Квадратичное целое число

В чисел теории квадратичные целые числа являются обобщением обычных целых чисел на квадратичные поля . Квадратичные целые числа — это целые алгебраические числа второй степени, то есть решения уравнений вида

х ² + Ьх + с = 0

с целыми числами b и c (обычными). Когда рассматриваются целые алгебраические числа, обычные целые числа часто называют целыми рациональными .

Распространенными примерами квадратичных целых чисел являются квадратные корни из целых рациональных чисел, таких как √ 2 , и комплексное число i = √ −1 , которое генерирует гауссовы целые числа . Другим распространенным примером является недействительный кубический корень из единицы. −1 + , который √ −3/2 . целые числа Эйзенштейна генерирует

Квадратичные целые числа встречаются в решениях многих диофантовых уравнений , таких как уравнения Пелля , и других вопросов, связанных с целочисленными квадратичными формами . Изучение колец целых квадратичных чисел является основой для многих вопросов алгебраической теории чисел .

История

Средневековые индийские математики уже открыли способ умножения квадратичных целых чисел одного и того же D , что позволило им решить некоторые случаи уравнения Пелла .

Характеристика, данная в § Явное представление квадратичных целых чисел, была впервые дана Ричардом Дедекиндом в 1871 году.

Определение

Квадратное целое число — это целое алгебраическое число второй степени. Точнее, это комплексное число. $x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}})/2$, которое решает уравнение вида x ² + bx + c = 0 , с b и c целыми числами . Каждое квадратичное целое число, которое не является целым числом, не является рациональным , а именно, это действительное иррациональное число , если b ² − 4 c > 0 и недействителен, если b ² − 4 c < 0 – и лежит в однозначно определенном квадратичном поле $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$, расширение $\mathbb {Q}$ генерируется квадратным корнем уникального без квадратов целого числа D , удовлетворяющего условию b ² − 4 c = De ² для некоторого целого числа e . Если D положительное, квадратичное целое число действительно. Если D < 0 , оно мнимое (то есть сложное и нереальное).

Целые квадратичные числа (включая обычные целые числа), принадлежащие квадратичному полю. $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ образуют область целостности, называемую кольцом целых чисел. $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$

Хотя квадратичные целые числа, принадлежащие данному квадратичному полю, образуют кольцо , множество всех квадратичных целых чисел не является кольцом, поскольку оно не замкнуто относительно сложения или умножения. Например, $1+{\sqrt {2}}$ и ${\sqrt {3}}$ являются квадратичными целыми числами, но $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ и $(1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}$ нет, поскольку их минимальные полиномы имеют четвертую степень .

Явное представление

Здесь и далее рассматриваемые квадратичные числа принадлежат квадратичному полю $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),$ где D — целое число без квадратов. Это не ограничивает общности, поскольку равенство √ a ² D = a   √ D (для любого натурального числа a ) подразумевает $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,).$

Элемент x из $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ является квадратичным целым числом тогда и только тогда, когда существуют два целых числа a и b такие, что либо

$x=a+b{\sqrt {D}},$

или, если D − 1 кратно 4

$x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},$ где a и b нечетны ​

Другими словами, каждое квадратичное целое число можно записать a + ωb   , где a и b — целые числа, а ω определяется формулой

$\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}$

(поскольку D предполагалось свободным от квадратов, случай ${\textstyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$ невозможно, так как это означало бы, что D делится на квадрат 4).

Норма и спряжение

Квадратное целое число в $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ может быть написано

а + б √ D ,

где a и b — либо оба целых числа, либо, только если D ≡ 1 (mod 4) , обе половины нечетных целых чисел . Норма равна такого квадратичного целого числа

N ( а + б √ D ) знак равно а ² − Дб ² .

Норма квадратичного целого числа всегда является целым числом. Если D < 0 , нормой квадратичного целого числа является квадрат его абсолютного значения как комплексного числа (это неверно, если D > 0 ). Норма — вполне мультипликативная функция , а это значит, что норма произведения квадратичных целых чисел всегда является произведением их норм.

Каждое квадратичное целое число a + b √ D имеет сопряженное

${\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}.$

Квадратное целое число имеет ту же норму, что и его сопряженное число, и эта норма является произведением квадратичного целого числа и его сопряженного числа. Сопряженным суммой или произведением квадратичных целых чисел является сумма или произведение (соответственно) сопряженных чисел. Это означает, что сопряжение является автоморфизмом кольца целых чисел $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ - см. § Квадратичные целочисленные кольца ниже.

