрическая алгебра над A с символами X ).

С точки зрения теории категорий, формирование $S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S$ является левым сопряженным функтором функтора забывчивости из категории колец в Set (и его часто называют функтором свободного кольца).

Пусть A , B алгебры над коммутативным кольцом R. — Тогда тензорное произведение R -модулей $A\otimes _{R}B$ является R -алгеброй с умножением, характеризующимся $(x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv.$

Смотрите также: Тензорное произведение алгебр и Замена колец.

Особые виды колец

Домены

кольцо Ненулевое , не имеющее ненулевых делителей нуля, называется областью определения . Коммутативная область называется областью целостности . Наиболее важными интегральными областями являются главные идеальные области, сокращенно PID, и поля. Область главных идеалов — это целостная область, в которой каждый идеал является главным. Важным классом областей целостности, содержащими PID, является область уникальной факторизации (UFD), область целостности, в которой каждый неединичный элемент является произведением простых элементов (элемент является простым, если он порождает простой идеал ). Фундаментальный вопрос в Теория алгебраических чисел изучает степень, в которой кольцо (обобщенных) целых чисел в числовом поле , где «идеал» допускает простую факторизацию, не может быть PID.

Среди теорем, касающихся ПИД, наиболее важной является структурная теорема для конечно порожденных модулей в области главных идеалов . Теорему можно проиллюстрировать следующим приложением к линейной алгебре. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем k и f : V → V — линейное отображение с минимальным полиномом q . Затем, поскольку k [ t ] является уникальной областью факторизации, q разлагается на степени различных неприводимых многочленов (то есть простых элементов):

$$q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.$$

Сдача в аренду $t\cdot v=f(v),$ делаем V a k [ t ] -модуль. Структурная теорема тогда говорит, что V является прямой суммой циклических модулей , каждый из которых изоморфен модулю вида $k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right).$ Теперь, если $p_{i}(t)=t-\lambda _{i},$ тогда такой циклический модуль (для pi ₎ имеет базис, в котором ограничение f представлено жордановой матрицей . образом, если, скажем, k алгебраически замкнуто, то все p _i имеют вид t – λ _i и приведенное выше разложение соответствует жордановой канонической форме f Таким .

Иерархия нескольких классов колец с примерами.

В алгебраической геометрии УФД возникают из-за гладкости. Точнее, точка многообразия (над совершенным полем) является гладкой, если локальное кольцо в этой точке является регулярным локальным кольцом . Обычное локальное кольцо — это УФД.

Ниже приведена цепочка включений классов , описывающая отношения между кольцами, доменами и полями:

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Разделительное кольцо

Тело — это кольцо, в котором каждый ненулевой элемент является единицей. Коммутативное тело — это поле . Ярким примером тела, которое не является полем, является кольцо кватернионов . Любой централизатор в теле также является телом. В частности, центром тела является поле. Оказалось, что каждая конечная область (в частности, конечное тело) является полем; в частности коммутативный ( малая теорема Веддерберна ).

Каждый модуль над телом является свободным модулем (имеет базис); следовательно, большую часть линейной алгебры можно выполнять над телом, а не над полем.

Изучение классов сопряженности занимает видное место в классической теории тел; см., например, теорему Картана–Брауэра–Хуа .

, Циклическая алгебра введенная Л. Е. Диксоном , является обобщением алгебры кватернионов .

Полупростые кольца

Основная статья: Полупростой модуль

— Полупростой модуль это прямая сумма простых модулей. Полупростое кольцо — это кольцо, полупростое как левый (или правый модуль) над собой.

Примеры

• Тело полупростое (и простое ).
• Для любого тела D и натурального числа n кольцо матриц M _n ( D ) полупростое (и простое ).
• Для поля k и конечной группы G групповое кольцо полупросто тогда и только тогда, когда характеристика поля k не делит порядок G kG ( теорема Машке ).
• Алгебры Клиффорда полупросты.

Алгебра Вейля над полем — простое кольцо , но не полупростое. То же справедливо и для кольца дифференциальных операторов многих переменных .

Свойства

Любой модуль над полупростым кольцом полупрост. (Доказательство: свободный модуль над полупростым кольцом полупрост, и любой модуль является фактором свободного модуля.)

Для кольца R следующие условия эквивалентны:

• R полупрост.
• R артинов ​ и полупримитивен .
• R — конечное прямое произведение ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$ где каждое n _i — целое положительное число, а каждое D _i — тело ( теорема Артина–Веддерберна ).

