Дифференциальный оператор

Гармоническая функция, определенная на кольце . Гармонические функции — это именно те функции, которые лежат в ядре оператора Лапласа , важного дифференциального оператора.

В математике — дифференциальный оператор это оператор , определяемый как функция оператора дифференцирования . В качестве обозначения полезно сначала рассматривать дифференцирование как абстрактную операцию, которая принимает функцию и возвращает другую функцию (в стиле функции высшего порядка в информатике ).

В данной статье рассматриваются в основном линейные дифференциальные операторы, которые являются наиболее распространенным типом. Однако существуют и нелинейные дифференциальные операторы, такие как производная Шварца .

Определение

Учитывая неотрицательное целое число m , порядок- $m$ линейный дифференциальный оператор — это отображение $P$ из функционального пространства ${\mathcal {F}}_{1}$ в другое функциональное пространство ${\mathcal {F}}_{2}$ это можно записать как:

$$P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,$$

где $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ является мультииндексом неотрицательных целых чисел , $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$, и для каждого $\alpha$, $a_{\alpha }(x)$— функция в некоторой открытой области n -мерного пространства. Оператор $D^{\alpha }$ интерпретируется как

$$D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

Таким образом, для функции $f\in {\mathcal {F}}_{1}$:

$$Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

Обозначения $D^{\alpha }$ оправдано (т. е. не зависит от порядка дифференцирования) из-за симметрии вторых производных .

Полином p , полученный заменой D на переменные $\xi$в P называется символом полным P ; т. е. общий символ P выше:

$$p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$$

где $\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.$ Высший однородный компонент символа, а именно,

$\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$

называется главным символом P . Хотя общий символ не определен внутренне, главный символ определен внутренне (т. е. он является функцией на кокасательном расслоении).

В более общем смысле, пусть E и F — векторные расслоения над многообразием X . Тогда линейный оператор

$P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$

является дифференциальным оператором порядка $k$ если в локальных координатах на X имеем

$Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{lower-order terms}}$

где для каждого мультииндекса α $P^{\alpha }(x):E\to F$ — отображение расслоения , симметричное по индексам α.

К ​ ^й коэффициенты порядка P преобразуются как симметричный тензор

$\sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F$

является тензорным произведением k область определения которой ^й симметричная степень кокасательного расслоения X E с , кодомерной областью которого является F . известен как главный символ (или просто символ ) P. Этот симметричный тензор

Система координат x ^я допускает локальную тривиализацию кокасательного расслоения координатными дифференциалами d x ^я , определяющие координаты волокон ξ _i . В терминах базиса шкал e _µ , f _ν систем E и F соответственно дифференциальный оператор P разлагается на компоненты

$(Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }$

на каждом u E участке . Здесь P _νμ — скалярный дифференциальный оператор, определяемый формулой

$P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.$

Благодаря этой тривиализации главный символ теперь можно записать

$(\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }.$

В кокасательном пространстве над фиксированной точкой x из X символ $\sigma _{P}$ определяет однородный полином степени k в $T_{x}^{*}X$ со значениями в $\operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})$.

Фурье

Дифференциальный оператор P и его символ естественным образом появляются в связи с преобразованием Фурье следующим образом. Пусть ƒ — функция Шварца . Тогда с помощью обратного преобразования Фурье

$Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .$

Это демонстрирует P как множитель Фурье . Более общий класс функций p ( x ,ξ), которые удовлетворяют не более чем условиям полиномиального роста по ξ, при которых этот интеграл ведет себя хорошо, включает псевдодифференциальные операторы .

Примеры

• Дифференциальный оператор $P$эллиптичен , если его символ обратим; это для каждого ненулевого значения $\theta \in T^{*}X$ карта пакета $\sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )$является обратимым. На компактном многообразии из эллиптической теории следует, что P — оператор Фредгольма : он имеет конечномерное ядро ​​и коядро.
• При изучении гиперболических и параболических уравнений в частных производных нули главного символа соответствуют характеристикам уравнения в частных производных.
• В приложениях к физике такие операторы, как оператор Лапласа, играют важную роль в составлении и решении уравнений в частных производных .
• В дифференциальной топологии операторы внешней производной и производной Ли имеют внутренний смысл.
• В абстрактной алгебре концепция вывода допускает обобщения дифференциальных операторов, которые не требуют использования исчисления. Часто такие обобщения применяются в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре . См. также Джет (математика) .
• При разработке голоморфных функций комплексной переменной z = x + i   y иногда комплексную функцию рассматривают как функцию двух действительных переменных x и y . Используются производные Виртингера , которые являются операторами в частных производных:
  $${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .$$
  Этот подход также используется для изучения функций нескольких комплексных переменных и функций двигательной переменной .
• Дифференциальный оператор del , также называемый набла , является важным векторным дифференциальным оператором. Оно часто появляется в физике в таких местах, как дифференциальная форма уравнений Максвелла . В трехмерных декартовых координатах del определяется как

$$\nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.$$

Del определяет градиент и используется для расчета изгиба , дивергенции и лапласиана различных объектов.

