Пятиугольник Роббинса

Нерешенная задача по математике :

Может ли пятиугольник Роббинса иметь иррациональные диагонали?

В геометрии пятиугольник Роббинса представляет собой циклический пятиугольник , длины сторон и площадь которого являются рациональными числами .

История

Пятиугольники Роббинса были названы Бухгольцем и Макдугаллом (2008) в честь Дэвида П. Роббинса , который ранее дал формулу для площади циклического пятиугольника как функции длин его ребер. Бухгольц и МакДугалл выбрали это название по аналогии с наименованием треугольников Герона в честь Героя Александрийского , первооткрывателя формулы Герона для определения площади треугольника как функции длин его ребер.

Площадь и периметр

Каждый пятиугольник Роббинса можно масштабировать так, чтобы его стороны и площадь были целыми числами. Более строго Бухгольц и МакДугалл показали, что если все длины сторон являются целыми числами, а площадь рациональна, то площадь обязательно также является целым числом, а периметр обязательно является четным числом .

Диагонали

Бухгольц и МакДугалл также показали, что в каждом пятиугольнике Роббинса либо все пять внутренних диагоналей являются рациональными числами, либо ни одна из них не является рациональными числами. Если пять диагоналей рациональны (случай, названный пятиугольником Брахмагупты Шастри (2005) ), то радиус описанной вокруг него окружности также должен быть рациональным, и пятиугольник можно разделить на три треугольника Герона, разрезав его по любым двум не- пересекающие диагонали, или на пять треугольников Герона, разрезав его по пяти радиусам от центра круга до его вершин.

Бухгольц и МакДугалл провели вычислительный поиск пятиугольников Роббинса с иррациональными диагоналями, но не смогли их найти. На основании этого отрицательного результата они предположили, что пятиугольники Роббинса с иррациональными диагоналями могут не существовать.

Ссылки

Бухгольц, Ральф Х.; МакДугалл, Джеймс А. (2008), «Циклические многоугольники с рациональными сторонами и площадью» , Журнал теории чисел , 128 (1): 17–48, doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005 , MR 2382768 .
Роббинс, Дэвид П. (1994), «Площади многоугольников, вписанных в круг», Дискретная и вычислительная геометрия , 12 (2): 223–236, doi : 10.1007/BF02574377 , MR 1283889
Роббинс, Дэвид П. (1995), «Площади многоугольников, вписанных в круг», The American Mathematical Monthly , 102 (6): 523–530, doi : 10.2307/2974766 , JSTOR 2974766 , MR 1336638 .
Састри, KRS (2005), «Построение n-гонов Брахмагупты» (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 119–126, MR 2195739 .