Полупростота тесно связана с разделимостью. Ассоциативная алгебра A с единицей над полем k называется сепарабельной, если базовое расширение $A\otimes _{k}F$ полупросто для любого расширения поля F / k . Если А — поле, то это эквивалентно обычному определению в теории поля (ср. сепарабельное расширение ).

Центральная простая алгебра

Основная статья: Центральная простая алгебра

Для поля k - алгебра k является центральной, если ее центр равен k , и простой, если она является простым кольцом . Поскольку центр простой k -алгебры является полем, любая простая k -алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром. В этом разделе предполагается, что центральная простая алгебра имеет конечную размерность. Также мы в основном исправляем базовое поле; таким образом, алгебра относится к k -алгебре. Кольцо матриц размера n над кольцом R будем обозначать R _n .

Теорема Скулема -Нётер утверждает, что любой автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним.

Две центральные простые алгебры A и B называются подобными, если существуют целые числа n и m такие, что $A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}.$ С $k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm},$ сходство является отношением эквивалентности. Классы подобия [ A ] с умножением $[A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]$ образуют абелеву группу, называемую Брауэра группой k и обозначаемую Br( k ) . По теореме Артина-Веддерберна центральная простая алгебра является матричным кольцом тела; таким образом, каждый класс сходства представлен уникальным телом.

Например, Br( k ) тривиален, если k — конечное поле или алгебраически замкнутое поле (в более общем смысле — квазиалгебраически замкнутое поле ; см. теорему Цена ). $\operatorname {Br} (\mathbb {R} )$ имеет порядок 2 (частный случай теоремы Фробениуса ). Наконец, если k — неархимедово локальное поле (например, $\mathbb {Q} _{p}$), затем $\operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ через инвариантное отображение .

Теперь, если F — расширение поля k , то базовое расширение $-\otimes _{k}F$ индуцирует Br( k ) → Br( F ) . Его ядро ​​обозначается Br( F / k ) . Он состоит из [ A ] таких, что $A\otimes _{k}F$ является кольцом матриц над F (т. е. A расщепляется F .) Если расширение конечно и Галуа, то Br( F / k ) канонически изоморфно $H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right).$

Алгебры Адзумая обобщают понятие центральных простых алгебр на коммутативное локальное кольцо.

Оценочное кольцо

Основная статья: Оценочное кольцо

Если K — поле, то нормирование v — это гомоморфизм группы из мультипликативной группы K ^∗ к полностью упорядоченной абелевой группе G такой, что для любых f , g в K, где f + g ненулевой, v ( f + g ) ≥ min{ v ( f ), v ( g )}. Кольцо нормирования v состоящее — это подкольцо кольца K, из нуля и всех ненулевых f таких, что v ( f ) ≥ 0 .

Примеры:

• Поле формальных рядов Лорана $k(\!(t)\!)$ над полем k имеет оценку v такую, что v ( f ) — наименьшая степень ненулевого члена в f ; кольцо нормирования v является кольцом формальных степенных рядов $k[\![t]\!].$
• В более общем смысле, учитывая поле k и полностью упорядоченную абелеву группу G , пусть $k(\!(G)\!)$ — множество всех функций от G до k , носители которых (множества точек, в которых функции отличны от нуля) хорошо упорядочены . Это поле с умножением, заданным сверткой :
  $$(f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s).$$
  Он также имеет оценку v такую, что v ( f ) является наименьшим элементом в носителе f . Подкольцо, состоящее из элементов с конечным носителем, называется групповым кольцом группы G (что имеет смысл, даже если G не коммутативен). Если G — кольцо целых чисел, то мы восстанавливаем предыдущий пример (отождествляя f с рядом, n- й коэффициент которого равен f ( n ) ).

Смотрите также: Кольцо Новикова и однорядное кольцо.

Кольца с дополнительной структурой

Кольцо можно рассматривать как абелеву группу (с помощью операции сложения) с дополнительной структурой, а именно умножением колец. Точно так же существуют и другие математические объекты, которые можно рассматривать как кольца с дополнительной структурой. Например:

• Ассоциативная алгебра — это кольцо, которое также является векторным пространством над полем n, такое, что скалярное умножение совместимо с кольцевым умножением. Например, набор матриц размером n × n над действительным полем $\mathbb {R}$ имеет размерность n ² как реальное векторное пространство.
• Кольцо R называется топологическим кольцом, если его множеству элементов R задана топология , которая делает отображение сложения ( $+:R\times R\to R$) и карта умножения ⋅ : R × R → R должны быть непрерывными как отображения между топологическими пространствами (где X × X наследует топологию продукта или любой другой продукт в категории). Например, матрицы размером n × n над действительными числами могут быть заданы либо топологией Евклида , либо топологией Зариского , и в любом случае можно будет получить топологическое кольцо.
• λ -кольцо — это коммутативное кольцо R вместе с операциями λ ^н : R → R , которые подобны n - м внешним степеням :

  $\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y).$

Например, $\mathbb {Z}$ является λ-кольцом с $\lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}},$ биномиальные коэффициенты . Это понятие играет центральное правило в алгебраическом подходе к теореме Римана-Роха .

