Теорема Люмера – Филлипса

В математике теорема Люмера-Филлипса, названная в честь Гюнтера Люмера и Ральфа Филлипса , представляет собой результат теории сильно непрерывных полугрупп , который дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы линейный оператор в банаховом пространстве порождал сжимающую полугруппу .

Формулировка теоремы

Пусть A — линейный оператор определенный на линейном подпространстве D ( A ) банахова пространства X. , Тогда A порождает сжимающую полугруппу тогда и только тогда, когда ^{[ 1 ]}

D ( A ) плотно в X ,
A является диссипативным , и
A − λ ₀ I сюръективен для некоторого λ ₀ > 0, где I обозначает тождественный оператор .

Оператор, удовлетворяющий двум последним условиям, называется максимально диссипативным.

Варианты теоремы

Рефлексивные пространства

Пусть A — линейный оператор определенный на линейном подпространстве D ( A ) рефлексивного банахова пространства X. , Тогда A порождает сжимающую полугруппу тогда и только тогда, когда ^{[ 2 ]}

A является диссипативным , и
A − λ ₀ I сюръективен для некоторого λ ₀ > 0 , где I обозначает тождественный оператор .

Обратите внимание, что условия D ( A плотности ) и замкнутости A опущены по сравнению с нерефлексивным случаем. Это происходит потому, что в рефлексивном случае они вытекают из двух других условий.

Диссипативность сопряженного

Пусть A — линейный оператор, на плотном линейном подпространстве D ( A ) рефлексивного банахова пространства X. определенный Тогда A порождает сжимающую полугруппу тогда и только тогда, когда ^{[ 3 ]}

A замкнут , и как A , так и сопряженный к нему оператор A ^∗ являются диссипативными .

В случае, если X не рефлексивно, то это условие для того, чтобы A порождало сжимающую полугруппу, все еще достаточно, но не является необходимым. ^{[ 4 ]}

Полугруппы квазисжатия

Пусть A — линейный оператор определенный на линейном подпространстве D ( A ) банахова пространства X. , Тогда A порождает квазисжимающую полугруппу тогда и только тогда, когда

D ( A ) плотно в X ,
А закрыто ,
A существует ω ≥ 0 такое, что A − ωI диссипативно является квазидиссипативным, т.е. , и
A − λ ₀ I сюръективен для некоторого λ ₀ > ω , где I обозначает тождественный оператор .

Примеры

Рассмотрим H = L ²([0, 1]; R ) со своим обычным скалярным произведением, и пусть Au = u ′ с областью определения D ( A ), равной тем функциям u в пространстве Соболева H ¹([0, 1]; R ) с u (1) = 0. D ( A ) плотно. Более того, для каждого u в D ( A )

\langle u,Au\rangle =\int _{0}^{1}u(x)u'(x)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}u(0)^{2}\leq 0,

так что A диссипативна. Обыкновенное дифференциальное уравнение u' − λu = f , u (1) = 0 имеет единственное решение u в H ¹([0, 1]; R ) для любого f из L ²([0, 1]; R ), а именно

u(x)={\rm {e}}^{\lambda x}\int _{1}^{x}{\rm {e}}^{-\lambda t}f(t)\,dt

так что условие сюръективности выполнено. Следовательно, по рефлексивной версии теоремы Люмера–Филлипса A порождает сжимающую полугруппу.

Есть еще много примеров, когда прямое применение теоремы Люмера–Филлипса дает желаемый результат.

В сочетании с теорией перевода, масштабирования и возмущений теорема Люмера-Филлипса является основным инструментом, показывающим, что некоторые операторы порождают сильно непрерывные полугруппы . Ниже приводится пример.

Нормальный оператор (оператор, коммутирующий со своим сопряженным) в гильбертовом пространстве порождает сильно непрерывную полугруппу тогда и только тогда, когда его спектр ограничен сверху. ^{[ 5 ]}

Примечания

^ Теорема Энгеля и Нагеля II.3.15, Арендт и др. Теорема 3.4.5, Теорема Стаффана 3.4.8.
^ Следствие Энгеля и Нагеля II.3.20
^ Теорема Энгеля и Нагеля II.3.17, теорема Стаффана 3.4.8
^ В литературе действительно появляются утверждения, которые заявляют об эквивалентности также и в нерефлексивном случае (например, Ло, Го, Моргул, следствие 2.28), но они ошибочны.
^ Упражнение Энгеля и Нагеля II.3.25 (ii)

Ссылки

Люмер, Гюнтер и Филлипс, RS (1961). «Диссипативные операторы в банаховом пространстве» . Пасифик Дж. Математика . 11 : 679–698. дои : 10.2140/pjm.1961.11.679 . ISSN 0030-8730 .
Ренарди, Майкл и Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ИСБН 0-387-00444-0 .
Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000), Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений , Спрингер
Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), Векторные преобразования Лапласа и задачи Коши , Биркхаузер
Стаффанс, Олоф (2005), Корректные линейные системы , Издательство Кембриджского университета
Ло, Чжэн-Хуа; Го, Бао-Чжу; Моргул, Омер (1999), Устойчивость и стабилизация бесконечномерных систем с приложениями , Springer

[1] Теорема Энгеля и Нагеля II.3.15, Арендт и др. Теорема 3.4.5, Теорема Стаффана 3.4.8.

[2] Следствие Энгеля и Нагеля II.3.20

[3] Теорема Энгеля и Нагеля II.3.17, теорема Стаффана 3.4.8

[4] В литературе действительно появляются утверждения, которые заявляют об эквивалентности также и в нерефлексивном случае (например, Ло, Го, Моргул, следствие 2.28), но они ошибочны.

[5] Упражнение Энгеля и Нагеля II.3.25 (ii)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]