История

Концептуальный шаг по написанию дифференциального оператора как чего-то отдельного приписывается Луи Франсуа Антуану Арбогасту в 1800 году.

Обозначения

Наиболее распространенным дифференциальным оператором является действие взятия производной . Общие обозначения для получения первой производной по переменной x включают:

${d \over dx}$, $D$, $D_{x},$ и $\partial _{x}$.

При выборе производных более высокого порядка n оператор можно записать:

${d^{n} \over dx^{n}}$, $D^{n}$, $D_{x}^{n}$, или $\partial _{x}^{n}$.

Производная функции f аргумента x иногда выражается одним из следующих значений:

$[f(x)]'$

$f'(x).$

Использование и создание нотации D приписывается Оливеру Хевисайду , который рассматривал дифференциальные операторы формы

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$

в своем исследовании дифференциальных уравнений .

Одним из наиболее часто встречающихся дифференциальных операторов является оператор Лапласа , определяемый формулой

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.$

Другой дифференциальный оператор — это оператор Θ или тета-оператор , определяемый формулой

$\Theta =z{d \over dz}.$

Иногда его также называют оператором однородности , поскольку его собственные функции являются мономами от z :

$$\Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots$$

В n переменных оператор однородности имеет вид

$$\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.$$

Как и в случае с одной переменной, собственные пространства Θ являются пространствами однородных функций . ( Теорема Эйлера об однородной функции )

В письменной форме, следуя общепринятому математическому соглашению, аргумент дифференциального оператора обычно помещается справа от самого оператора. Иногда используют альтернативные обозначения: результат применения оператора к функции в левой части оператора и в правой части оператора, а также разность, полученная при применении дифференциального оператора к функциям в обеих частях, обозначаются стрелками следующим образом:

$f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f$

$f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g$

$f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.$

Такое обозначение двунаправленной стрелкой часто используется для описания вероятностного потока квантовой механики.

Сопряженный с оператором

Смотрите также: эрмитово сопряженное

Дан линейный дифференциальный оператор $T$

$$Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$$

сопряженный к этому оператору определяется как оператор $T^{*}$ такой, что

$$\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle$$

где обозначение $\langle \cdot ,\cdot \rangle$используется для скалярного произведения или внутреннего продукта . Таким образом, это определение зависит от определения скалярного произведения (или внутреннего продукта).

Формальное сопряжение в одной переменной

В функциональном пространстве суммируемых с квадратом функций на вещественном интервале ( a , b ) скалярное произведение определяется формулой

$$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,$$

где линия над f ( x ) обозначает комплексно-сопряженное число f ( x ) . Если, кроме того, добавить условие, что f или g обращается в нуль как $x\to a$ и $x\to b$, можно также определить сопряженное к T выражение

$$T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].$$

Эта формула не зависит явно от определения скалярного произведения. Поэтому его иногда выбирают в качестве определения сопряженного оператора. Когда $T^{*}$ определяется по этой формуле, он называется сопряженным T формальным .

(Формально) самосопряженный оператор — это оператор, равный своему (формальному) сопряженному.

Несколько переменных

Если Ω — область в R ^н , а P — дифференциальный оператор на Ω, то сопряженный оператор P определен в L ² (Ω) по двойственности аналогичным образом:

$\langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}$

для всех гладких L ² функции f , g . Поскольку гладкие функции плотны в L ² , это определяет сопряженное на плотном подмножестве L ² : П ^* является плотно определенным оператором .

Пример

Оператор Штурма –Лиувилля является хорошо известным примером формального самосопряженного оператора. Этот линейный дифференциальный оператор второго порядка L можно записать в виде

$Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.$

Это свойство можно доказать, используя приведенное выше формальное сопряженное определение.

Этот оператор занимает центральное место в теории Штурма–Лиувилля , где собственные функции (аналоги собственных векторов рассматриваются ) этого оператора.

Свойства дифференциальных операторов

Дифференцирование линейное , т.е.

$D(f+g)=(Df)+(Dg),$

$D(af)=a(Df),$

где f и g — функции, а a — константа.

Любой многочлен из D с функциональными коэффициентами также является дифференциальным оператором. Мы также можем составить дифференциальные операторы по правилу

$(D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).$

Тогда требуется некоторая осторожность: во-первых, любые функциональные коэффициенты в операторе D ₂ должны быть дифференцируемы столько раз, сколько требует применение D ₁ . Чтобы получить кольцо таких операторов, необходимо принять производные всех порядков используемых коэффициентов. Во-вторых, это кольцо не будет коммутативным : оператор gD в общем случае не то же самое, что Dg . Например, у нас есть основное соотношение в квантовой механике :

$Dx-xD=1.$

Подкольцо операторов, являющихся полиномами от D с постоянными коэффициентами , напротив, коммутативно. Его можно охарактеризовать иначе: он состоит из трансляционно-инвариантных операторов.