• — Полностью упорядоченное кольцо это кольцо, полный порядок которого совместим с кольцевыми операциями.

Некоторые примеры повсеместного распространения колец

Множество различных типов математических объектов можно плодотворно анализировать в терминах некоторого связанного кольца .

Кольцо когомологий топологического пространства

Любому топологическому пространству X можно сопоставить его кольцо целых когомологий.

$H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),$

кольцо градуированное . Существуют также группы гомологий. $H_{i}(X,\mathbb {Z} )$ пространства, и действительно они были определены первыми, как полезный инструмент для различения определенных пар топологических пространств, таких как сферы и торы , для которых методы топологии точечного множества не очень подходят. Группы когомологий позже были определены в терминах групп гомологий способом, который примерно аналогичен двойственному векторному пространству . Знать каждую отдельную целую группу гомологий по существу то же самое, что знать каждую отдельную целую группу когомологий, в силу теоремы об универсальных коэффициентах . Однако преимущество групп когомологий состоит в том, что существует натуральный продукт , что аналогично наблюдению, что можно поточечно умножить k - полилинейную форму и l -полилинейную форму, чтобы получить ( k + l )-полилинейную форму.

Кольцевая структура в когомологиях обеспечивает основу для характеристических классов , расслоений теории пересечений многообразий и алгебраических многообразий , исчисления Шуберта и многого другого.

группы

С любой группой связано ее кольцо Бернсайда группы , которое использует кольцо для описания различных способов действия на конечном множестве. Аддитивная группа кольца Бернсайда — это свободная абелева группа , базой которой является множество транзитивных действий группы, а дополнением — дизъюнктное объединение действия. Выражение действия через базис есть разложение действия на переходные составляющие. Умножение легко выразить через кольцо представлений : умножение в кольце Бернсайда образуется путем записи тензорного произведения двух модулей перестановок в виде модуля перестановки. Кольцевая структура допускает формальный способ вычитания одного действия из другого. Поскольку кольцо Бернсайда содержится как подкольцо конечного индекса кольца представлений, можно легко перейти от одного к другому, расширив коэффициенты от целых чисел до рациональных чисел.

Представительское кольцо группового кольца

Любому групповому кольцу или алгебре Хопфа соответствует его кольцо представлений или «Зеленое кольцо». Аддитивная группа кольца представлений — это свободная абелева группа, базой которой являются неразложимые модули, а сложение соответствует прямой сумме. Выражение модуля через базис — это нахождение неразложимого разложения модуля. Умножение — это тензорное произведение. Когда алгебра полупроста, кольцо представлений представляет собой просто кольцо характеров из теории характеров , которое более или менее представляет собой группу Гротендика с кольцевой структурой.

многообразия

Каждому неприводимому алгебраическому многообразию сопоставляется его функциональное поле . Точкам алгебраического многообразия соответствуют кольца нормирования, содержащиеся в функциональном поле и содержащие координатное кольцо . При изучении алгебраической геометрии широко используется коммутативная алгебра для изучения геометрических концепций с точки зрения теоретико-кольцевых свойств. Бирациональная геометрия изучает отображения между подкольцами функционального поля.

комплекса

Каждому симплициальному комплексу соответствует кольцо граней, также называемое кольцом Стэнли–Рейснера . Это кольцо отражает многие комбинаторные свойства симплициального комплекса, поэтому оно представляет особый интерес в алгебраической комбинаторике . В частности, алгебраическая геометрия кольца Стэнли–Рейснера использовалась для характеристики количества граней в каждом измерении симплициальных многогранников .

Теоретико-категорное описание

См. Также: Категория колец.

Каждое кольцо можно рассматривать как моноид в Ab , категории абелевых групп (представляемой как моноидальная категория относительно тензорного произведения $\mathbb {Z}$-модули ). Моноидное действие кольца R на абелевой группе есть просто R -модуль . По сути, R -модуль является обобщением понятия векторного пространства , где вместо векторного пространства над полем имеется «векторное пространство над кольцом».

