Комплексное умножение

Эта статья посвящена теме теории эллиптических кривых . Информацию об умножении комплексных чисел см. в разделе Комплексные числа .

В математике , комплексное умножение ( CM ) — это теория эллиптических кривых E которых кольцо эндоморфизмов больше целых чисел . Другими словами, он содержит теорию эллиптических функций с дополнительными симметриями, которые видны, когда решетка периодов представляет собой гауссову целочисленную решетку или Эйзенштейна целочисленную решетку .

Это имеет аспект, принадлежащий теории специальных функций , поскольку такие эллиптические функции или абелевы функции нескольких комплексных переменных являются тогда «очень специальными» функциями, удовлетворяющими дополнительным тождествам и принимающими явно вычислимые специальные значения в определенных точках. Она также оказалась центральной темой в теории алгебраических чисел некоторые особенности теории круговых полей , позволив перенести на более широкие области применения. Говорят, что Дэвид Гильберт заметил, что теория комплексного умножения эллиптических кривых была не только самой красивой частью математики, но и всей науки.

Существует также многомерная комплексная теория умножения абелевых многообразий A, имеющая достаточное количество эндоморфизмов в определенном точном смысле, грубо говоря, что действие на касательном пространстве в единичном элементе A является прямой суммой одномерных модулей .

Пример расширения мнимого квадратичного поля

Эллиптическая кривая над комплексными числами получается как фактор комплексной плоскости по решетке Λ, натянутой здесь на два фундаментальных периода ω ₁ и ω ₂ . Также показано четырехкручение, соответствующее решетке 1/4 Λ, содержащей Λ. Пример эллиптической кривой, соответствующей целым числам Гаусса, возникает, когда ω ₂ = i ω ₁ .

Рассмотрим мнимое квадратичное поле ${\textstyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {-d}}\right),\,d\in \mathbb {Z} ,d>0}$.Эллиптическая функция $f$ Говорят, что умножение имеет комплексное значение , если между ними существует алгебраическое соотношение. $f(z)$ и $f(\lambda z)$ для всех $\lambda$ в $K$.

И наоборот, Кронекер предположил – в так называемом Кронекеровском юношестве – что каждое абелево расширение $K$ может быть получено из уравнения (корней) подходящей эллиптической кривой с помощью комплексного умножения. По сей день это остается одним из немногих случаев двенадцатой проблемы Гильберта, который действительно был решен.

Пример эллиптической кривой с комплексным умножением:

$\mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])$

где Z [ i ] — гауссово целочисленное кольцо, а θ — любое ненулевое комплексное число. Любой такой комплексный тор имеет целые гауссовы числа в качестве кольца эндоморфизмов. Известно, что все соответствующие кривые можно записать в виде

$Y^{2}=4X^{3}-aX$

для некоторых $a\in \mathbb {C}$ четвертого порядка, , который явно имеет два сопряженных автоморфизма отправляющих

$Y\to \pm iY,\quad X\to -X$

в соответствии с действием i на эллиптические функции Вейерштрасса .

В более общем смысле, рассмотрим решетку Λ, аддитивную группу в комплексной плоскости, порожденную $\omega _{1},\omega _{2}$. Затем определим функцию Вейерштрасса переменной $z$ в $\mathbb {C}$ следующее:

$\wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\},$

и

$g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}$

$g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.$

Позволять $\wp '$ быть производной от $\wp$. Тогда мы получаем изоморфизм комплексных групп Ли:

$w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )$

из группы комплексного тора $\mathbb {C} /\Lambda$ к проективной эллиптической кривой, определенной в однородных координатах формулой

$E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2}-g_{3}z^{3}\right\}$

и где точка на бесконечности, нулевой элемент группового закона эллиптической кривой, по соглашению считается равной $(0:1:0)$. Если решетка, определяющая эллиптическую кривую, действительно сохраняется при умножении на (возможно, собственное подкольцо) кольцо целых чисел ${\mathfrak {o}}_{K}$ из $K$, то кольцо аналитических автоморфизмов $E=\mathbb {C} /\Lambda$ оказывается изоморфным этому (под)кольцу.

Если мы перепишем $\tau =\omega _{1}/\omega _{2}$ где $\operatorname {Im} \tau >0$ и $\Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{2}$, затем

$j(\tau )=j(E)=j(\Lambda )=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda )^{3}/\Delta (\Lambda )\ .$

Это означает, что j- инвариант $E$ – алгебраическое число , лежащее в $K$ - если $E$ имеет сложное умножение.

эндоморфизмов

Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой может иметь один из трех видов: целые числа Z ; порядок ; в поле квадратичных чисел мнимом или порядок в определенной алгебре кватернионов над Q .

Когда поле определения является конечным полем , всегда существуют нетривиальные эндоморфизмы эллиптической кривой, исходящие из отображения Фробениуса , поэтому каждая такая кривая имеет комплексное умножение (и эта терминология применяется не часто). Но если базовым полем является числовое поле, комплексное умножение является исключением. Известно, что в общем смысле труднее всего разрешить гипотезу Ходжа случай комплексного умножения .

Кронекер

Кронекер первым постулировал, что значений эллиптических функций в точках кручения должно быть достаточно, чтобы генерировать все абелевы расширения для мнимых квадратичных полей, идея, которая в некоторых случаях восходит к Эйзенштейну и даже к Гауссу . Это стало известно как Кронекер Югендтраум ; и именно это, безусловно, послужило причиной приведенного выше замечания Гильберта, поскольку оно делает теорию полей классов явной так же, как корни единицы делают это для абелевых расширений поля рациональных чисел , посредством закона взаимности Шимуры .