Квадратичные целочисленные кольца

Каждое целое число без квадратов (отличное от 0 и 1) D определяет квадратичное целочисленное кольцо , которое представляет собой область целостности, состоящую из целых алгебраических чисел, содержащихся в $\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ Это множество   Z [ ω ] = { a + ωb : a , b ∈ Z }, где $\omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ если D = 4 k + 1 , и ω = √ D в противном случае. Его часто обозначают ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$, поскольку это кольцо целых чисел $\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)$, которое является интегральным замыканием Z в $\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ Кольцо Z [ ω ] состоит из всех корней всех уравнений x ² + Bx + C = 0, которого дискриминант B ² − 4 C — произведение D на квадрат целого числа. В частности, √ D принадлежит Z [ ω ] , являясь корнем уравнения x ² − D = 0 , которого равен 4 D. дискриминант

Квадратный корень любого целого числа является квадратичным целым числом, поскольку каждое целое число можно записать n = m. ² D , где D — целое число без квадратов, а его квадратный корень — это корень из x ² − м ² Д = 0 .

Основная теорема арифметики неверна во многих кольцах квадратичных целых чисел. Однако существует единственная факторизация идеалов , которая выражается в том, что каждое кольцо целых алгебраических чисел является дедекиндовой областью . Будучи простейшими примерами целых алгебраических чисел, квадратичные целые числа обычно являются отправными примерами большинства исследований теории алгебраических чисел .

Квадратичные целочисленные кольца делятся на два класса в зависимости от знака D . Если D > 0 , все элементы ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ вещественны, а кольцо представляет собой вещественное квадратичное целочисленное кольцо . Если D < 0 , единственные действительные элементы ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ являются обычными целыми числами, а кольцо представляет собой комплексное квадратичное целочисленное кольцо .

Для действительных квадратичных целочисленных колец номер класса , который измеряет неудачу уникальной факторизации, указан в OEIS A003649 ; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924 .

Единицы

Квадратичное целое число — это единица в кольце целых чисел $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ тогда и только тогда, когда его норма равна 1 или −1 . В первом случае его мультипликативная инверсия является его сопряженной. это отрицание Во втором случае сопряженного с ним числа.

Если D < 0 , кольцо целых чисел $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ имеет не более шести единиц. В случае гауссовских целых чисел ( D = −1 ) четырьмя единицами являются 1, −1, √ −1 , − √ −1 . В случае целых чисел Эйзенштейна ( D = −3 ) шесть единиц равны ±1, ±1 ± √ -3 / 2 . Для всех остальных отрицательных D есть только две единицы: 1 и −1 .

Если D > 0 , кольцо целых чисел $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ имеет бесконечно много единиц, равных ± u ^я , где i — произвольное целое число, а u — определенная единица, называемая фундаментальной единицей . Учитывая фундаментальную единицу u , существуют три другие фундаментальные единицы, ее сопряженные ${\overline {u}},$ а также $-u$ и $-{\overline {u}}.$ Обычно «фундаментальной единицей» называют уникальную единицу, абсолютное значение которой больше 1 (как действительное число). Это уникальная фундаментальная единица, которую можно записать как a + b √ D , где a и b положительные (целые числа или половины целых чисел).

Основными единицами для 10 наименьших положительных бесквадратных D являются 1 + √ 2 , 2 + √ 3 , 1 + √ 5/2 , √ ( золотое сечение ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 + 3 + 10 , 10 3 √ 11 , 3 + √ 13 / 2 , 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . При больших D коэффициенты . фундаментальной единицы могут быть очень большими Например, для D = 19, 31, 43 фундаментальными единицами являются соответственно 170 39√19 1520 , + 273√31 + и 3482 531√43 + .

Примеры комплексных квадратичных колец целых чисел

Гауссовы целые числа

Простые числа Эйзенштейна

Для D <0 ω — комплексное ( мнимое или недействительное) число. Поэтому естественно рассматривать кольцо квадратичных целых чисел как набор алгебраических комплексных чисел .

• Классический пример: $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]$, гауссовы целые числа , которые были введены Карлом Гауссом около 1800 года для формулировки его биквадратичного закона взаимности.
• Элементы в ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]$ называются целыми числами Эйзенштейна .

Оба упомянутых выше кольца являются кольцами целых круговых полей Q ( ζ ₄ ) и Q ( ζ ₃ ) соответственно.Напротив, Z [ √ −3 ] даже не является дедекиндовой областью .

Оба приведенных выше примера являются кольцами главных идеалов , а также евклидовыми областями нормы. Это не относится к

${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\,\right],$

который даже не является уникальной областью факторизации . Это можно показать следующим образом.

В ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},$ у нас есть

$9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).$

Факторы 3, $2+{\sqrt {-5}}$ и $2-{\sqrt {-5}}$ неприводимы ± , так как все они имеют норму 9, а если бы они не были неприводимыми, они имели бы фактор нормы 3, что невозможно, поскольку норма элемента, отличного от 1, была бы не менее 4. Таким образом, факторизация 9 на неприводимые факторы не является уникальным.

Идеалы ​ $\langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle$ и $\langle 3,1-{\sqrt {-5}}\,\rangle$ не являются главными , поскольку простое вычисление показывает, что их произведение является идеалом, порожденным 3, и, если бы они были главными, это означало бы, что 3 не было бы неприводимым.