Пусть ( A , +) — абелева группа и End( A ) — ее кольцо эндоморфизмов (см. выше). Обратите внимание, что, по сути, End( A ) представляет собой набор всех морфизмов A , где если f находится в End( A ) , а g находится в End( A ) можно использовать следующие правила: , для вычисления f + g и f ⋅ г :

${\begin{aligned}&(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\&(f\cdot g)(x)=f(g(x)),\end{aligned}}$

где + как в f ( x ) + g ( x ) — сложение в A , а композиция функций обозначается справа налево. Следовательно, любой абелевой группе соответствует кольцо. И наоборот, любое кольцо ( R , +, ⋅ ) , ( R , +) является абелевой группой. Более того, для каждого r в R правое (или левое) умножение на r приводит к морфизму ( R , +) с помощью правой (или левой) дистрибутивности. Пусть А = ( R , +) . Рассмотрим те эндоморфизмы A , которые «проходят через» правое (или левое) умножение R . Другими словами, пусть End _R ( A ) будет множеством всех морфизмов m A , обладающих тем свойством, что m ( r ⋅ x ) = r ⋅ m ( x ) . Было замечено, что каждое r в R порождает морфизм A : умножение справа на r . Фактически верно, что эта ассоциация любого элемента R с морфизмом A как функция от R до End _R ( A ) является изоморфизмом колец. Поэтому в этом смысле любое кольцо можно рассматривать как кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой X- группы (под X -группой понимается группа, в которой X является множеством операторов ). По сути, наиболее общей формой кольца является группа эндоморфизмов некоторой абелевой X -группы.

Любое кольцо можно рассматривать как предаддитивную категорию с одним объектом. Поэтому естественно считать произвольные преаддитивные категории обобщениями колец. И действительно, многие определения и теоремы, первоначально данные для колец, можно перевести в этот более общий контекст. Аддитивные функторы между преаддитивными категориями обобщают понятие кольцевого гомоморфизма, а идеалы в аддитивных категориях могут быть определены как множества морфизмов, замкнутых относительно сложения и композиции с произвольными морфизмами.

Обобщение

Алгебраисты определили структуры, более общие, чем кольца, ослабив или опустив некоторые аксиомы колец.

Звонок

ГСГ — то же самое , что и кольцо, за исключением того, что существование мультипликативного тождества не предполагается.

Неассоциативное кольцо

— Неассоциативное кольцо это алгебраическая структура, которая удовлетворяет всем аксиомам кольца, за исключением ассоциативного свойства и существования мультипликативного тождества. Ярким примером является алгебра Ли . Для таких алгебр существует некоторая структурная теория, обобщающая аналогичные результаты для алгебр Ли и ассоциативных алгебр.

Толстеть

Полукольцо ( (иногда rig ) получается путем ослабления предположения о том, что ( R , +) — абелева группа, до предположения, что R , +) — коммутативный моноид, и добавления аксиомы, что 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 для всех a из R (поскольку это уже не следует из остальных аксиом).

Примеры:

• неотрицательные целые числа $\{0,1,2,\ldots \}$ с обычным сложением и умножением;
• тропическое полукольцо .

Другие кольцеобразные объекты

Кольцевой объект в категории

Пусть C — категория с конечными произведениями . Пусть pt обозначает объект C терминальный (пустой продукт). Кольцевой объект в C — это объект R, снабженный морфизмами $R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R$ (добавление), $R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R$ (умножение), $\operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R$ (аддитивное тождество), $R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R$ (аддитивный обратный) и $\operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R$ (мультипликативное тождество), удовлетворяющее обычным кольцевым аксиомам. Эквивалентно, кольцевой объект — это объект R, снабженный факторизацией своего функтора точек. $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$ по категории колец: $C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets} .$

Схема кольца

В алгебраической геометрии кольцевая схема над базовой схемой S — это кольцевой объект в категории S -схем. Одним из примеров является кольцевая схема W _n над $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$ коммутативного кольца A возвращает кольцо Wn _{, который для любого} ( A ) векторов p изотипических Витта длины n над A. -

Кольцевой спектр

В алгебраической топологии кольцевой спектр — это спектр X вместе с умножением $\mu :X\wedge X\to X$ и единичное отображение S → X из спектра сферы S такое, что кольцевые диаграммы аксиом коммутируют с точностью до гомотопии. На практике принято определять кольцевой спектр как моноидный объект в хорошей категории спектров, такой как категория симметричных спектров .

