Теорема Петре

В математике (линейная) теорема Петре, названная в честь Яака Пеетре , является результатом функционального анализа , который дает характеристику дифференциальных операторов с точки зрения их влияния на обобщенные функциональные пространства , не упоминая дифференцирование в явных терминах. Теорема Питре является примером теоремы конечного порядка , в которой функция или функтор , определенные очень общим способом, на самом деле могут быть показаны как многочлены из-за некоторых посторонних условий или симметрии, наложенных на них.

В этой статье рассматриваются две формы теоремы Петре. Первая — это оригинальная версия, которая, хотя и весьма полезна сама по себе, на самом деле является слишком общей для большинства приложений.

Оригинальная теорема Питре

Пусть M — гладкое многообразие , а E и F — два векторных расслоения на M . Позволять

$\Gamma ^{\infty }(E),\ {\hbox{and}}\ \Gamma ^{\infty }(F)$

пространства гладких сечений E . и F — Оператор ​

$D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)$

— морфизм пучков линейный на сечениях таких, что supp Ds E. ⊆ носитель D невозрастающий supp s для каждого гладкого сечения s из , : Исходная теорема Питре утверждает, что для каждой точки p в M существует окрестность U точки p и целое число k (зависящее от U ), такие что D является дифференциальным оператором порядка k над U . Это означает, что факторизуется посредством линейного отображения i _D из k - струи сечений E D в пространство гладких сечений F :

$D=i_{D}\circ j^{k}$

где

$j^{k}:\Gamma ^{\infty }E\rightarrow J^{k}E$

— оператор k -струи, а

$i_{D}:J^{k}E\rightarrow F$

является линейным отображением векторных расслоений.

Доказательство

Задача инвариантна относительно локального диффеоморфизма, поэтому ее достаточно доказать, когда M — открытое множество в R ^н а E и F — тривиальные расслоения. На данный момент он опирается главным образом на две леммы:

• Лемма 1. Если условия теоремы выполнены, то для любых x ∈ M и C > 0 существуют окрестность V точки x и целое положительное число k такие, что для любого y ∈ V \{ x } и для любого сечения s из E которого , k -струя обращается в нуль в точке y ( j ^к s ( y )=0), имеем | Ds ( y )|<C.
• Лемма 2. Первой леммы достаточно для доказательства теоремы.

Начнем с доказательства леммы 1.

Предположим, что лемма неверна. Тогда существует последовательность x _k, стремящаяся к x , и последовательность очень непересекающихся шаров B _k вокруг x _k (это означает, что геодезическое расстояние между любыми двумя такими шарами не равно нулю), и сечения s _k шара E над каждым B _k такой, что j ^к s _k ( x _k )=0 но | Ds _k ( x _k )|≥C>0.

Пусть ρ( x ) обозначает стандартную функцию рельефа для единичного шара в начале координат: гладкую вещественную функцию, равную 1 на B _1/2 (0), которая обращается в нуль до бесконечного порядка на границе единичного шара. .

Рассмотрим каждый второй раздел s _2k . В x _2k они удовлетворяют

дж ^{2 тыс.} с _2к ( х _2к )=0.

Предположим, что 2к дано . Тогда, поскольку эти функции гладкие и каждая удовлетворяет j ^{2 тыс.} ( s _2k )( x _2k )=0, можно указать меньший шар B′ _δ ( x _2k ) такой, что производные более высокого порядка подчиняются следующей оценке:

$\sum _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }s_{k}(y)|\leq {\frac {1}{M_{k}}}\left({\frac {\delta }{2}}\right)^{k}$

где

$M_{k}=\sum _{|\alpha |\leq k}\sup |\nabla ^{\alpha }\rho |.$

Сейчас

$\rho _{2k}(y):=\rho \left({\frac {y-x_{2k}}{\delta }}\right)$

— стандартная выпуклая функция, поддерживаемая в B′ _δ ( x _2k ), а производная произведения s _2k ρ _2k ограничена таким образом, что

$\max _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }(\rho _{2k}s_{2k})|\leq 2^{-k}.$

В результате, поскольку следующий ряд и все частные суммы его производных сходятся равномерно

$q(y)=\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{2k}(y)s_{2k}(y),$

q ( y — гладкая функция на всем V. )

Теперь мы наблюдаем, что поскольку s _2k и $\rho$_2k s _2k равны в окрестности x _2k ,

$\lim _{k\rightarrow \infty }|Dq(x_{2k})|\geq C$

Итак, по непрерывности | Dq ( x )|≥ C>0. С другой стороны,

$\lim _{k\rightarrow \infty }Dq(x_{2k+1})=0$

поскольку Dq ( x _2k+1 )=0, поскольку q тождественно равен нулю в B _2k+1 и D является носителем невозрастающим. Итак, Dq ( x )=0. Это противоречие.

