Теорема о бабочке

Теорема о бабочке — классический результат евклидовой геометрии , который можно сформулировать следующим образом: ^[1]^{: с. 78}

Пусть $M$ — середина хорды две $PQ$ окружности ; другие хорды $AB$ и $CD$ , через которую проведены $AD$ и $BC$ пересекают хорду $PQ$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Тогда $M$ — середина $XY$ .

Доказательство [ править ]

Формальное доказательство теоремы состоит в следующем:Пусть перпендикуляры $XX'$ и $XX″$ опущены $из точки X$ на прямые $AM$ и $DM$ соответственно. Аналогично, пусть $YY'$ и $YY″$ опущены из точки $Y,$ перпендикулярной прямым $BM$ и $CM$ соответственно.

С

\triangle MXX'\sim \triangle MYY',

{MX \over MY}={XX' \over YY'},

\triangle MXX''\sim \triangle MYY'',

{MX \over MY}={XX'' \over YY''},

\triangle AXX'\sim \triangle CYY'',

{XX' \over YY''}={AX \over CY},

\triangle DXX''\sim \triangle BYY',

{XX'' \over YY'}={DX \over BY}.

Из предыдущих уравнений и теоремы о пересекающихся хордах видно, что

\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},

{}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY},

{}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY},

{}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)},

{}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},

поскольку $PM = MQ$ .

Так

{(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.

Перекрестное умножение в последнем уравнении:

{(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.

Отмена общего термина

{-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}

с обеих сторон полученного уравнения дает

{(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}},

следовательно, $MX = MY$ , поскольку MX, MY и PM — положительные действительные числа.

Таким образом, $M$ является серединой $XY$ .

Существуют и другие доказательства, ^[2] в том числе с использованием проективной геометрии. ^[3]

История [ править ]

Доказательство теоремы о бабочке было поставлено как задача Уильямом Уоллесом в «Математическом спутнике джентльмена» (1803 г.). Три решения были опубликованы в 1804 году, а в 1805 году сэр Уильям Гершель снова поставил вопрос в письме Уоллесу. Преподобный Томас Скарр снова задал тот же вопрос в 1814 году в « Дневнике джентльмена или математическом хранилище» . ^[4]

Ссылки [ править ]

^ Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (оригинал 1929).
^ Мартин Челли, «Доказательство теоремы о бабочке с использованием фактора подобия двух крыльев», Forum Geometricorum 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf
^ [1] , задача 8.
↑ Формулировка теоремы о бабочке Уильяма Уоллеса 1803 года , разрезанный узел , получено 7 мая 2015 г.

Внешние ссылки [ править ]

Теорема о бабочке
Лучшая теорема о бабочке
Доказательство теоремы о бабочке на PlanetMath
Теорема о бабочке Джея Варендорфа, Демонстрационный проект Вольфрама .
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о бабочке» . Математический мир .

[Johnson-1] Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (оригинал 1929).

[2] Мартин Челли, «Доказательство теоремы о бабочке с использованием фактора подобия двух крыльев», Forum Geometricorum 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf

[3] [1] , задача 8.

[4] Формулировка теоремы о бабочке Уильяма Уоллеса 1803 года , разрезанный узел , получено 7 мая 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]