Параллелограмм

Параллелограмм
Параллелограмм
	Этот параллелограмм является ромбоидом , так как у него нет прямых углов и неравных сторон.
Тип	четырехугольник , трапеция
Ребра и вершины	4
Группа симметрии	С 2 , [2] + ,
Область	b × h (основание×высота); ; ab sin θ (произведение смежных сторон и синуса определяемого ими угла при вершине)
Характеристики	выпуклый

В евклидовой геометрии параллелограмм — это простой ( несамопересекающийся ) четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Противоположные или обращенные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину, а противоположные углы параллелограмма имеют одинаковую длину. Сравнение , и ни одно условие не может противоположных сторон и противоположных углов является прямым следствием постулата евклидовой параллельности быть доказано без обращения к постулату евклидовой параллельности или одной из его эквивалентных формулировок.

Для сравнения, четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон, представляет собой трапецию в американском английском или трапецию в британском английском.

Трехмерным аналогом параллелограмма является параллелепипед .

Слово происходит от греческого παραλληλό-γραμμον, parallēló-grammon , что означает форму «параллельных линий».

Особые случаи

Прямоугольник – параллелограмм с четырьмя углами одинаковой величины (прямыми углами).
Ромб – параллелограмм с четырьмя сторонами одинаковой длины. Любой параллелограмм, не являющийся ни прямоугольником, ни ромбом, традиционно назывался ромбоидом, но в современной математике этот термин не используется. ^[1]
Квадрат – параллелограмм с четырьмя сторонами одинаковой длины и углами одинаковой величины (прямыми углами).

Характеристики

Простой тогда и (несамопересекающийся) четырехугольник является параллелограммом только тогда, когда верно любое из следующих утверждений: ^[2]^[3]

Две пары противоположных сторон параллельны (по определению).
Две пары противоположных сторон равны по длине.
Две пары противоположных углов равны по мере.
Диагонали делят друг друга пополам.
Одна пара противоположных сторон параллельна и равна по длине.
Соседние углы являются дополнительными .
Каждая диагональ делит четырёхугольник на два равных треугольника .
Сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. (Это закон параллелограмма .)
Имеет вращательную симметрию второго порядка.
Сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон не зависит от местоположения точки. ^[4] (Это расширение теоремы Вивиани .)
существует точка X, В плоскости четырехугольника свойство которой состоит в том, что каждая прямая, проходящая через X, делит четырехугольник на две области равной площади. ^[5]

Таким образом, все параллелограммы обладают всеми перечисленными выше свойствами, и наоборот , если хотя бы одно из этих утверждений верно в простом четырехугольнике, то это параллелограмм.

Другие объекты недвижимости

Противоположные стороны параллелограмма параллельны (по определению) и поэтому никогда не пересекаются.
Площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника, образованного одной из его диагоналей.
Площадь параллелограмма также равна величине векторного произведения двух соседних сторон.
Любая линия, проходящая через середину параллелограмма, делит площадь пополам. ^[6]
Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм.
Параллелограмм имеет вращательную симметрию второго порядка (до 180°) (или порядка 4, если квадрат). Если он также имеет ровно две линии отражательной симметрии , то он должен быть ромбом или продолговатым (неквадратным прямоугольником). Если он имеет четыре линии отражательной симметрии, это квадрат .
Периметр параллелограмма равен 2( a + b ), где a и b — длины соседних сторон.
В отличие от любого другого выпуклого многоугольника, параллелограмм нельзя вписать в любой треугольник, площадь которого меньше удвоенной. ^[7]
Центры четырех квадратов, построенных либо внутри, либо снаружи на сторонах параллелограмма, являются вершинами квадрата. ^[8]
Если две прямые, параллельные сторонам параллелограмма, построены одновременно с диагональю, то параллелограммы, образованные на противоположных сторонах этой диагонали, равны по площади. ^[8]
Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника одинаковой площади.

