Формальный групповой закон Любина – Тейта

В математике формальный групповой закон Любина-Тейта — это формальный групповой закон, введенный Любиным и Тейтом ( 1965 ) для выделения локальной полевой части классической теории комплексного умножения эллиптических функций . В частности, его можно использовать для построения полностью разветвленных абелевых расширений локального поля. Он делает это, рассматривая (формальные) эндоморфизмы формальной группы, имитируя способ, которым эллиптические кривые с дополнительными эндоморфизмами используются для получения абелевых расширений глобальных полей .

Определение формальных групп

Пусть Z _p — кольцо целых p -адических чисел. — Формальный групповой закон Любина–Тейта это уникальный (1-мерный) формальный групповой закон F такой, что e ( x ) = px + x ^п является эндоморфизмом F , другими словами

e(F(x,y))=F(e(x),e(y)).\

В более общем смысле, в качестве e можно выбрать любой степенной ряд, такой, что

e ( x ) = px + члены более высокой степени и

е ( Икс ) знак равно Икс ^п против п .

Все такие групповые законы для различного выбора e, удовлетворяющего этим условиям, строго изоморфны. ^{[ 1 ]} Мы выбираем эти условия так, чтобы гарантировать, что они сводят по модулю максимальный идеал к Фробениусу, а производная в начале координат является простым элементом .

Для каждого элемента a в Z _p существует уникальный эндоморфизм f формального группового закона Любина – Тейта такой, что f ( x ) = ax + члены более высокой степени. Это дает действие кольца Z _p на формальный групповой закон Любина–Тейта.

Существует аналогичная конструкция с заменой Z _p любым полным кольцом дискретного нормирования с конечным полем класса вычетов , где показатель p заменяется порядком поля вычетов, а коэффициент p заменяется выбором униформизатора . ^{[ 2 ]}

Пример

Мы наметим здесь формальный групповой эквивалент элемента Фробениуса , который имеет большое значение в теории полей классов : ^{[ 3 ]} генерация максимального неразветвленного расширения как образа отображения взаимности.

Для этого примера нам понадобится понятие эндоморфизма формальных групп, который представляет собой гомоморфизм формальных групп f , где областью определения является кодомен. Гомоморфизм формальной группы формальной группы F в формальную группу G представляет собой степенной ряд над тем же кольцом, что и формальные группы, который имеет нулевой постоянный член и таков, что:

f(F(X,Y))=G(f(X),f(Y))

Рассмотрим формальную группу F(X,Y) с коэффициентами в кольце целых чисел в локальном поле (например, ) _Zp . Принимая X и Y за единый максимальный идеал, мы получаем сходящийся степенной ряд, и в этом случае мы определяем F(X,Y) = X + _F Y , и мы получаем настоящий групповой закон. Например, если F(X,Y)=X+Y , то это обычное сложение. Это изоморфно случаю F(X,Y)=X+Y+XY , где мы имеем умножение множества элементов, которое можно записать как 1, добавленную к элементу простого идеала. В последнем случае f(S) = ( 1 + S ) ^п-1 является эндоморфизмом F, и этот изоморфизм отождествляет f с элементом Фробениуса.

Генерация разветвленных расширений

Теория Любина-Тейта важна в явной локальной теории полей классов . Неразветвленную часть любого абелева расширения легко построить, Любин-Тейт находит ценность в создании разветвленной части. Это работает путем определения семейства модулей (индексированных натуральными числами) над кольцом целых чисел, состоящим из того, что можно рассматривать как корни степенного ряда, многократно составленного с самим собой. Композит всех полей, образованный присоединением таких модулей к исходному полю, дает разветвленную часть.

Расширение Любина –Тейта локального поля K — это абелево расширение поля K, полученное путем рассмотрения p -точек деления группы Любина–Тейта. Если g — полином Эйзенштейна , f ( t ) = t g ( t ) и F — формальная группа Любина–Тейта, пусть θ _n обозначает корень gf ^{п -1}( т )= грамм ( ж ( ж (⋯( ж ( т ))⋯))). Тогда K (θn ₎ является абелевым расширением K с группой Галуа, изоморфной U /1+ p ^н где U — единичная группа кольца целых чисел K , а p — максимальный идеал. ^{[ 2 ]}

Связь со стабильной теорией гомотопий

Любин и Тейт изучали теорию деформации таких формальных групп. Более позднее применение теории было в области стабильной теории гомотопий с построением особой теории необыкновенных когомологий, связанной с конструкцией для данного простого числа p . Как часть общего механизма формальных групп, теория когомологий со спектром создана для формальной группы Любина – Тейта, которая также известна под названиями E-теории Моравы или завершенной теории Джонсона – Вильсона . ^{[ 4 ]}

Ссылки

Примечания

^ Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). п. 168. ИСБН 978-3-540-20364-3 . ISSN 0938-0396 . Збл 1079.11002 .
^ Jump up to: ^а ^б Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. наук. Том. 62 (2-е издание 1-го изд.). Спрингер-Верлаг . стр. 62–63. ISBN 3-540-63003-1 . Збл 0819.11044 .
^ например, Серр (1967). Хазевинкель, Мишель (1975). «Теория полей локальных классов — это просто» . Достижения в математике . 18 (2): 148–181. дои : 10.1016/0001-8708(75)90156-5 . Збл 0312.12022 .
^ «Е-теория Моравы и K-теория Моравы (лекция 22)» (PDF) . Джейкоб Лурье . 27 апреля 2010 года . Проверено 27 сентября 2020 г.

Источники

де Шалит, Эхуд (1987), теория Ивасавы эллиптических кривых с комплексным умножением. p-адические L-функции , Перспективы математики, вып. 3, Академическое издательство, ISBN 0-12-210255-Х , Збл 0674.12004
Ивасава, Кенкичи (1986), Теория поля локальных классов , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2 , МР 0863740 , Збл 0604.12014
Любин, Джонатан ; Тейт, Джон (1965), «Формальное комплексное умножение в локальных полях», Annals of Mathematics , Second Series, 81 (2): 380–387, doi : 10.2307/1970622 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970622 , MR 0172878 , Zbl 0128.26501
Любин, Джонатан ; Тейт, Джон (1966), «Формальные модули для однопараметрических формальных групп Ли», Bulletin de la Société Mathématique de France , 94 : 49–59, doi : 10.24033/bsmf.1633 , ISSN 0037-9484 , MR 0238854 , Zbl 0156.04105
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . МР 1697859 . Збл 0956.11021 .
Серр, Жан-Пьер (1967), «Теория полей локальных классов», в Касселсе, JWS ; Фрелих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел (Труды учебной конференции, Брайтон, 1965) , Academic Press, стр. 128–161, MR 0220701 , Zbl 0153.07403

Внешние ссылки

Лурье, Дж. (2010), теория Любина – Тейта (PDF)

[1] Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). п. 168. ИСБН 978-3-540-20364-3 . ISSN 0938-0396 . Збл 1079.11002 .

[K6263-2] Jump up to: ^а ^б Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. наук. Том. 62 (2-е издание 1-го изд.). Спрингер-Верлаг . стр. 62–63. ISBN 3-540-63003-1 . Збл 0819.11044 .

[3] например, Серр (1967). Хазевинкель, Мишель (1975). «Теория полей локальных классов — это просто» . Достижения в математике . 18 (2): 148–181. дои : 10.1016/0001-8708(75)90156-5 . Збл 0312.12022 .

[4] «Е-теория Моравы и K-теория Моравы (лекция 22)» (PDF) . Джейкоб Лурье . 27 апреля 2010 года . Проверено 27 сентября 2020 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]