Двенадцатая проблема Гильберта
Речь идет о моей любимой детской мечте, а именно о доказательстве того, что абелевы уравнения с квадратными корнями из рациональных чисел исчерпываются уравнениями преобразования эллиптических функций с сингулярными модулями так же, как целочисленные абелевы уравнения исчерпываются уравнениями деления круга.
Кронекер в письме Дедекинду в 1880 году, воспроизведенном в V томе его собрания сочинений, стр. 455.
Двенадцатая проблема Гильберта — это распространение теоремы Кронекера-Вебера об абелевых расширениях рациональных чисел на любое поле базовых чисел . Это одна из 23 математических задач Гильберта , требующая аналогов корней из единицы , которые порождают целое семейство дополнительных числовых полей, аналогично круговым полям и их подполям. Леопольд Кронекер описал сложную проблему умножения как свою Liebster Jugendtraum , или «самую заветную мечту своей юности», поэтому эта проблема также известна как Jugendtraum Кронекера .
Классическая теория комплексного умножения , теперь часто известная как « Югендтраум Кронекера» , делает это для случая любого мнимого квадратичного поля , используя модулярные функции и эллиптические функции, выбранные с определенной решеткой периодов, связанной с рассматриваемым полем. Горо Шимура распространил это на поля CM . В частном случае вполне вещественных полей Самит Дасгупта и Махеш Какде предоставили конструкцию максимального абелева расширения вполне вещественных полей, используя гипотезу Брумера – Старка .
Общий случай двенадцатой проблемы Гильберта остается открытым.
Описание проблемы [ править ]
Основная проблема теории алгебраических чисел — описание полей алгебраических чисел . Работы Галуа ясно показали, что расширения полей контролируются определенными группами — группами Галуа . Самая простая ситуация, которая уже находится на границе хорошо понятного, — это когда рассматриваемая группа абелева . Все квадратичные расширения, полученные присоединением корней квадратичного многочлена, абелевы, и их изучение было начато Гауссом . Другой тип абелева расширения поля Q рациональных чисел дается путем присоединения корней n- й степени из единицы, что приводит к круговым полям . Уже Гаусс показал, что на самом деле каждое квадратичное поле содержится в большем круговом поле. Теорема Кронекера -Вебера показывает, что любое конечное абелево расширение Q содержится в круговом поле. Вопрос Кронекера (и Гильберта) касается ситуации с более общим полем алгебраических чисел K : какие алгебраические числа необходимы для построения всех абелевых расширений поля K? К ? Полный ответ на этот вопрос был полностью выработан лишь в случае, когда К — мнимое квадратичное поле или его обобщение — СМ-поле .
Первоначальная формулировка Гильбертом его 12-й проблемы довольно вводит в заблуждение: кажется, он подразумевает, что абелевы расширения мнимых квадратичных полей порождаются специальными значениями эллиптических модулярных функций, что неверно. (Трудно сказать точно, что говорил Гильберт, одна проблема заключается в том, что он, возможно, использовал термин «эллиптическая функция» для обозначения как эллиптической функции ℘, так и эллиптической модулярной функции j .)Во-первых, также необходимо использовать корни из единицы, хотя Гильберт, возможно, подразумевал их включение. Более серьезно, хотя значения эллиптических модулярных функций порождают поле класса Гильберта , для более общих абелевых расширений также необходимо использовать значения эллиптических функций. Например, абелевое расширение не порождается сингулярными модулями и корнями из единицы.
