Заказал кольцо

Действительные числа представляют собой упорядоченное кольцо, которое также является упорядоченным полем . , Целые числа подмножество действительных чисел, представляют собой упорядоченное кольцо, которое не является упорядоченным полем.

В абстрактной алгебре упорядоченное кольцо — это (обычно коммутативное ) кольцо R с общим порядком ≤ такое, что для всех a , b и c в R :

• если a ≤ b, то a + c ≤ b + c .
• если 0 ≤ a и 0 ≤ b , то 0 ≤ ab .

Примеры

Упорядоченные кольца известны из арифметики . Примеры включают целые , рациональные и действительные числа . (Рациональные и действительные числа на самом деле образуют упорядоченные поля .) Комплексные числа нет внутреннего отношения порядка , напротив, не образуют упорядоченное кольцо или поле, поскольку между элементами 1 и i .

Положительные элементы

По аналогии с действительными числами элемент c упорядоченного кольца R назовем положительным, если 0 < c , и отрицательным, если c < 0. 0 не считается ни положительным, ни отрицательным.

Множество положительных элементов упорядоченного кольца R часто обозначается R ₊ . Альтернативное обозначение, предпочитаемое в некоторых дисциплинах, — использовать R ₊ для множества неотрицательных элементов и R ₊₊ для множества положительных элементов.

Абсолютное значение

Если $a$ является элементом упорядоченного кольца R , модуль то $a$, обозначенный $|a|$, определяется следующим образом:

$|a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{otherwise}},\end{cases}}$

где $-a$ является аддитивной обратной величиной $a$ и 0 — аддитивный единичный элемент .

Дискретные упорядоченные кольца

Дискретное упорядоченное кольцо или дискретно упорядоченное кольцо — это упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа являются дискретным упорядоченным кольцом, а рациональные числа — нет.

Основные свойства

Для всех a , b и c в R :

• Если a ≤ b и 0 ≤ c , то ac ≤ bc . Это свойство иногда используется для определения упорядоченных колец вместо второго свойства в определении выше.
• | аб | = | а | | б |.
• Упорядоченное кольцо, не являющееся тривиальным, бесконечно.
• Верно ровно одно из следующих утверждений: a положительное, − a положительное или a = 0. Это свойство следует из того, что упорядоченные кольца являются абелевыми , линейно упорядоченными группами относительно сложения.
• В упорядоченном кольце ни один отрицательный элемент не является квадратом: Во-первых, 0 — квадрат. Теперь, если a ≠ 0 и a = b ² тогда b ≠ 0 и a = (− b ) ² ; поскольку либо b, либо − b положительны, a должно быть неотрицательным.

См. также

• Упорядоченное поле – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
• Упорядоченная группа — группа с совместимым частичным порядком. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
• Частично упорядоченное кольцо - Кольцо с совместимым частичным порядком.
• Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.
• Пространство Рисса - частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки, также называемое векторной решеткой.
• Заказал полукольца

Примечания

В приведенный ниже список включены ссылки на теоремы, формально проверенные проектом IsarMathLib .