Квадратриса

В геометрии квадратриса ординаты (от латинскогоквадратора кривая «квадрат») — это , являются которой мерой площади (или квадратуры) другой кривой. Двумя наиболее известными кривыми этого класса являются кривые Динострата и Э.В. Чирнхауса , которые обе связаны с кругом .

Квадратриса Динострата

Квадратриса Динострата (также называемая квадратрисой Гиппия ) была хорошо известна древнегреческим геометрам и упоминается Проклом , который приписывает изобретение кривой современнику Сократа , вероятно, Гиппию из Элиды . Динострат, греческий геометр и ученик Платона , обсудил кривую и показал, как она влияет на механическое решение квадратуры круга . Папп в своих «Коллекциях » рассматривает его историю и дает два метода, с помощью которых он может быть создан.

Пусть спираль нарисована на прямом круговом цилиндре ; Затем винтовая поверхность получается путем рисования линий из каждой точки этой спирали, перпендикулярных ее оси. Ортогональная проекция сечения этой поверхности плоскостью, содержащей один из перпендикуляров и наклоненной к оси, является квадратрисой.
Прямой цилиндр, имеющий в основании спираль Архимеда, пересекается прямым круговым конусом , ось которого проходит через начальную точку спирали. Из каждой точки кривой пересечения к оси проведены перпендикуляры. Любое плоское сечение винтовой (плектоидной поверхности Паппа), полученной таким образом, является квадратрисой.

Другая конструкция заключается в следующем. $DAB$ – это квадрант , в котором линия $DA$ и дуга $DB$ разделены на одинаковое количество равных частей. От центра квадранта к точкам разделения дуги проведены радиусы, и эти радиусы пересекаются линиями, проведенными АВ параллельно $и$ через соответствующие точки на радиусе $DA$ . Геометрическим местом этих пересечений является квадратриса.

Квадратриса Динострата с центральной частью, окруженной бесконечными ветвями.

Пусть $A$ — начало декартовой системы координат , $D$ — точка $(a, 0)$ , $a$ в единицах от начала координат по $оси x$ , а $B$ — точка $(0, a)$ , $a$ в единицах от начала координат по оси x. $y$ -ось, сама кривая может быть выражена уравнением ^[1]

y=x\cot \left({\frac {\pi x}{2a}}\right).

Поскольку котангенса функция инвариантна при отрицании своего аргумента и имеет простой полюс для каждого значения, кратного $π$ , квадратриса имеет симметрию отражения относительно $оси y$ и аналогичным образом имеет полюс для каждого значения $x$ в форме $x = 2. na$ для целых значений $n$ , за исключением $x = 0$ , где полюс котангенса сокращается на коэффициент $x$ в формуле для квадратрисы. Эти полюса делят кривую на центральную часть, окруженную бесконечными ветвями. Точка, где кривая пересекает $ось y$ , имеет $y = 2 a/π$ ; следовательно, если бы можно было точно построить кривую, можно было бы построить отрезок, длина которого была бы рациональным кратным $1/ π$ , что привело бы к решению классической проблемы квадратуры круга . Поскольку это невозможно с помощью циркуля и линейки , квадратрису, в свою очередь, невозможно построить с помощью циркуля и линейки.Точное построение квадратрисы также позволило бы решить две другие классические задачи, которые, как известно, невозможно решить с помощью циркуля и линейки: удвоение куба и трисекция угла .

Квадратриса Чирнхауса

Квадратриса Чирнхауса ^[2] строится путем деления дуги и радиуса квадранта на то же количество равных частей, что и раньше. Взаимные пересечения линий, проведенных из точек деления дуги, параллельной DA , и прямых, проведенных параллельно AB через точки разделения DA , являются точками на квадратрисе. Декартово уравнение $y=a\cos \!{\big (}{\tfrac {\pi x}{2a}}{\big )}$ . Кривая периодическая и пересекает ось x в точках $x=(2n-1)a$ , $n$ быть целым числом; максимальные значения $y$ являются $a$ . Его свойства аналогичны свойствам квадратрисы Динострата.

Другие квадратрисы

Другие кривые, которые исторически использовались для квадратуры круга, включают спираль Архимеда и улитку .

Ссылки

В эту статью включен текст из публикации, которая сейчас находится в свободном доступе : Чисхолм, Хью , изд. (1911). « Квадратриса ». Британская энциклопедия . Том. 22 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 706.

^ «Квадратриса Динослота» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ См. определение и рисунок в следующем онлайн-источнике: Хаттон К. (1815 г.). Философско-математический словарь, содержащий... Воспоминания о жизни и сочинениях наиболее выдающихся авторов . Том. 2. Лондон. стр. 271–272.

Внешние ссылки

Квадратриса Гиппия. Архивировано 4 февраля 2012 г. на Wayback Machine в архиве MacTutor .
Квадратриса Гиппия в состоянии конвергенции (периодическое издание MAA)

[1] «Квадратриса Динослота» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[2] См. определение и рисунок в следующем онлайн-источнике: Хаттон К. (1815 г.). Философско-математический словарь, содержащий... Воспоминания о жизни и сочинениях наиболее выдающихся авторов . Том. 2. Лондон. стр. 271–272.

[1]

[2]