Диссипативный оператор
В математике — диссипативный оператор это линейный оператор A, определенный на линейном подпространстве D ( A ) банахова пространства X , принимающий значения в X такие, что для всех λ > 0 и всех x ∈ D ( A )
Ниже приведены несколько эквивалентных определений. Диссипативный оператор называется максимально диссипативным, если он диссипативен и для всех λ > 0 оператор λI − A является сюръективным, что означает, что диапазон значений при применении к области D представляет собой все пространство X .
Оператор, подчиняющийся аналогичному условию, но со знаком плюс вместо знака минус (т. е. отрицание диссипативного оператора), называется аккретивным оператором . [1]
Основное значение диссипативных операторов заключается в их появлении в теореме Люмера–Филлипса , характеризующей максимально диссипативные операторы как генераторы сжимающих полугрупп .
Характеристики
[ редактировать ]Диссипативный оператор обладает следующими свойствами: [2]
- Из приведенного выше неравенства мы видим, что для любого x в области определения A , если ‖ x ‖ ≠ 0, то поэтому ядро λI поэтому − A представляет собой просто нулевой вектор , и λI − A инъективен неравенство и имеет обратный для всех λ > 0. (Если у нас есть строгое для всех ненулевых x в области, то по неравенству треугольника , откуда следует, что A само имеет обратное.) Тогда мы можем утверждать, что
- для всех z в диапазоне λI − A . Это то же неравенство, что и приведенное в начале статьи, с (Мы могли бы с тем же успехом записать это как что должно выполняться для любого положительного κ.)
- λI − A сюръективен ρ для некоторого λ > 0 тогда и только тогда, когда он сюръективен для всех λ > 0. (Это вышеупомянутый максимально диссипативный случай.) В этом случае (0, ∞) ⊂ ( A ) ( резольвентное множество A ) .
- A является замкнутым оператором тогда и только тогда, когда область значений λI — A замкнута для некоторого (эквивалентно: для всех) λ > 0.
Эквивалентные характеристики
[ редактировать ]Определим множество двойственности x ∈ X , подмножество двойственного пространства X' к X , с помощью
По теореме Хана–Банаха это множество непусто. [3] В случае гильбертова пространства (с использованием канонической двойственности между гильбертовым пространством и двойственным к нему) оно состоит из единственного элемента x . [4] В более общем смысле, если X — банахово пространство со строго выпуклым двойственным пространством, то J ( x ) состоит из одного элемента. [5] Используя эти обозначения, A является диссипативным тогда и только тогда, когда [6] для всех x ∈ D ( A ) существует x ' ∈ J ( x ) такой, что
В случае гильбертовых пространств это становится для всех x в D ( A ). Поскольку это неположительно, мы имеем
Поскольку I−A имеет инверсию, это означает, что является сокращением и, в более общем плане, является сжатием для любого положительного λ. Полезность этой формулировки состоит в том, что если этот оператор является сжатием для некоторого положительного λ, то A диссипативно. Нет необходимости доказывать, что это сжатие для всех положительных λ (хотя это верно), в отличие от (λI−A) −1 которое необходимо доказать, что оно является сжатием для всех положительных значений λ.
Примеры
[ редактировать ]- В качестве простого конечномерного примера рассмотрим n -мерное евклидово пространство R н с его обычным скалярным произведением . Если A обозначает отрицательный тождественный оператор , определенный на всех R н , затем
- поэтому A — диссипативный оператор.
- Поскольку областью определения оператора A (матрицы) является все евклидово пространство, он диссипативен тогда и только тогда, когда A + A * (сумма оператора A и сопряженного к нему ) не имеет положительного собственного значения и (следовательно) все такие операторы максимально диссипативны. Этот критерий следует из того, что действительная часть который должен быть неположителен для любого x , равен Поэтому собственные значения этой квадратичной формы должны быть неположительными. (Тот факт, что реальная часть должно быть неположительным, подразумевает, что действительные части собственных значений A должны быть неположительными, но этого недостаточно. Например, если то его собственные значения отрицательны, но собственные значения A + A * равны −5 и 1, поэтому A не является диссипативным.) Эквивалентное условие состоит в том, что для некоторого (и, следовательно, любого) положительного имеет обратный и оператор является сокращением (то есть оно либо уменьшает, либо оставляет неизменной норму своего операнда). Если производная по времени точки x в пространстве равна Ax , то эволюцией во времени управляет полугруппа сжатия , которая постоянно уменьшает норму (или, по крайней мере, не позволяет ей увеличиваться). (Однако обратите внимание, что если областью определения A является собственное подпространство, то A не может быть максимально диссипативным, поскольку диапазон не будет иметь достаточно высокой размерности.)
- Рассмотрим H = L 2 ([0, 1]; R ) со своим обычным скалярным произведением, и пусть Au = u ′ (в данном случае слабая производная ) с областью определения D ( A ), равной этим функциям u в пространстве Соболева с u (1) = 0. D ( A ) плотно в L 2 ([0, 1]; Р ). Более того, для любого u из D ( A ), используя интегрирование по частям ,
- Следовательно, A — диссипативный оператор. существует решение ( почти всюду Более того, поскольку в D ) задачи для любого f из H оператор A максимально диссипативен. Обратите внимание, что в случае такой бесконечной размерности диапазоном может быть все банахово пространство, даже если областью определения является только его собственное подпространство.
- Рассмотрим H = H 0 2 (Ω; R ) (см. пространство Соболева ) для открытой и связной области Ω ⊆ R н и пусть A = ∆, оператор Лапласа , определенный в плотном подпространстве гладких функций с компактным носителем на Ω. Затем, используя интегрирование по частям,
- поэтому лапласиан является диссипативным оператором.
Примечания
[ редактировать ]- ^ «Диссипативный оператор» . Энциклопедия математики .
- ^ Предложение Энгеля и Нагеля II.3.14
- ^ Из теоремы следует, что для данного x существует непрерывный линейный функционал φ со свойством φ( x )=‖ x ‖, с нормой φ, равной 1. Мы отождествляем ‖ x ‖φ с x'.
- ^ Упражнение Энгеля и Нагеля II.3.25i
- ^ Пример Энгеля и Нагеля II.3.26
- ^ Предложение Энгеля и Нагеля II.3.23
Ссылки
[ редактировать ]- Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000). Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений . Спрингер.
- Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ИСБН 0-387-00444-0 . (Определение 12.25)