Треугольник Брахмагупты

Треугольник Брахмагупты — это треугольник , длины сторон которого являются последовательными положительными целыми числами, а площадь — положительным целым числом. Треугольник, длины сторон которого равны 3, 4, 5, является треугольником Брахмагупты, а также треугольник, длины сторон которого равны 13, 14, 15. Треугольник Брахмагупты является частным случаем треугольника Герона , который представляет собой треугольник, длины сторон которого и Площадь — все положительные целые числа, но длины сторон не обязательно должны быть последовательными целыми числами. Треугольник Брахмагупты назван так в честь индийского астронома и математика Брахмагупты (ок. 598 – ок. 668 н. э.), который дал список первых восьми таких треугольников, не объяснив метод, с помощью которого он вычислил этот список.

Треугольник Брахмагупты также называют треугольником Флинора-Херониана в честь Чарльза Р. Флинора, который обсуждал эту концепцию в статье, опубликованной в 1996 году. Некоторые из других названий, под которыми известны треугольники Брахмагупты, - это треугольник супергерона. и почти равносторонний геронов треугольник .

Проблема нахождения всех треугольников Брахмагупты — старая проблема. Замкнутое решение задачи было найдено Рейнхольдом Хоппе в 1880 году.

треугольников

Пусть длины сторон треугольника Брахмагупты равны $t-1$, $t$ и $t+1$ где $t$ — целое число, большее 1. Используя формулу Герона , площадь $A$ треугольника можно показать как

$A={\big (}{\tfrac {t}{2}}{\big )}{\sqrt {3{\big [}{\big (}{\tfrac {t}{2}}{\big )}^{2}-1{\big ]}}}$

С $A$ должно быть целым числом, $t$ должно быть четным, поэтому его можно принять как $t=2x$ где $x$ является целым числом. Таким образом,

$A=x{\sqrt {3(x^{2}-1)}}$

С ${\sqrt {3(x^{2}-1)}}$ должно быть целым числом, необходимо иметь $x^{2}-1=3y^{2}$ для некоторого целого числа $y$. Следовательно, $x$ должно удовлетворять следующему диофантовому уравнению :

$x^{2}-3y^{2}=1$.

Это пример так называемого уравнения Пелла. $x^{2}-Ny^{2}=1$ с $N=3$. Методы решения уравнения Пелла можно применить для нахождения значений целых чисел. $x$ и $y$.

Треугольник Брахмагупты, в котором $x_{n}$ и $y_{n}$ являются целыми числами, удовлетворяющими уравнению $x_{n}^{2}-3y_{n}^{2}=1$.

Очевидно $x=2$, $y=1$ является решением уравнения $x^{2}-3y^{2}=1$. Принимая это за первоначальное решение $x_{1}=2,y_{1}=1$ совокупность всех решений $\{(x_{n},y_{n})\}$ уравнения может быть сгенерировано с использованием следующих рекуррентных соотношений

$x_{n+1}=2x_{n}+3y_{n},\quad y_{n+1}=x_{n}+2y_{n}{\text{ for }}n=1,2,\ldots$

или следующими соотношениями

${\begin{aligned}x_{n+1}&=4x_{n}-x_{n-1}{\text{ for }}n=2,3,\ldots {\text{ with }}x_{1}=2,x_{2}=7\\y_{n+1}&=4y_{n}-y_{n-1}{\text{ for }}n=2,3,\ldots {\text{ with }}y_{1}=1,y_{2}=4.\end{aligned}}$

Их также можно сгенерировать, используя следующее свойство:

$x_{n}+{\sqrt {3}}y_{n}=(x_{1}+{\sqrt {3}}y_{1})^{n}{\text{ for }}n=1,2,\ldots$

Ниже приведены первые восемь значений $x_{n}$ и $y_{n}$ и соответствующие треугольники Брахмагупты:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8
$x_{n}$	2	7	26	97	362	1351	5042	18817
$y_{n}$	1	4	15	56	209	780	2911	10864
Брахмагупта треугольник	3,4,5	13,14,15	51,52,53	193,194,195	723,724,725	2701,2702,2703	10083,10084,10085	37633,37634,337635

Последовательность $\{x_{n}\}$ это запись A001075 в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей ( OEIS ) и последовательность $\{y_{n}\}$ это запись A001353 в OEIS.

Брахмагупты

В треугольнике Брахмагупты длины сторон образуют целочисленную арифметическую прогрессию с общей разностью 1. Обобщенный треугольник Брахмагупты — это геронов треугольник, в котором длины сторон образуют арифметическую прогрессию целых положительных чисел. Обобщенные треугольники Брахмагупты легко построить из треугольников Брахмагупты. Если $t-1,t,t+1$ — длины сторон треугольника Брахмагупты, тогда для любого положительного целого числа $k$, целые числа $k(t-1),kt,k(t+1)$ — длины сторон обобщенного треугольника Брахмагупты, образующие арифметическую прогрессию с общей разностью. $k$. Существуют обобщенные треугольники Брахмагупты, которые не образуются таким образом. Примитивный обобщенный треугольник Брахмагупты — это обобщенный треугольник Брахмагупты, в котором длины сторон не имеют общего делителя, кроме 1.

Чтобы найти длины сторон таких треугольников, пусть длины сторон равны $t-d,t,t+d$ где $b,d$ являются целыми числами, удовлетворяющими $1\leq d\leq t$. По формуле Герона площадь $A$ треугольника можно показать как

$A={\big (}{\tfrac {b}{4}}{\big )}{\sqrt {3(t^{2}-4d^{2})}}$.

Для $A$ быть целым числом, $t$ должно быть четным, и можно взять $t=2x$ для некоторого целого числа. Это делает

$A=x{\sqrt {3(x^{2}-d^{2})}}$.

Поскольку, опять же, $A$ должно быть целым числом, $x^{2}-d^{2}$ должно быть в форме $3y^{2}$ для некоторого целого числа $y$. Таким образом, чтобы найти длины сторон обобщенных треугольников Брахмагупты, необходимо найти решения следующего однородного квадратного диофантова уравнения:

$x^{2}-3y^{2}=d^{2}$.

Можно показать, что все примитивные решения этого уравнения имеют вид

${\begin{aligned}d&=\vert m^{2}-3n^{2}\vert /g\\x&=(m^{2}+3n^{2})/g\\y&=2mn/g\end{aligned}}$

где $m$ и $n$ являются относительно простыми положительными целыми числами и $g={\text{gcd}}(m^{2}-3n^{2},2mn,m^{2}+3n^{2})$.

Если мы возьмем $m=n=1$ мы получаем треугольник Брахмагупты $(3,4,5)$. Если мы возьмем $m=2,n=1$ мы получаем треугольник Брахмагупты $(13,14,15)$. Но если мы возьмем $m=1,n=2$ мы получаем обобщенный треугольник Брахмагупты $(15,26,37)$ который нельзя свести к треугольнику Брахмагупты.

См. также

• Полиномы Брахмагупты
• Четырехугольник Брахмагупты