Конфигурация Мёбиуса

Пример конфигурации Мёбиуса с показанными гранями каждого цветного тетраэдра.

  Координаты вершины: $(0,0,0),$ $(0,0,1),$ $(0,1,0),$ $(1,0,0).$

  Координаты вершины: $\left(0,-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),$ $\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0,-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),$ $\left(-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0\right),$ $\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}\right).$

В геометрии или конфигурация Мёбиуса тетрады Мёбиуса — это определенная конфигурация в евклидовом пространстве или проективном пространстве , состоящая из двух тетраэдров , которые взаимно вписаны : каждая вершина одного тетраэдра лежит на грани другого тетраэдра и наоборот. Таким образом, для полученной системы из восьми точек и восьми плоскостей каждая точка лежит на четырех плоскостях (три плоскости, определяющие ее как вершину тетраэдра, и четвертая плоскость от другого тетраэдра, на котором она лежит), и каждая плоскость содержит четыре точки (три вершины тетраэдра его грани и вершина другого тетраэдра, лежащего на ней).

Теорема Мёбиуса

Конфигурация названа в честь Августа Фердинанда Мёбиуса , который в 1828 году доказал, что если два тетраэдра обладают свойством, заключающимся в том, что семь их вершин лежат на соответствующих гранях другого тетраэдра, то восьмая вершина также лежит в плоскости соответствующей ему грани, образуя конфигурацию такого типа. Эта теорема об инцидентности верна в более общем плане в трехмерном проективном пространстве тогда и только тогда, когда теорема Паппа для этого пространства справедлива ( Райдемайстер , Шенхардт ), и она верна для трехмерного пространства, моделируемого на основе тела, тогда и только тогда, когда кольцо удовлетворяет коммутативному закону и, следовательно, является полем (Ад-Захир). В соответствии с проективной двойственностью результат Мёбиуса эквивалентен утверждению, что если семь из восьми граней двух тетраэдров содержат соответствующие вершины другого тетраэдра, то восьмая грань также содержит ту же вершину.

Строительство

Коксетер (1950) описывает простую конструкцию конфигурации. Начав с произвольной точки p в евклидовом пространстве, пусть A, B, C, D — четыре плоскости, проходящие через точку p , никакие три из которых не имеют общей линии пересечения, и разместим шесть точек q, r, s, t, u, v. на шести прямых, образованных попарным пересечением этих плоскостей так, что никакие четыре из этих точек не лежат в одной плоскости. Для каждой из плоскостей A, B, C, D четыре из семи точек p, q, r, s, t, u, v лежат на этой плоскости и три не пересекаются с ней; образуют плоскости A', B', C', D' через тройки точек, не пересекающиеся с A, B, C, D соответственно. Тогда, согласно двойственной форме теоремы Мёбиуса, эти четыре новые плоскости встречаются в одной точке w . Восемь точек p, q, r, s, t, u, v, w и восемь плоскостей A, B, C, D, A', B', C', D' образуют пример конфигурации Мёбиуса.

Связанные конструкции

Гильберт и Кон-Фоссен (1952) утверждают (без ссылок), что существует пять конфигураций, имеющих восемь точек и восемь плоскостей с четырьмя точками на каждой плоскости и четырьмя плоскостями, проходящими через каждую точку, которые реализуемы в трехмерном пространстве. Евклидово пространство: такие конфигурации имеют сокращенное обозначение 8 ₄ . Они, должно быть, получили информацию из статьи Эрнста Стейница ( 1910 ). Фактически это означает, в зависимости от результатов П. Мута ( 1892 ), Г. Бауэра ( 1897 ) и В. Мартинетти ( 1897 ), что существует пять конфигураций 8 ₄ со свойством, что не более двух плоскостей имеют две общие точки. , и двойственно не более двух точек являются общими для двух плоскостей. (Это условие означает, что каждые три точки могут быть неколлинеарны, а двойственно три плоскости могут не иметь общей линии.) Однако существует десять других 8 ₄ конфигураций, которые не имеют этого условия, и все пятнадцать конфигураций реализуемы в реальной жизни. трехмерное пространство. Интерес представляют конфигурации с двумя тетраэдрами, каждый из которых вписывается и описывает другой, и это именно те конфигурации, которые удовлетворяют указанному выше свойству. Таким образом, существует пять конфигураций с тетраэдрами, и они соответствуют пяти классам сопряжения симметрической группы. С ₄ . Перестановку четырех точек одного тетраэдра S = ABCD в себя можно получить следующим образом: каждая точка P из S находится на плоскости, содержащей три точки второго тетраэдра T . При этом остается другая точка T , которая находится в трех точках плоскости S остается еще одна точка Q из S , и поэтому перестановка отображает P → Q. , Пять классов сопряженности имеют представителей e, (12)(34), (12), (123), (1234), и из них конфигурация Мёбиуса соответствует классу сопряженности e . Его можно было бы обозначить Ке . Стейниц утверждает, что если двумя дополнительными тетраэдрами Ke являются A ₀ , B ₀ , C ₀ , D ₀ и A ₁ , B ₁ , C ₁ , D _1, то восемь плоскостей задаются A _i , B _j , C _k , D _l с i + j + k + l нечетным, а четные суммы и их дополнения соответствуют всем парам дополнительных тетраэдров, которые входят и описывают в модели Ке .