Формула площади

Схема, показывающая, как параллелограмм можно преобразовать в форму прямоугольника. — Параллелограмм можно переставить в прямоугольник той же площади.

Все формулы площади четырехугольников общего вида применимы и к параллелограммам. Дальнейшие формулы специфичны для параллелограммов:

Параллелограмм с основанием b и высотой h можно разделить на трапецию и прямоугольный треугольник и перестроить в прямоугольник , как показано на рисунке слева. Это означает, что площадь параллелограмма такая же, как и у прямоугольника с тем же основанием и высотой:

K=bh.

Формулу площади основания × высоты также можно вывести, используя рисунок справа. Площадь K параллелограмма справа (синяя область) равна общей площади прямоугольника за вычетом площади двух оранжевых треугольников. Площадь прямоугольника равна

K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,

а площадь одного треугольника равна

K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,

Следовательно, площадь параллелограмма равна

K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.

Другая формула площади для двух сторон B и C и угла θ:

K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,

Площадь параллелограмма со сторонами B и C ( B ≠ C ) и углом $\gamma$ на пересечении диагоналей определяется выражением ^[9]

K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.

Если параллелограмм задан исходя из длин B и C двух смежных сторон вместе с длиной D ₁ любой диагонали, то площадь можно найти по формуле Герона . В частности, это

K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}

где $S=(B+C+D_{1})/2$ а ведущий множитель 2 обусловлен тем, что выбранная диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Из координат вершин

Пусть векторы $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}$ и пусть $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ обозначим матрицу с элементами a и b . Тогда площадь параллелограмма, порожденного a и b, равна $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$ .

Пусть векторы $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ и пусть $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}$ . Тогда площадь параллелограмма, порожденного a и b, равна ${\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}$ .

Пусть точки $a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}$ . Тогда подписанная площадь параллелограмма с вершинами a , b и c эквивалентна определителю матрицы, построенной с использованием a , b и c в виде строк с последним столбцом, дополненным единицами следующим образом:

K=\left|{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{matrix}}\right|.

Доказательство того, что диагонали делят друг друга пополам.

Параллелограмм ABCD — Parallelogram ABCD

Чтобы доказать, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, воспользуемся равными треугольниками :

\angle ABE\cong \angle CDE

(альтернативные внутренние углы равны по мере)

\angle BAE\cong \angle DCE

(альтернативные внутренние углы равны по мере) .

(поскольку это углы, которые образует трансверсаль с параллельными прямыми AB и DC ).

Кроме того, сторона AB равна длине стороны DC , поскольку противоположные стороны параллелограмма равны по длине.

Следовательно, треугольники ABE и CDE конгруэнтны (постулат ASA, два соответствующих угла и включённая сторона ).

Поэтому,

AE=CE

BE=DE.

Поскольку диагонали AC и BD делят друг друга на отрезки одинаковой длины, они делят друг друга пополам.

Отдельно, поскольку диагонали AC и BD делят друг друга пополам в точке E , точка E является серединой каждой диагонали.

Решетка параллелограммов

Параллелограммы могут замостить плоскость путем перемещения. Если края равны или углы прямые, симметрия решетки выше. Они представляют собой четыре решетки Браве в двух измерениях .

Решетки
Форма	Квадрат	Прямоугольник	Ромб	Ромбовидный
Система	Квадрат (четырехугольный)	Прямоугольный (орторомбический)	Центрированный прямоугольный (орторомбический)	Косой (моноклинный)
Ограничения	α=90°, а=б	α=90°	а=б	Никто
Симметрия	p4m, [4,4], порядок 8 n	pmm, [∞,2,∞], порядок 4 n		p1, [∞ ⁺,2,∞ ⁺], порядок 2 n
Форма

Параллелограммы, возникающие из других фигур

Автомедиан треугольник

Автомедианный треугольник — это треугольник, медианы которого находятся в тех же пропорциях, что и его стороны (хотя и в другом порядке). Если ABC — автомедианный треугольник, в котором вершина A стоит напротив стороны a , G — центр тяжести (где пересекаются три медианы ABC ), а AL — одна из расширенных медиан ABC, причем L лежит на описанной окружности ABC , то BGCL — параллелограмм.

