Jump to content

Диссипативный оператор

В математике диссипативный оператор это линейный оператор A, определенный на линейном подпространстве D ( A ) банахова пространства X , принимающий значения в X такие, что для всех λ > 0 и всех x D ( A )

Ниже приведены несколько эквивалентных определений. Диссипативный оператор называется максимально диссипативным, если он диссипативен и для всех λ > 0 оператор λI A является сюръективным, что означает, что диапазон значений при применении к области D представляет собой все пространство X .

Оператор, подчиняющийся аналогичному условию, но со знаком плюс вместо знака минус (т. е. отрицание диссипативного оператора), называется аккретивным оператором . [1]

Основное значение диссипативных операторов заключается в их появлении в теореме Люмера–Филлипса , характеризующей максимально диссипативные операторы как генераторы сжимающих полугрупп .

Характеристики

[ редактировать ]

Диссипативный оператор обладает следующими свойствами: [2]

  • Из приведенного выше неравенства мы видим, что для любого x в области определения A , если ‖ x ‖ ≠ 0, то поэтому ядро ​​λI поэтому A представляет собой просто нулевой вектор , и λI A инъективен неравенство и имеет обратный для всех λ > 0. (Если у нас есть строгое для всех ненулевых x в области, то по неравенству треугольника , откуда следует, что A само имеет обратное.) Тогда мы можем утверждать, что
для всех z в диапазоне λI A . Это то же неравенство, что и приведенное в начале статьи, с (Мы могли бы с тем же успехом записать это как что должно выполняться для любого положительного κ.)
  • λI A сюръективен ρ для некоторого λ > 0 тогда и только тогда, когда он сюръективен для всех λ > 0. (Это вышеупомянутый максимально диссипативный случай.) В этом случае (0, ∞) ⊂ ( A ) ( резольвентное множество A ) .
  • A является замкнутым оператором тогда и только тогда, когда область значений λI A замкнута для некоторого (эквивалентно: для всех) λ > 0.

Эквивалентные характеристики

[ редактировать ]

Определим множество двойственности x X , подмножество двойственного пространства X' к X , с помощью

По теореме Хана–Банаха это множество непусто. [3] В случае гильбертова пространства (с использованием канонической двойственности между гильбертовым пространством и двойственным к нему) оно состоит из единственного элемента x . [4] В более общем смысле, если X — банахово пространство со строго выпуклым двойственным пространством, то J ( x ) состоит из одного элемента. [5] Используя эти обозначения, A является диссипативным тогда и только тогда, когда [6] для всех x D ( A ) существует x ' ∈ J ( x ) такой, что

В случае гильбертовых пространств это становится для всех x в D ( A ). Поскольку это неположительно, мы имеем

Поскольку I−A имеет инверсию, это означает, что является сокращением и, в более общем плане, является сжатием для любого положительного λ. Полезность этой формулировки состоит в том, что если этот оператор является сжатием для некоторого положительного λ, то A диссипативно. Нет необходимости доказывать, что это сжатие для всех положительных λ (хотя это верно), в отличие от (λI−A) −1 которое необходимо доказать, что оно является сжатием для всех положительных значений λ.

поэтому A — диссипативный оператор.
  • Поскольку областью определения оператора A (матрицы) является все евклидово пространство, он диссипативен тогда и только тогда, когда A + A * (сумма оператора A и сопряженного к нему ) не имеет положительного собственного значения и (следовательно) все такие операторы максимально диссипативны. Этот критерий следует из того, что действительная часть который должен быть неположителен для любого x , равен Поэтому собственные значения этой квадратичной формы должны быть неположительными. (Тот факт, что реальная часть должно быть неположительным, подразумевает, что действительные части собственных значений A должны быть неположительными, но этого недостаточно. Например, если то его собственные значения отрицательны, но собственные значения A + A * равны −5 и 1, поэтому A не является диссипативным.) Эквивалентное условие состоит в том, что для некоторого (и, следовательно, любого) положительного имеет обратный и оператор является сокращением (то есть оно либо уменьшает, либо оставляет неизменной норму своего операнда). Если производная по времени точки x в пространстве равна Ax , то эволюцией во времени управляет полугруппа сжатия , которая постоянно уменьшает норму (или, по крайней мере, не позволяет ей увеличиваться). (Однако обратите внимание, что если областью определения A является собственное подпространство, то A не может быть максимально диссипативным, поскольку диапазон не будет иметь достаточно высокой размерности.)
  • Рассмотрим H = L 2 ([0, 1]; R ) со своим обычным скалярным произведением, и пусть Au = u ′ (в данном случае слабая производная ) с областью определения D ( A ), равной этим функциям u в пространстве Соболева с u (1) = 0. D ( A ) плотно в L 2 ([0, 1]; Р ). Более того, для любого u из D ( A ), используя интегрирование по частям ,
Следовательно, A — диссипативный оператор. существует решение ( почти всюду Более того, поскольку в D ) задачи для любого f из H оператор A максимально диссипативен. Обратите внимание, что в случае такой бесконечной размерности диапазоном может быть все банахово пространство, даже если областью определения является только его собственное подпространство.
поэтому лапласиан является диссипативным оператором.

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ «Диссипативный оператор» . Энциклопедия математики .
  2. ^ Предложение Энгеля и Нагеля II.3.14
  3. ^ Из теоремы следует, что для данного x существует непрерывный линейный функционал φ со свойством φ( x )=‖ x ‖, с нормой φ, равной 1. Мы отождествляем ‖ x ‖φ с x'.
  4. ^ Упражнение Энгеля и Нагеля II.3.25i
  5. ^ Пример Энгеля и Нагеля II.3.26
  6. ^ Предложение Энгеля и Нагеля II.3.23
  • Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000). Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений . Спрингер.
  • Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ИСБН  0-387-00444-0 . (Определение 12.25)
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ef0fb8abbbfe3f0b7363de85f49711f7__1707279540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ef/f7/ef0fb8abbbfe3f0b7363de85f49711f7.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Dissipative operator - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)