Эквивалентность категорий

В теории категорий , разделе абстрактной математики , эквивалентность категорий — это отношение между двумя категориями , которое устанавливает, что эти категории «по существу одинаковы». Существует множество примеров категориальной эквивалентности из многих областей математики. Установление эквивалентности предполагает демонстрацию сильного сходства между рассматриваемыми математическими структурами. В некоторых случаях эти структуры могут показаться несвязанными на поверхностном или интуитивном уровне, что делает это понятие довольно мощным: оно создает возможность «переводить» теоремы между различными типами математических структур, зная, что основной смысл этих теорем сохраняется. под перевод.

Если категория эквивалентна противоположности (или двойственности) другой категории, то говорят одвойственность категорий и говорит, что эти две категории дуально эквивалентны .

Эквивалентность категорий состоит из функтора между задействованными категориями, который должен иметь «обратный» функтор. Однако, в отличие от ситуации, обычной для изоморфизмов в алгебраической ситуации, композиция функтора и его «обратного» не обязательно является тождественным отображением. Вместо этого достаточно, чтобы каждый объект был естественно изоморфен своему образу в этой композиции. Таким образом, можно описать функторы как «обратные с точностью до изоморфизма». Действительно, существует концепция изоморфизма категорий , где требуется строгая форма обратного функтора, но она имеет гораздо меньше практического применения, чем концепция эквивалентности .

Определение

Формально, для данных двух категорий C и D эквивалентность категорий состоит из функтора F : C → D , функтора G : D → C и двух естественных изоморфизмов ε: FG → I _D и η : I _C → GF . Здесь FG : D → D и GF : C → C обозначают соответствующие композиции F и G , а I _C : C → C и I _D : D → D обозначают тождественные функторы на C и D , присваивающие каждому объекту и морфизму сам. Если F и G — контравариантные функторы, вместо этого говорят о двойственности категорий .

Зачастую не указываются все вышеперечисленные данные. что категории C и D эквивалентны Например, мы говорим , (соответственно дуально эквивалентны ), если между ними существует эквивалентность (соответственно двойственность). Более того, мы говорим, что F «есть» эквивалентность категорий, если существуют обратный функтор G и естественные изоморфизмы, описанные выше. Однако обратите внимание, что знания F обычно недостаточно для восстановления G и естественных изоморфизмов: вариантов может быть много (см. пример ниже).

Альтернативные характеристики

Функтор F : C → D дает эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он одновременно:

• полное любых двух объектов и _c1 c2 из _{индуцированное} C отображение Hom ₍ c1 , _C c2 ) _; ​​→ Hom _D ( Fc1 _{, т.е. для} , Fc2 _, ) F является сюръективным ,
• точным , т.е. для любых двух c2 _и из C _{индуцированное} отображение Hom C ₍ c1 , _Fc1 c2 ) _, ​​→ _D ( c1 _, , Fc2 _{объектов} ) F инъективно Hom ; и
• сюръективен (плотен) , т.е. каждый объект d в D изоморфен объекту формы Fc для c в C. по существу

Это весьма полезный и часто применяемый критерий, поскольку не нужно явно конструировать «обратный» G и естественные изоморфизмы между FG , GF и тождественными функторами. С другой стороны, хотя вышеуказанные свойства гарантируют существование категориальной эквивалентности (при достаточно строгой версии аксиомы выбора в базовой теории множеств), недостающие данные не определены полностью, и часто существует много вариантов выбора. Рекомендуется по возможности явно указывать недостающие конструкции.В связи с этим обстоятельством функтор с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий . (К сожалению, это противоречит терминологии теории гомотопических типов .)

Существует также тесное отношение к понятию сопряженных функторов. $F\dashv G$, где мы говорим, что $F:C\rightarrow D$ является левым сопряженным $G:D\rightarrow C$, или, аналогично, G является правым сопряженным к F . Тогда C и D эквивалентны (как определено выше, поскольку существуют естественные изоморфизмы из и IC в _{в ID} GF ) _FG тогда и только тогда, когда $F\dashv G$ и оба F и G полны и верны.

Когда сопряженные функторы $F\dashv G$ не являются одновременно полными и точными, то мы можем рассматривать их отношение сопряженности как выражение «более слабой формы эквивалентности» категорий. Если предположить, что естественные преобразования присоединений заданы, все эти формулировки позволяют явно построить необходимые данные и никакие принципы выбора не нужны. Ключевое свойство, которое здесь необходимо доказать, состоит в том, что контрединица присоединения является изоморфизмом тогда и только тогда, когда правый сопряженный является полным и точным функтором.

