Лестница Шильда

В общей теории относительности и дифференциальной геометрии в более общем плане лестница Шильда представляет собой метод первого порядка для аппроксимации параллельного переноса вектора вдоль кривой с использованием только аффинно параметризованных геодезических . Метод назван в честь Альфреда Шильда , который представил его во время лекций в Принстонском университете .

Строительство

Идея состоит в том, чтобы идентифицировать касательный вектор x в точке. $A_{0}$ с геодезическим отрезком единичной длины $A_{0}X_{0}$ , и построить приближенный параллелограмм с приблизительно параллельными сторонами $A_{0}X_{0}$ и $A_{1}X_{1}$ как приближение параллелограмма Леви-Чивита ; новый сегмент $A_{1}X_{1}$ таким образом, соответствует приблизительно параллельно переведенному касательному вектору в точке $A_{1}.$

Формально, рассмотрим кривую γ, проходящую через точку A ₀ в римановом многообразии M , и пусть x — касательный вектор в A ₀ . Тогда x можно отождествить с геодезическим сегментом A ₀ X ₀ с помощью экспоненциального отображения . Эта геодезическая σ удовлетворяет

\sigma (0)=A_{0}\,

\sigma '(0)=x.\,

Этапы строительства лестницы Шильда следующие:

Пусть X ₀ = σ(1), поэтому геодезический отрезок $A_{0}X_{0}$ имеет единичную длину.
Пусть теперь A ₁ — точка на γ, близкая к A ₀ , и построим геодезическую X ₀ A ₁ .
Пусть P ₁ будет средней точкой X ₀ A ₁ в том смысле, что отрезки X ₀ P ₁ и P ₁ A ₁ принимают для прохождения одинаковый аффинный параметр.
Постройте геодезическую A ₀ P ₁ и продолжите ее до точки X ₁ так, чтобы длина параметра A ₀ X ₁ была вдвое больше длины параметра A ₀ P ₁ .
Наконец построим геодезическую A ₁ X ₁ . Касательная к этой геодезической x ₁ является тогда параллельным переносом X ₀ в A ₁ , по крайней мере, до первого порядка.

Приближение

Это дискретное приближение непрерывного процесса параллельного транспорта. Если окружающее пространство плоское, это именно параллельный транспорт, и ступени определяют параллелограммы , которые согласуются с параллелограммоидом Леви-Чивита .

В искривленном пространстве ошибка определяется голономией вокруг треугольника. $A_{1}A_{0}X_{0},$ который равен интегралу кривизны по внутренней части треугольника по теореме Амброуза-Зингера ; это форма теоремы Грина (интеграл вокруг кривой, связанной с интегралом по внутренней части), а в случае соединений Леви-Чивита на поверхностях - теоремы Гаусса – Бонне .

Примечания

Лестница Шильда требует не только геодезических, но и относительного расстояния по геодезическим. Относительное расстояние может быть обеспечено путем аффинной параметризации геодезических, на основе которой могут быть определены требуемые средние точки.
Параллельный транспорт, построенный по лестнице Шильда, обязательно без кручения .
Для построения геодезических не требуется риманова метрика. Но если геодезические создаются из римановой метрики, параллельный транспорт, который строится в пределе с помощью лестницы Шильда, такой же, как соединение Леви-Чивита, поскольку это соединение определяется как соединение без кручения.

Ссылки

Хейфец, Аркадий; Миллер, Уорнер А.; Ньютон, Грегори А. (2000), «Процедура параллельного переноса лестницы Шильда для произвольного соединения», International Journal of Theoretical Physics , 39 (12): 2891–2898, doi : 10.1023/A:1026473418439 , S2CID 117503563 .
Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0