См. также

• Алгебра над коммутативным кольцом
• Категориальное кольцо
• Категория колец
• Глоссарий теории колец
• Неассоциативная алгебра
• Кольцо наборов
• Полукольцо
• Спектр кольца
• Симплициальное коммутативное кольцо

Специальные типы колец:

• Булево кольцо
• Дедекиндово кольцо
• Дифференциальное кольцо
• Экспоненциальное кольцо
• Конечное кольцо
• Кольцо лжи
• Местный звонок
• Нётеровы и артиновые кольца.
• Заказал кольцо
• Кольцо Пуассона
• Уменьшенное кольцо
• Обычное кольцо
• Кольцо периодов
• Кольцо ВОО
• Кольцо оценки и дискретное кольцо оценки

Ссылки

• Гарлинг, DJH (2022). Теория Галуа и ее алгебраическая основа (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-108-83892-4 .
• Кон, Харви (1980), Расширенная теория чисел , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-64023-5
• Серр, Дж.П. (1950), Алгебраические приложения когомологий групп, I, II, Семинар Анри Картана, 1950/51
• Серр (2006), Алгебры Ли и группы Ли (2-е изд.), Springer [исправленное 5-е издание]

Общие ссылки

• Артин, Майкл (2018). Алгебра (2-е изд.). Пирсон.
• Атья, Майкл ; Макдональд, Ян Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Аддисон-Уэсли.
• Бурбаки, Н. (1964). Коммутативная алгебра . Германн.
• Бурбаки, Н. (1989). Алгебра I, главы 1–3 . Спрингер.
• Кон, Пол Мориц (2003), Основная алгебра: группы, кольца и поля , Springer, ISBN  978-1-85233-587-8
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с прицелом на алгебраическую геометрию . Тексты для аспирантов по математике. Том. 150. Спрингер. МР   1322960 .
• Галлиан, Джозеф А. (2006). Современная абстрактная алгебра, шестое издание . Хоутон Миффлин. ISBN  9780618514717 .
• Гарднер, Дж.В.; Вигандт, Р. (2003). Радикальная теория колец . Чепмен и Холл / CRC Чистая и прикладная математика. ISBN  0824750330 .
• Херштейн, IN (1994) [перепечатка оригинала 1968 года]. Некоммутативные кольца . Карус Математические монографии. Том. 15. С послесловием Лэнса В. Смолла. Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-88385-015-Х .
• Хангерфорд, Томас В. (1997). Абстрактная алгебра: введение, второе издание . Брукс/Коул. ISBN  9780030105593 .
• Джейкобсон, Натан (1964). «Строение колец». Публикации коллоквиума Американского математического общества . 37 (Пересмотренная ред.).
• Джейкобсон, Натан (1943). «Теория колец». Математические обзоры Американского математического общества . Я. ​
• Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 1 (2-е изд.). Дувр. ISBN  978-0-486-47189-1 .
• Каплански, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренная редакция), University of Chicago Press , ISBN  0-226-42454-5 , МР   0345945
• Лам, Цит Юэн (1999). Лекции по модулям и кольцам . Тексты для аспирантов по математике. Том. 189. Спрингер. ISBN  0-387-98428-3 .
• Лам, Цит Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для аспирантов по математике. Том. 131 (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-95183-0 .
• Лам, Цит Юэн (2003). Упражнения по классической теории колец . Задачи по математике (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-00500-5 .
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001
• Ланг, Серж (2005), Бакалаврская алгебра (3-е изд.), Springer, ISBN  0-387-22025-9
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1967). Алгебра . АМС Челси.
• Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-36764-6 .
• Милн, Дж. (2012). «Букварь по коммутативной алгебре» . v2.23.
• Ротман, Джозеф (1998), Теория Галуа (2-е изд.), Springer, ISBN  0-387-98541-7
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1930), Современная алгебра. Часть I , Основные положения математических наук, т. 1, с. 33, Спрингер, ISBN  978-3-540-56799-8 , МР   0009016
• Уорнер, Сет (1965). Современная алгебра . Дувр. ISBN  9780486663418 .
• Уайлдер, Раймонд Луи (1965). Введение в основы математики . Уайли.
• Зариский, Оскар; Самуэль, Пьер (1958). Коммутативная алгебра . Том. 1. Ван Ностранд.