Теперь докажем лемму 2.

Прежде всего, избавимся от константы C из первой леммы. Покажем, что при тех же предположениях, что и в лемме 1, |Ds(y)|=0. Выберите y в V \{ x } так, чтобы j ^к s (y)=0, но | Ds ( y )|= g >0. Измените масштаб s на коэффициент 2 Кл /г. Тогда, если g не равно нулю, в силу линейности D , | Ds ( y )|=2 C > C , что невозможно по лемме 1. Это доказывает теорему в проколотой окрестности V \{ x }.

Теперь мы должны продолжить дифференциальный оператор до центральной точки x в проколотой окрестности. D — линейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами. переводит ростки гладких функций в ростки гладких функций в точке x Более того, он также . Таким образом, коэффициенты D также гладкие в точке x .

Специализированное приложение

Пусть M — компактное гладкое многообразие (возможно, с краем ), а E и F — конечномерные векторные расслоения на M . Позволять

$\Gamma ^{\infty }(E)$ совокупность гладких сечений E . — Оператор ​

$D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)$

— гладкая функция ( многообразий Фреше ), линейная на слоях и сохраняющая базовую точку на M :

$\pi \circ D_{p}=p.$

Теорема Питре утверждает, что для каждого оператора D существует целое число k такое, что D является дифференциальным оператором порядка k . В частности, мы можем разложить

$D=i_{D}\circ j^{k}$

где $i_{D}$ является отображением струй сечений E в расслоение F . См. также внутренние дифференциальные операторы .

Пример: лапласиан

Рассмотрим следующий оператор:

$(Lf)(x_{0})=\lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(f(x)-f(x_{0}))dx$

где $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ и $S_{r}$ это сфера с центром в $x_{0}$ с радиусом $r$. На самом деле это лапласиан. Мы покажем, покажем $L$ является дифференциальным оператором по теореме Питре. Основная идея состоит в том, что, поскольку $Lf(x_{0})$ определяется только с точки зрения $f$поведение рядом $x_{0}$, носит локальный характер; в частности, если $f$ локально равен нулю, поэтому $Lf$, и, следовательно, поддержка не может расти.

Техническое доказательство заключается в следующем.

Позволять $M=\mathbb {R} ^{d}$ и $E$ и $F$ быть рангом $1$ тривиальные пучки.

Затем $\Gamma ^{\infty }(E)$ и $\Gamma ^{\infty }(F)$ это просто пространство $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ гладких функций на $\mathbb {R} ^{d}$. Как сноп, ${\mathcal {F}}(U)$ — множество гладких функций на открытом множестве $U$ а ограничение — это ограничение функции.

Чтобы увидеть $L$ действительно является морфизмом, нам нужно проверить $(Lu)|V=L(u|V)$ для открытых наборов $U$ и $V$ такой, что $V\subseteq U$ и $u\in C^{\infty }(U)$. Это понятно, потому что для $x\in V$, оба $[(Lu)|V](x)$ и $[L(u|V)](x)$ просто $\lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(u(y)-u(x))dy$, как $S_{r}$ в конечном итоге сидит внутри обоих $U$ и $V$ в любом случае.

Это легко проверить $L$ является линейным:

$L(f+g)=L(f)+L(g)$ и $L(af)=aL(f)$

Наконец, мы проверяем это $L$ является локальным в том смысле, что $suppLf\subseteq suppf$. Если $x_{0}\notin supp(f)$, затем $\exists r>0$ такой, что $f=0$ в шаре радиуса $r$ сосредоточено в $x_{0}$. Таким образом, для $x\in B(x_{0},r)$,

$\int _{S_{r'}}(f(y)-f(x))dy=0$

для $r'<r-|x-x_{0}|$, и, следовательно, $(Lf)(x)=0$.Поэтому, $x_{0}\notin suppLf$.

Итак, по теореме Петре $L$ является дифференциальным оператором.

Ссылки

• Питер Дж. Абстрактная характеристика дифференциальных операторов // Матем. Скан. 7 (1959), 211–218.
• Питер Дж., Поправка к статье Абстрактная характеристика дифференциальных операторов , Матем. Скан. 8 (1960), 116–120.
• Тернг, К.Л. , Натуральные векторные расслоения и естественные дифференциальные операторы , Am. Дж. Математика. 100 (1978), 775-828.