Примеры

• Рассмотрим категорию $C$ наличие одного объекта $c$ и один морфизм $1_{c}$и категория $D$ с двумя объектами $d_{1}$, $d_{2}$ и четыре морфизма: два тождественных морфизма $1_{d_{1}}$, $1_{d_{2}}$ и два изоморфизма $\alpha \colon d_{1}\to d_{2}$ и $\beta \colon d_{2}\to d_{1}$. Категории $C$ и $D$ эквивалентны; мы можем (например) иметь $F$ карта $c$ к $d_{1}$ и $G$ нанести на карту оба объекта $D$ к $c$ и все морфизмы на $1_{c}$.
• Напротив, категория $C$ с одним объектом и одним морфизмом не эквивалентно категории $E$ с двумя объектами и только двумя тождественными морфизмами. Два объекта в $E$ не изоморфны , поскольку между ними нет морфизмов. Таким образом, любой функтор из $C$ к $E$ не будет по существу сюръективным.
• Рассмотрим категорию $C$ с одним объектом $c$и два морфизма $1_{c},f\colon c\to c$. Позволять $1_{c}$ быть тождественным морфизмом на $c$ и установить $f\circ f=1$. Конечно, $C$ эквивалентно самому себе, что можно показать, взяв $1_{c}$ вместо требуемых естественных изоморфизмов между функтором $\mathbf {I} _{C}$ и сам. Однако верно также и то, что $f$ дает естественный изоморфизм из $\mathbf {I} _{C}$ самому себе. Следовательно, учитывая информацию о том, что тождественные функторы образуют эквивалентность категорий, в этом примере все же можно выбирать между двумя естественными изоморфизмами для каждого направления.
• Категория множеств и частичных функций эквивалентна, но не изоморфна категории точечных множеств и отображений, сохраняющих точку.
• Рассмотрим категорию $C$ конечномерных категория вещественных векторных пространств и $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ всех действительных матриц (последняя категория объяснена в статье об аддитивных категориях ). Затем $C$ и $D$ эквивалентны: функтор $G\colon D\to C$ который отображает объект $A_{n}$ из $D$ в векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ и матрицы в $D$ соответствующим линейным отображениям является полным, точным и существенно сюръективным.
• Одна из центральных тем алгебраической геометрии — двойственность категории аффинных схем и категории коммутативных колец . Функтор $G$ каждому коммутативному кольцу сопоставляется его спектр — схема, определяемая простыми идеалами кольца. Его сопряженный $F$ каждой аффинной схеме сопоставляет свое кольцо глобальных сечений.
• В функциональном анализе категория коммутативных -алгебр с единицей контравариантно эквивалентна категории бикомпактов С * . В соответствии с этой двойственностью каждый компакт Хаусдорфа $X$ связана с алгеброй непрерывных комплекснозначных функций на $X$, и каждой коммутативной С*-алгебре соответствует пространство ее максимальных идеалов . Это представление Гельфанда .
• В теории решеток существует ряд двойственностей, основанных на теоремах о представлении , которые связывают определенные классы решеток с классами топологических пространств . Вероятно, наиболее известной теоремой такого рода является теорема Стоуна о представлении булевых алгебр , которая является частным случаем в общей схеме двойственности Стоуна . Каждая булева алгебра $B$ отображается в определенную топологию на ультрафильтров множестве $B$. И наоборот, для любой топологии открыто-открытые (т.е. замкнутые и открытые) подмножества дают булеву алгебру. Получается двойственность между категорией булевых алгебр (с их гомоморфизмами) и пространствами Стоуна (с непрерывными отображениями). Другим случаем двойственности Стоуна является теорема Биркгофа о представлении, утверждающая двойственность между конечными частичными порядками и конечными дистрибутивными решетками.
• В бессмысленной топологии категория пространственных локалей, как известно, эквивалентна двойственной категории трезвых пространств.
• Для двух колец R и S категория произведения R - Mod × S - Mod эквивалентна ( R × S ) -Mod .
• Любая категория эквивалентна своему скелету .

Свойства

Как правило, эквивалентность категорий сохраняет все «категоричные» понятия и свойства. Если F : C → D является эквивалентностью, то все следующие утверждения верны:

• объект c из C является начальным объектом (или терминальным объектом , или нулевым объектом ), тогда и только тогда, когда Fc является начальным объектом (или терминальным объектом , или нулевым объектом ) D.
• морфизм α в C является мономорфизмом (или эпиморфизмом , или изоморфизмом ), тогда и только тогда, когда Fα — мономорфизм (или эпиморфизм, или изоморфизм) в D .
• функтор H : I → C имеет предел (или копредел) l тогда и только тогда, когда функтор FH : I → D имеет предел (или копредел) Fl . Это может быть применено, среди прочего, к эквалайзерам , продуктам и сопутствующим продуктам . Применяя его к ядрам и коядрам , мы видим, что эквивалентность F является точным функтором .
• C является декартовой замкнутой категорией (или топосом ) тогда и только тогда, когда D является декартово замкнутой (или топосом).

Дуальности «переворачивают все понятия»: они превращают исходные объекты в терминальные объекты, мономорфизмы в эпиморфизмы, ядра в коядра, пределы в копределы и т. д.

Если F : C → D — эквивалентность категорий, а G ₁ и G ₂ — две обратные категории F , то G ₁ и G ₂ естественно изоморфны.

Если F : C → D — эквивалентность категорий, и если C — преаддитивная категория (или аддитивная категория , или абелева категория ), то D можно превратить в предаддитивную категорию (или аддитивную категорию, или абелеву категорию) в таком способ, которым F становится аддитивным функтором . С другой стороны, любая эквивалентность между аддитивными категориями обязательно аддитивна. (Обратите внимание, что последнее утверждение неверно для эквивалентностей между предаддитивными категориями.)

Автоэквивалентностью → категории C эквивалентность F : C . C называется Автоэквивалентности C образуют группу композиции, если мы считаем две автоэквивалентности, которые естественно изоморфны, идентичными. Эта группа отражает основные «симметрии C. » (Одно предостережение: если C не является маленькой категорией, то автоэквивалентности C могут образовывать собственный класс , а не множество .)

См. также

• Эквивалентные определения математических структур
• Анафунктор

Ссылки

• эквивалентность категорий в n Lab
• «Эквивалентность категорий» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Нью-Йорк: Спрингер. стр. xii+314. ISBN  0-387-98403-8 .