Также Стейниц утверждает, что единственная S4 _, которая является геометрической теоремой, — это конфигурация Мёбиуса. Однако это оспаривается: Глинн (2010) с помощью компьютерного поиска и доказательств показывает, что существует ровно два S ₄ , которые на самом деле являются «теоремами»: конфигурация Мёбиуса и еще одна. Последнее (что соответствует классу сопряженности (12)(34) выше) также является теоремой для всех трехмерных проективных пространств над полем , но не над общим телом . Между этими двумя конфигурациями есть и другие близкие сходства, включая тот факт, что обе являются самодвойственными в соответствии с дуальностью Матроида . Говоря абстрактно, последняя конфигурация имеет «точки» 0, ..., 7 и «плоскости» 0125 + i , ( i = 0, ..., 7) , где эти целые числа равны по модулю восемь. Эту конфигурацию, как и Мёбиуса, можно также представить в виде двух тетраэдров, взаимно вписанных и описанных: в целочисленном представлении тетраэдры могут быть 0347 и 1256 . Однако эти две конфигурации S ₄ неизоморфны, поскольку у Мёбиуса есть четыре пары непересекающихся плоскостей, а у последней нет непересекающихся плоскостей. По той же причине (а также потому, что пары плоскостей являются вырожденными квадратичными поверхностями), конфигурация Мёбиуса находится на более квадратичных поверхностях трехмерного пространства, чем последняя конфигурация.

Граф Леви конфигурации Мёбиуса имеет 16 вершин, по одной для каждой точки или плоскости конфигурации, с ребром для каждой инцидентной пары точка-плоскость. Он изоморфен 16-вершинному графу гиперкуба Q ₄ . Близкородственная конфигурация, конфигурация Мёбиуса-Кантора, образованная двумя взаимно вписанными четырехугольниками, имеет граф Мёбиуса-Кантора , подграф Q ₄ , в качестве графа Леви.

Ссылки

• Аль-Дахир, М.В. (1956), «Класс конфигураций и коммутативность умножения», The Mathematical Gazette , 40 (334), The Mathematical Association: 241–245, doi : 10.2307/3609605 , JSTOR   3609605 .
• Бауэр, Густав (1897), «О двух тетраэдрах, которые одновременно вписаны и описаны друг другу» , труды Королевской Баварской академии наук, Математико-физический класс (на немецком языке), 27 (2): 359–366 .
• Коксетер, HSM (1950), «Самодвойственные конфигурации и регулярные графы», Бюллетень Американского математического общества , 56 (5): 413–455, doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5 , MR   0038078 .
• Глинн, Д.Г. (2010), «Теоремы о точках и плоскостях в трехмерном проективном пространстве», Журнал Австралийского математического общества , 88 : 75–92, doi : 10.1017/S1446788708080981 .
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Челси, с. 184, ISBN  0-8284-1087-9 .
• , В. (1897), «Конфигурации (8 _4,8 4 _{Мартинетти} ) точек и плоскостей» , Giornale di Matematiche di Battaglini (на итальянском языке), 35 : 81–100 .
• Мёбиус А. Ф. (1828 г.): «Можно ли сказать, что каждая из двух трехсторонних пирамид переписана и вписана одновременно по отношению к другой?» , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 3 : 273–278 . В собрании сочинений (1886), т. 1, стр. 439–446.
• Мут, П. (1892), «О тетраэдрических парах» , Журнал математики и физики (на немецком языке), 37 : 117–122 .
• Райдемайстер, К. (1929), «Об аксиоматике трехмерной проективной геометрии» , задачи и решения, годовой отчет Ассоциации немецких математиков (на немецком языке), 38 : 71 .
• Райдемайстер, К. (1931), «Задача 63 (изложена в годовом отчете DMV 38 (1929), 71, выделена курсивом). Решение Э. Шенхардта» , Задачи и решения, Годовой отчет Ассоциации немецких математиков , 40 : 48 –50 .
• Стейниц, Эрнст (1910), «Конфигурации проективной геометрии. 6. Конфигурации точек и плоскостей», Энциклопедия математических наук , 3-1-1 AB 5a: 492–494, doi : 10.1007/978-3-663-16027 -4_7 .