Параллелограмм Вариньона

Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, называемого его параллелограммом Вариньона . Если четырехугольник выпуклый или вогнутый (то есть не самопересекающийся), то площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырехугольника.

Доказательство без слов (см. рисунок):

Произвольный четырёхугольник и его диагонали.
Основания подобных треугольников параллельны синей диагонали.
То же самое и с красной диагональю.
Пары оснований образуют параллелограмм, у которого половина площади четырехугольника A _q равна сумме площадей четырех больших треугольников A _l равна 2 A _q (каждая из двух пар восстанавливает четырехугольник), а площадь маленького треугольников, A _s — это четверть A _l (полулинейные размеры дают четверть площади), а площадь параллелограмма равна A _q минус A _s .

Касательный параллелограмм эллипса

Для эллипса два диаметра называются сопряженными тогда и только тогда, когда касательная к эллипсу в конечной точке одного диаметра параллельна другому диаметру. Каждая пара сопряженных диаметров эллипса имеет соответствующий касательный параллелограмм , иногда называемый ограничивающим параллелограммом, образованный касательными линиями к эллипсу в четырех конечных точках сопряженных диаметров. Все касательные параллелограммы к данному эллипсу имеют одинаковую площадь.

можно восстановить Эллипс по любой паре сопряженных диаметров или по любому касательному параллелограмму.

Грани параллелепипеда

Параллелепипед . — трехмерная фигура, шесть граней которой являются параллелограммами

См. также

Ссылки

^ «CIMT — страница больше недоступна на серверах Плимутского университета» (PDF) . www.cimt.plymouth.ac.uk . Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2014 г.
^ Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдра Смельцер , Методы евклидовой геометрии , Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 51-52.
^ Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения», Information Age Publishing, 2008, стр. 22.
^ Чен, Чжибо и Лян, Тянь. «Обратная теорема Вивиани», The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, стр. 390–391.
^ Задача 5, Британская математическая олимпиада 2006 г. , [1] .
^ Данн, Дж. А. и Дж. Э. Претти, «Разделение треугольника пополам», Mathematical Gazette 56, май 1972 г., стр. 105.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Описание треугольника» . Математический мир Вольфрама .
^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Параллелограмм». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Parallelogram.html
^ Митчелл, Дуглас В., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette , июль 2009 г.

Внешние ссылки

Параллелограмм и Ромб - Анимационный курс (Построение, Окружность, Площадь)
Вайсштейн, Эрик В. «Параллелограмм» . Математический мир .
Интерактивный параллелограмм — стороны, углы и наклон.
Площадь параллелограмма при разрезании узла
Равносторонние треугольники на сторонах параллелограмма при разрезании узла
Определение и свойства параллелограмма с анимированным апплетом
расчета площади параллелограмма Интерактивный апплет, показывающий интерактивный апплет

[1] «CIMT — страница больше недоступна на серверах Плимутского университета» (PDF) . www.cimt.plymouth.ac.uk . Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2014 г.

[2] Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдра Смельцер , Методы евклидовой геометрии , Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 51-52.

[3] Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения», Information Age Publishing, 2008, стр. 22.

[4] Чен, Чжибо и Лян, Тянь. «Обратная теорема Вивиани», The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, стр. 390–391.

[5] Задача 5, Британская математическая олимпиада 2006 г. , [1] .

[6] Данн, Дж. А. и Дж. Э. Претти, «Разделение треугольника пополам», Mathematical Gazette 56, май 1972 г., стр. 105.

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Описание треугольника» . Математический мир Вольфрама .

[Weisstein-8] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Параллелограмм». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Parallelogram.html

[9] Митчелл, Дуглас В., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette , июль 2009 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]