![{\displaystyle \mathbf {Q} (я, {\sqrt[{4}]{1+2i}})/\mathbf {Q} (i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eeb29c282fb30147ba140ab3ce6e8ebbd7218aa)
Один особенно привлекательный способ сформулировать теорему Кронекера-Вебера состоит в том, чтобы сказать, что максимальное абелево расширение Q может быть получено путем присоединения специальных значений exp(2 π i / n ) экспоненциальной функции . Точно так же теория комплексного умножения показывает, что максимальное абелево расширение Q ( τ ), где τ — мнимая квадратичная иррациональность, может быть получено путем присоединения специальных значений ℘( τ , z ) и j ( τ ) модулярных функций j и эллиптические функции ℘, а также корни из единицы, где τ находится в мнимом квадратичном поле, а z представляет собой точку кручения на соответствующей эллиптической кривой. Одна из интерпретаций двенадцатой проблемы Гильберта требует предоставить подходящий аналог экспоненциальных, эллиптических или модулярных функций, специальные значения которых порождали бы максимальное абелево расширение K. аб общего числового поля K . В таком виде она остается нерешенной. Описание поля К аб было получено в теории полей классов , развитой Гильбертом сам, Эмиль Артин и другие в первой половине 20 века. [примечание 1] Однако строительство К. аб в теории полей классов предполагает сначала построение более крупных неабелевых расширений с использованием теории Куммера , а затем сокращение до абелевых расширений, что на самом деле не решает проблему Гильберта, которая требует более прямого построения абелевых расширений.
Современные разработки [ править ]
События, произошедшие примерно с 1960 года, безусловно, внесли свой вклад. До этого Гекке ( 1912 ) в своей диссертации использовал гильбертовы модулярные формы для изучения абелевых расширений вещественных квадратичных полей . Комплексное размножение абелевых разновидностей было областью, открытой работами Шимуры и Таниямы . Это приводит к абелевым расширениям СМ-полей вообще. Вопрос о том, какие расширения могут быть найдены, — это вопрос о модулях Тейта таких многообразий, как представления Галуа . Поскольку это наиболее доступный случай ℓ-адических когомологий , эти представления подробно изучены.
Роберт Ленглендс утверждал в 1973 году, что современная версия Jugendtraum должна иметь дело с дзета-функциями Хассе-Вейля разновидностей Шимуры . Хотя он предвидел грандиозную программу , которая продвинет эту тему гораздо дальше, более тридцати лет спустя остаются серьезные сомнения относительно ее значения для вопроса, который задал Гильберт.
Отдельным развитием стала гипотеза Штарка (в абелевом случае первого ранга), которая, напротив, касалась непосредственно вопроса о нахождении конкретных единиц, порождающих абелевы расширения числовых полей и описывающих старшие коэффициенты Артина L -функций . В 2021 году Дасгупта и Какде объявили о p -адическом решении задачи поиска максимального абелева расширения полностью вещественных полей, доказав интегральную гипотезу Гросса – Штарка для единиц Брумера – Штарка. [1] [2]
Примечания [ править ]
- ^ В частности, Тейджи Такаги доказал существование абсолютного абелева расширения как известную теорему существования Такаги .
Ссылки [ править ]
Сноски [ править ]
- ^ Дасгупта, Самит; Какде, Махеш (3 марта 2021 г.). «Единицы Брюмера-Старка и 12-я проблема Гильберта». arXiv : 2103.02516 [ math.NT ].
- ^ Хьюстон-Эдвардс, Келси (25 мая 2021 г.). «Математики находят долгожданные строительные блоки для специальных полиномов» . Журнал Кванта . Проверено 28 мая 2021 г.
Источники [ править ]
- Ленглендс, Р.П. (1976). «Некоторые современные проблемы происхождения молодежи». В Браудер, Феликс Э. (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта (PDF) . Учеб. Симпозиумы. Чистая математика. Том. 28. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 401–418. ISBN 0-8218-1428-1 . Збл 0345.14006 .
- Шаппахер, Норберт (1998). «К истории двенадцатой проблемы Гильберта: комедия ошибок». Материалы по истории математики ХХ века. и века (Ницца, 1996) . Семин. Конг. Полет. 3. Париж: Математическое общество Франции . стр. 243–273. ISBN 978-2-85629-065-1 . МР 1640262 . Збл 1044.01530 .
- Влудуц, С.Г. (1991). Югендтраум Кронекера и модульные функции . Исследования развития современной математики. Том. 2. Нью-Йорк: Издательство Гордон и Брич Сайенс. ISBN 2-88124-754-7 . Збл 0731.11001 .