Действительно, пусть K — мнимое квадратичное поле с полем классов H . Пусть E — эллиптическая кривая с комплексным умножением на целые числа , определенная над H. K Тогда максимальное абелево расширение K E порождается x -координатами точек конечного порядка некоторой модели Вейерштрасса для над H .

Идеи Кронекера искали множество обобщений; однако они несколько косвенно соответствуют основной направленности философии Ленглендса , и в настоящее время не существует какого-либо окончательного утверждения.

Пример последствия

Это не случайно, что

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.99999999999925007\dots \,$

или эквивалентно,

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.99999999999925007\dots \,$

так близко к целому числу. Этот замечательный факт объясняется теорией комплексного умножения вместе с некоторыми знаниями модулярных форм и тем фактом, что

$\mathbf {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]$

является уникальной областью факторизации .

Здесь $(1+{\sqrt {-163}})/2$ удовлетворяет α ² знак равно α - 41 . В общем, S [ α ] обозначает набор всех полиномиальных выражений от α с коэффициентами из S , которое является наименьшим кольцом, α и S. содержащим Поскольку α удовлетворяет этому квадратному уравнению, требуемые полиномы могут быть ограничены до первой степени.

Альтернативно,

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.99999999999925007\dots \,$

внутренняя структура обусловлена ​​некоторыми рядами Эйзенштейна и аналогичными простыми выражениями для других чисел Хегнера .

Сингулярные модули

Точки верхней полуплоскости τ , соответствующие отношениям периодов эллиптических кривых над комплексными числами с комплексным умножением, являются в точности мнимыми квадратичными числами. Соответствующие модульные инварианты j ( τ ) представляют собой сингулярные модули , происходящие из старой терминологии, в которой «сингулярный» относился к свойству наличия нетривиальных эндоморфизмов, а не к сингулярной кривой .

Модульная функция j ( τ ) является алгебраической на мнимых квадратичных числах τ : это единственные алгебраические числа в верхней полуплоскости, для которых j является алгебраическим.

Если Λ — решетка с периодом τ, ) будем писать j то вместо j ( τ (Λ) . Если далее Λ — идеал a в кольце целых чисел O _K квадратичного мнимого поля K, ) будем обозначать то через j ( a соответствующий сингулярный модуль. Значения j ( a ) тогда являются действительными алгебраическими целыми числами и генерируют поле класса Гильберта H поля K : степень расширения поля [ H : K ] = h — это номер класса K , а H / K — это расширение Галуа с Галуа. группа изоморфная группе идеальных классов K , . Группа классов действует на значения j ( a ) посредством [ b ]: j ( a ) → j ( ab ).

В частности, если K имеет класс номер один, то j ( a ) = j ( O ) — целое рациональное число: например, j ( Z [i]) = j (i) = 1728.

См. также

• Алгебраический персонаж хеджа
• точка Хегнера
• Двенадцатая проблема Гильберта
• Формальная группа Любина–Тейта , локальные поля
• Штука Дринфельда , поля глобальной функции случай
• Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма

Ссылки

• Борель, А.; Чола, С.; Герц, CS; Ивасава, К.; Серр, Ж.-П. Семинар по комплексному умножению . Семинар проходил в Институте перспективных исследований, Принстон, Нью-Джерси, 1957–58. Конспекты лекций по математике, № 21 Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1966 г.
• Хусмеллер, Дейл Х. (1987). Эллиптические кривые . Тексты для аспирантов по математике. Том. 111. С приложением Рут Лоуренс. Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-96371-5 . Збл   0605.14032 .
• Ланг, Серж (1983). Комплексное умножение . Фундаментальные принципы математических наук. Том 255. Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-90786-6 . Збл   0536.14029 .
• Серр, Ж.-П. (1967). «XIII. Комплексное умножение». в Касселсе, JWS ; Фрелих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. стр. 292–296.
• Шимура, Горо (1971). Введение в арифметическую теорию автоморфных функций . Публикации Математического общества Японии. Том. 11. Токио: Иванами Сётэн. Збл   0221.10029 .
• Шимура, Горо (1998). Абелевы многообразия со сложным умножением и модулярными функциями . Принстонская математическая серия. Том. 46. ​​Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-01656-9 . Збл   0908.11023 .
• Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике . Том. 106. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-96203-4 . Збл   0585.14026 .
• Сильверман, Джозеф Х. (2009). Арифметика эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике. Том. 106 (2-е изд.). Спрингер Наука . дои : 10.1007/978-0-387-09494-6 . ISBN  978-0-387-09493-9 .
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные темы по арифметике эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике . Том. 151. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-94328-5 . Збл   0911.14015 .

Внешние ссылки

• Комплексное умножение с сайта PlanetMath.org.
• Примеры эллиптических кривых со сложным умножением с сайта PlanetMath.org.
• Рибет, Кеннет А. (октябрь 1995 г.). «Представления Галуа и модульные формы». Бюллетень Американского математического общества . 32 (4): 375–402. arXiv : математика/9503219 . CiteSeerX   10.1.1.125.6114 . дои : 10.1090/s0273-0979-1995-00616-6 . S2CID   16786407 .