Специальные ссылки

• Бальцежик, Станислав; Юзефиак, Тадеуш (1989), Коммутативные нетеровы кольца и кольца Крулля , Математика и ее приложения , Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN  978-0-13-155615-7
• Бальцежик, Станислав; Юзефиак, Тадеуш (1989), Размерность, кратность и гомологические методы , Математика и ее приложения , Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN  978-0-13-155623-2
• Балье, Р. (1947). «Конечные кольца; гиперкомплексные системы третьего ранга на коммутативном поле». Энн. Соц. наук. Брюссель . Я (61): 222–227.
• Беррик, Эй Джей; Китинг, Мэн (2000). Введение в кольца и модули с учетом К-теории . Издательство Кембриджского университета.
• Кон, Пол Мориц (1995), Тела: Теория колец общего деления , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 57, Издательство Кембриджского университета, ISBN  9780521432177
• Гилмер, Р.; Мотт, Дж. (1973). «Ассоциативные кольца порядка» . Учеб. Япония Акад . 49 : 795–799. дои : 10.3792/pja/1195519146 .
• Харрис, JW; Стокер, Х. (1998). Справочник по математике и информатике . Спрингер.
• Айзекс, ИМ (1994). Алгебра: Высший курс . АМС . ISBN  978-0-8218-4799-2 .
• Джейкобсон, Натан (1945), «Теория структуры алгебраических алгебр ограниченной степени», Annals of Mathematics , 46 (4), Annals of Mathematics: 695–707, doi : 10.2307/1969205 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969205
• Кнут, DE (1998). Искусство компьютерного программирования . Том. 2: Получисловые алгоритмы (3-е изд.). Аддисон-Уэсли.
• Корн, Джорджия; Корн, ТМ (2000). Математический справочник для ученых и инженеров . Дувр. ISBN  9780486411477 .
• Милн, Дж. «Теория полей классов» .
• Нагата, Масаеши (1962) [перепечатка 1975 года], Локальные кольца , Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, том. 13, Издательство Interscience, ISBN  978-0-88275-228-0 , МР   0155856
• Пирс, Ричард С. (1982). Ассоциативные алгебры . Тексты для аспирантов по математике. Том. 88. Спрингер. ISBN  0-387-90693-2 .
• Пунен, Бьорн (2019), «Почему на всех кольцах должна быть 1» , Mathematics Magazine , 92 (1): 58–62, arXiv : 1404.0135 , JSTOR   48666015
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67, Спрингер
• Спрингер, Тонни А. (1977), Теория инвариантов , Конспект лекций по математике, том. 585, Спрингер, ISBN  9783540373704
• Вейбель, Чарльз А. (2013), K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию , Аспирантура по математике, том. 145, Американское математическое общество, ISBN.  9780821891322 (также онлайн )
• Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1975). Коммутативная алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 28–29. Спрингер. ISBN  0-387-90089-6 .

Первоисточники

• Френкель, А. (1915). «О делителях нуля и разложении колец». Дж. Рейн Анжью. Математика . 1915 (145): 139–176. дои : 10.1515/crll.1915.145.139 . S2CID   118962421 .
• Гильберт, Дэвид (1897). «Теория полей алгебраических чисел». Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 4 .
• Нётер, Эмми (1921). «Теория идеала в Рингберайхене» . Математика. Аннален . 83 (1–2): 24–66. дои : 10.1007/bf01464225 . S2CID   121594471 .

Исторические справки

• Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. (2004) Справочник по математике , 4-е изд. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг ISBN   3-540-43491-7 .
• История теории колец в архиве MacTutor
• Биркгоф, Гарретт ; Мак Лейн, Сондерс (1996), Обзор современной алгебры (5-е изд.), Нью-Йорк: Macmillan
• Фейт, Карл (1999) Кольца и вещи, а также прекрасный набор ассоциативной алгебры двадцатого века . Математические обзоры и монографии, 65. Американское математическое общество. ISBN   0-8218-0993-8 .
• Ито, К. редактор (1986) «Кольца». §368 в Энциклопедическом математическом словаре , 2-е изд., Том. 2. Кембридж, Массачусетс: MIT Press .
• Кляйнер, Израиль (1996). «Генезис абстрактной концепции кольца». Американский математический ежемесячник . 103 (5): 417–424. дои : 10.2307/2974935 . JSTOR   2974935 .
• Кляйнер, Израиль (февраль 1998 г.). «От чисел к кольцам: ранняя история теории колец» . Элементы математики . 53 (1): 18–35. дои : 10.1007/s000170050029 .
• ван дер Варден, Б.Л. (1985), История алгебры , Springer-Verlag