Резольвентный формализм

В математике резольвентный формализм — это метод применения концепций комплексного анализа к изучению спектра операторов в и банаховых пространствах более общих пространствах. Формальное обоснование манипуляций можно найти в рамках голоморфного функционального исчисления .

Резольвента структуре фиксирует спектральные свойства оператора в аналитической функционала . Учитывая оператор $A$ , резольвента может быть определена как

R(z;A)=(A-zI)^{-1}~.

Помимо прочего, резольвента может использоваться для решения неоднородных интегральных уравнений Фредгольма ; обычно используемый подход - это решение ряда, ряд Лиувилля – Неймана .

Резольвента $A$ может использоваться для непосредственного получения информации о спектральном разложении. А. $$ Например, предположим, $что λ$ — изолированное собственное значение в спектр А. $$ То есть предположим, что существует простая замкнутая кривая $C_{\lambda }$ в комплексной плоскости, отделяющей $λ$ от остального спектра $A$ .Тогда остаток

-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{\lambda }}(A-zI)^{-1}~dz

определяет оператор проектирования на $λ$ собственное пространство оператора $A$ . Теорема Хилле-Йосиды связывает резольвенту через преобразование Лапласа с интегралом по однопараметрической группе преобразований, порожденной $A$ . ^[1] Так, например, если $A$ — косоэрмитова матрица , то $U (t) = exp(tA)$ — однопараметрическая группа унитарных операторов. В любое время $|z|>\|A\|$ резольвента A в точке z может быть выражена как преобразование Лапласа

R(z;A)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}U(t)~dt,

где интеграл берется по лучу $\arg t=-\arg \lambda$ . ^[2]

История

Первое крупное использование резольвентного оператора как ряда в $A$ (ср. ряд Лиувилля-Неймана ) было сделано Иваром Фредхольмом в знаковой статье 1903 года в Acta Mathematica, которая помогла создать современную теорию операторов .

Название резольвента было дано Дэвидом Гильбертом .

Резолютивная идентичность

Для всех $z, w$ в $ρ (A)$ , резольвентном множестве оператора $A$ , мы имеем, что выполняется первое резольвентное тождество (также называемое тождеством Гильберта): ^[3]

R(z;A)-R(w;A)=(z-w)R(z;A)R(w;A)\,.

(Обратите внимание, что цитированные Данфорд и Шварц определяют резольвенту как $(zI -A) -1$ вместо этого, так что приведенная выше формула отличается от их знака.)

Второе тождество резольвенты является обобщением первого тождества резольвенты, приведенного выше, и полезно для сравнения резольвент двух разных операторов. Учитывая операторы $A$ и $B$ , определенные в одном и том же линейном пространстве, и $z$ в $ρ (A) \cap ρ (B),$ выполняется следующее тождество: ^[4]

R(z;A)-R(z;B)=R(z;A)(B-A)R(z;B)\,.

Однострочное доказательство выглядит следующим образом:

(A-zI)^{-1}-(B-zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}((B-zI)-(A-zI))(B-zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}(B-A)(B-zI)^{-1}\,.

Компактная резольвента

При изучении замкнутого неограниченного оператора $A$ : $H$ → $H$ в гильбертовом пространстве $H$ , если существует $z\in \rho (A)$ такой, что $R(z;A)$ — компактный оператор , мы говорим, что $A$ имеет компактную резольвенту. Спектр $\sigma (A)$ такого $A$ является дискретным подмножеством $\mathbb {C}$ . Если, кроме того, $самосопряжен$ , A то $\sigma (A)\subset \mathbb {R}$ и существует ортонормированный базис $\{v_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ собственных векторов оператора $A$ с собственными значениями $\{\lambda _{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ соответственно. Также, $\{\lambda _{i}\}$ не имеет конечной точки накопления . ^[5]

См. также

Ссылки

^ Тейлор, раздел 9 Приложения A.
^ Хилле и Филлипс, Теорема 11.4.1, с. 341
^ Данфорд и Шварц, Том I, Лемма 6, с. 568.
^ Хилле и Филлипс, Теорема 4.8.2, с. 126
^ Тейлор, с. 515.

Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988), Линейные операторы, Часть I, Общая теория , Хобокен, Нью-Джерси: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3
Фредхольм, Эрик И. (1903), «Об одном классе функциональных уравнений» (PDF) , Acta Mathematica , 27 : 365–390, doi : 10.1007/bf02421317
Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1957), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1031-6 .
Като, Тосио (1980), Теория возмущений для линейных операторов (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07558-5 .
Тейлор, Майкл Э. (1996), Уравнения в частных производных I , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 7-5062-4252-4

[1] Тейлор, раздел 9 Приложения A.

[2] Хилле и Филлипс, Теорема 11.4.1, с. 341

[3] Данфорд и Шварц, Том I, Лемма 6, с. 568.

[4] Хилле и Филлипс, Теорема 4.8.2, с. 126

[5] Тейлор, с. 515.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]