Дифференциальные операторы также подчиняются теореме о сдвиге .

Кольцо

Кольцо одномерных

Основная статья: алгебра Вейля

Если R — кольцо, то пусть $R\langle D,X\rangle$ — кольцо некоммутативных многочленов над R от переменных D и X , а I — двусторонний идеал , порожденный DX − XD − 1. Тогда кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов над R является фактор-кольцом $R\langle D,X\rangle /I$. Это некоммутативное простое кольцо . Каждый элемент можно уникальным образом записать как R -линейную комбинацию мономов вида $X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I$. Он поддерживает аналог евклидова деления полиномов .

Дифференциальные модули над $R[X]$ (для стандартного вывода) можно идентифицировать с модулями над $R\langle D,X\rangle /I$.

Кольцо многомерных

Если R — кольцо, то пусть $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle$ — кольцо некоммутативных многочленов над R от переменных $D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}$, а I — двусторонний идеал, порожденный элементами

$(D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}$

для всех $1\leq i,j\leq n,$ где $\delta$это дельта Кронекера . Тогда кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов над R является фактор-кольцом $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I$.

Это некоммутативное простое кольцо . Каждый элемент можно уникальным образом записать как R -линейную комбинацию мономов вида $X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}$.

Координатно-независимое описание

В дифференциальной и алгебраической геометрии часто бывает удобно иметь независимое от координат описание дифференциальных операторов между двумя векторными расслоениями . Пусть E и F — два векторных расслоения над дифференцируемым M. многообразием R - линейное отображение сечений P : Γ( E ) → Γ( F ) называется k линейным дифференциальным оператором -го порядка , если оно факторизуется через расслоение струй J ^к ( Э ). Другими словами, существует линейное отображение векторных расслоений

$i_{P}:J^{k}(E)\to F$

такой, что

$P=i_{P}\circ j^{k}$

где j ^к : Γ( E ) → Γ( J ^к ( E )) — продолжение, которое сопоставляет любому сечению E свою k -струю .

Это просто означает, что для данного сечения s из E значение P ( s ) в точке x ∈ M полностью определяется в k бесконечно малым поведением s в x -м порядке . В частности, это означает, что P ( s )( x ) определяется ростком s в что выражается в том , x , что дифференциальные операторы локальны. Основополагающим результатом является теорема Питре, показывающая, что обратное также верно: любой (линейный) локальный оператор является дифференциальным.

коммутативной

Эквивалентное, но чисто алгебраическое описание линейных дифференциальных операторов таково: R -линейное отображение P является линейным дифференциальным оператором k -го порядка, если для любых k + 1 гладких функций $f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)$ у нас есть

$[f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.$

Здесь кронштейн $[f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)$ определяется как коммутатор

$[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).$

Эта характеристика линейных дифференциальных операторов показывает, что они являются особыми отображениями между модулями над коммутативной алгеброй , что позволяет рассматривать эту концепцию как часть коммутативной алгебры .

Варианты

Дифференциальный оператор бесконечного порядка

Дифференциальный оператор бесконечного порядка — это (примерно) дифференциальный оператор, полный символ которого представляет собой степенной ряд , а не многочлен.

Бидифференциальный оператор

Дифференциальный оператор, действующий на две функции $D(g,f)$называется бидифференциальным оператором . Это понятие появляется, например, в структуре ассоциативной алгебры при деформационном квантовании алгебры Пуассона.

Микродифференциальный оператор

Микродифференциальный оператор — это тип оператора на открытом подмножестве кокасательного расслоения, в отличие от открытого подмножества многообразия. Оно получается путем распространения понятия дифференциального оператора на кокасательное расслоение.

См. также

• Разностный оператор
• Оператор Дельта
• Эллиптический оператор
• Керл (математика)
• Дробное исчисление
• Инвариантный дифференциальный оператор
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
• Лагранжева система
• Спектральная теория
• Энергетический оператор
• Оператор момента
• оператор ДБАР
• Псевдодифференциальный оператор
• Фундаментальное решение
• Теорема Атьи – Зингера об индексе (раздел о символе оператора)

Ссылки

• Фрид, Дэниел С. (1987), Геометрия операторов Дирака , с. 8, CiteSeerX   10.1.1.186.8445
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Матем. наука., вып. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN.  3-540-12104-8 , МР   0717035 .
• Шапира, Пьер (1985). Микродифференциальные системы в сложной области . Основы математических наук. Том 269. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-61665-5 . ISBN  978-3-642-64904-2 .
• Уэллс, Р.О. (1973), Дифференциальный анализ комплексных многообразий , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90419-0 .

Дальнейшее чтение

• Федосов Борис; Шульце, Берт-Вольфганг; Тарханов, Николай (2002). «Аналитические формулы индексов для эллиптических угловых операторов» . Анналы Института Фурье . 52 (3): 899–982. дои : 10.5802/aif.1906 . ISSN   1777-5310 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с дифференциальными операторами, на Викискладе?
• «Дифференциальный оператор» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]