Параллелограммоид Леви-Чивита

Параллелограммоид Леви-Чивита

В математической области дифференциальной геометрии параллелограмм Леви-Чивита представляет собой четырехугольник. в искривленном пространстве , конструкция которого обобщает конструкцию параллелограмма на евклидовой плоскости . Он назван в честь своего первооткрывателя Туллио Леви-Чивита . Как и в параллелограмме, две противоположные стороны AA ′ и BB ′ параллелограмма параллельны (посредством параллельного переноса вдоль стороны AB ) и имеют одинаковую длину, но четвертая сторона A ′ B ′, как правило, не будет параллельна или той же длины, что и сторона АВ, хотя она будет прямой ( геодезической ).

Строительство

Параллелограмм в евклидовой геометрии можно построить следующим образом:

• Начните с отрезка прямой AB и еще одного отрезка прямой AA ′.
• Сдвиньте отрезок AA ′ вдоль AB до конечной точки B , сохраняя угол с AB постоянным и оставаясь в той же плоскости, что и точки A , A ′ и B .
• Пометьте конечную точку полученного отрезка B ′ так, чтобы этот отрезок был BB ′.
• прямую линию A′B Нарисуйте ′ .

В искривленном пространстве, таком как риманово многообразие или, в более общем плане, любое многообразие, снабженное аффинной связностью , понятие «прямой линии» обобщается до понятия геодезической . В подходящей окрестности (например, шаре в нормальной системе координат ) любые две точки можно соединить геодезической. Идея скольжения одной прямой вдоль другой уступает место более общему понятию параллельного транспорта . Таким образом, предполагая, что либо многообразие полно , либо построение происходит в подходящей окрестности, шаги для создания параллелограмма Леви-Чивита следующие:

• Начните с геодезической AB и еще одной геодезической AA ′. Предполагается, что эти геодезические параметризуются длиной дуги в случае риманова многообразия или несут выбор аффинного параметра в общем случае аффинной связности.
• «Сдвиньте» ( параллельный транспорт ) касательный вектор AA ′ от A к B .
• Результирующий касательный вектор в точке B генерирует геодезическую посредством экспоненциального отображения . Конец этой геодезической обозначим B ′, а саму геодезическую BB ′.
• Соедините точки A ′ и B ′ геодезической A ′ B ′.

Количественное отличие от параллелограмма

Длина этой последней построенной геодезической, соединяющей оставшиеся точки A ′ B ′, вообще говоря, может отличаться от длины основания AB . Эта разница измеряется тензором кривизны Римана . Чтобы точно сформулировать взаимосвязь, пусть AA ′ будет экспонентой касательного вектора X в точке A , а AB – касательного вектора Y в точке A. экспонентой Затем

$|A'B'|^{2}=|AB|^{2}+{\frac {8}{3}}\langle R(X,Y)X,Y\rangle +{\text{higher order terms}}$

где исключены члены более высокого порядка по длине сторон параллелограмма.

Дискретное приближение

Две ступеньки лестницы Шильда . Отрезки A ₁ X ₁ и A ₂ X ₂ являются аппроксимацией первого порядка параллельного переноса A 0 _вдоль X ₀ кривой.

Параллельный транспорт может быть дискретно аппроксимирован лестницей Шильда , которая аппроксимирует параллелограммы Леви-Чивита приближенными параллелограммами.

Ссылки

• Леви-Чивита, Туллио (1917), «Понятие параллелизма в любой разновидности и последующая геометрическая спецификация римановой кривизны» , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке), 42 : 173–205, doi : 10.1007/BF03014898 , JFM   46.1125.02 , S2CID   122088291
• Картан, Эли (1983), Геометрия римановых пространств , Math Sci Press, Массачусетс