Примеры действительных квадратичных колец целых чисел

Силы золотого сечения

Для D > 0 ω — положительное иррациональное действительное число , а соответствующее квадратичное целочисленное кольцо — набор алгебраических действительных чисел. Решения уравнения Пелля X ² - ТЫ ² = 1 , диофантово уравнение , которое широко изучалось, являются единицами этих колец при D ≡ 2, 3 (mod 4) .

• Для D = 5 , ω = 1+ √ 5/2 – золотое это сечение . Это кольцо изучал Питер Густав Лежен Дирихле . Его единицы имеют вид ± ω ^н , где n — произвольное целое число. Это кольцо также возникает в результате изучения 5-кратной вращательной симметрии на евклидовой плоскости, например, мозаики Пенроуза .
• Индийский математик Брахмагупта рассмотрел уравнение Пелла X. ² − 61 год ² знак равно 1 , что соответствует кольцу Z [ √ 61 ] . Некоторые результаты были представлены европейскому сообществу Пьером Ферма в 1657 году.

Главные кольца квадратных целых чисел

Свойство уникальной факторизации не всегда проверяется для колец квадратичных целых чисел, как показано выше для случая Z [ √ −5 ] . Однако, как и в любой дедекиндовой области , кольцо квадратичных целых чисел является уникальной областью факторизации тогда и только тогда, когда оно является областью главного идеала . Это происходит тогда и только тогда, когда номер класса соответствующего квадратичного поля равен единице.

Полностью определены мнимые кольца целых квадратичных чисел, являющиеся кольцами главных идеалов. Это ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ для

D = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163 .

Этот результат был впервые выдвинут Гауссом хотя и доказан , Куртом Хигнером в доказательство Хигнера не верили, пока Гарольд Старк не дал более позднее доказательство в 1967 году (см. теорему Старка-Хигнера ). Это частный случай знаменитой проблемы с номерами классов .

Известно много натуральных чисел D > 0 , для которых кольцо целых квадратичных чисел является кольцом главных идеалов. Однако полный список неизвестен; неизвестно даже, конечно ли число этих колец главных идеалов или нет.

Евклидовы кольца квадратных целых чисел

Смотрите также: Евклидова область § Нормо-евклидовы поля

Когда кольцо квадратичных целых чисел является областью главного идеала, интересно узнать, является ли оно евклидовой областью . Эта проблема была полностью решена следующим образом.

Оборудован по норме. $N(a+b{\sqrt {D}}\,)=|a^{2}-Db^{2}|$ как евклидова функция , ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ является евклидовой областью для отрицательного D, когда

D = −1, −2, −3, −7, −11 ,

и для положительного D , когда

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (последовательность A048981 в OEIS ).

Не существует другого кольца квадратичных целых чисел, которое было бы евклидовым с нормой в виде евклидовой функции. При отрицательном D кольцо квадратичных целых чисел является евклидовым тогда и только тогда, когда норма для него является евклидовой функцией . Отсюда следует, что для

Д = -19, -43, -67, -163 ,

четыре соответствующих кольца квадратичных целых чисел относятся к числу редких известных примеров областей главных идеалов, которые не являются евклидовыми областями.

С другой стороны, из обобщенной гипотезы Римана следует, что кольцо действительных квадратичных целых чисел, являющееся областью главного идеала, также является евклидовой областью для некоторой евклидовой функции, которая действительно может отличаться от обычной нормы. Значения D = 14, 69 были первыми, для которых было доказано, что кольцо целых квадратичных чисел является евклидовым, но не нормо-евклидовым.

Ссылки

• Артин, М., Алгебра (2-е изд.)
• Бурбаки, Николя (1994). Элементы истории математики . Перевод Мелдрама, Джона . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-64767-6 . МР   1290116 .
• Кларк, Дэвид А. (1994), «Квадратичное поле, которое является евклидовым, но не нормо-евклидовым» (PDF) , Manuscripta Mathematica , 83 : 327–330, doi : 10.1007/BF02567617 , заархивировано из оригинала (PDF) в 2015 г. -01-29
• де Брейн, Н.Г. (1981), «Алгебраическая теория непериодических разбиений Пенроуза плоскости I, II» (PDF) , Indagationes Mathematicae , 43 (1): 39–66
• Дедекинд, Рихард (1871), Лекции по теории чисел П.Г. Лежена Дирихле (2-е изд.), Vieweg , получено 5 августа 2009 г.
• Даммит, Д.С.; Фут, Р.М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.)
• Харпер, М. (2004), " $\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ является евклидовым », Can. J. Math. 56 , 56 : 55–70, doi : 10.4153/CJM-2004-003-9
• ЛеВек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Темы теории чисел, тома I и II . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-42539-9 . Збл   1009.11001 .

Дальнейшее чтение

• Дж. С. Милн. Алгебраическая теория чисел , версия 3.01, 28 сентября 2008 г. конспекты онлайн-лекций.