Диссипативный оператор

В математике — диссипативный оператор это линейный оператор A, определенный на линейном подпространстве D ( A ) банахова пространства X , принимающий значения в X такие, что для всех λ > 0 и всех x ∈ D ( A )

$\|(\lambda I-A)x\|\geq \lambda \|x\|.$

Ниже приведены несколько эквивалентных определений. Диссипативный оператор называется максимально диссипативным, если он диссипативен и для всех λ > 0 оператор λI − A является сюръективным, что означает, что диапазон значений при применении к области D представляет собой все пространство X .

Оператор, подчиняющийся аналогичному условию, но со знаком плюс вместо знака минус (т. е. отрицание диссипативного оператора), называется аккретивным оператором .

Основное значение диссипативных операторов заключается в их появлении в теореме Люмера–Филлипса , характеризующей максимально диссипативные операторы как генераторы сжимающих полугрупп .

Характеристики

Диссипативный оператор обладает следующими свойствами:

• Из приведенного выше неравенства мы видим, что для любого x в области определения A , если ‖ x ‖ ≠ 0, то $\|(\lambda I-A)x\|\neq 0,$ поэтому ядро ​​λI поэтому − A представляет собой просто нулевой вектор , и λI − A инъективен неравенство и имеет обратный для всех λ > 0. (Если у нас есть строгое $\|(\lambda I-A)x\|>\lambda \|x\|$ для всех ненулевых x в области, то по неравенству треугольника , $\|\lambda x\|+\|Ax\|\geq \|(\lambda I-A)x\|>\lambda \|x\|,$ откуда следует, что A само имеет обратное.) Тогда мы можем утверждать, что

$\|(\lambda I-A)^{-1}z\|\leq {\frac {1}{\lambda }}\|z\|$

для всех z в диапазоне λI − A . Это то же неравенство, что и приведенное в начале статьи, с $z=(\lambda I-A)x.$ (Мы могли бы с тем же успехом записать это как $\|(I-\kappa A)^{-1}z\|\leq \|z\|{\text{ or }}\|(I-\kappa A)x\|\geq \|x\|$ что должно выполняться для любого положительного κ.)

• λI − A сюръективен ρ для некоторого λ > 0 тогда и только тогда, когда он сюръективен для всех λ > 0. (Это вышеупомянутый максимально диссипативный случай.) В этом случае (0, ∞) ⊂ ( A ) ( резольвентное множество A ) .
• A является замкнутым оператором тогда и только тогда, когда область значений λI — A замкнута для некоторого (эквивалентно: для всех) λ > 0.

Эквивалентные характеристики

Определим множество двойственности x ∈ X , подмножество двойственного пространства X' к X , с помощью

$J(x):=\left\{x'\in X':\|x'\|_{X'}^{2}=\|x\|_{X}^{2}=\langle x',x\rangle \right\}.$

По теореме Хана–Банаха это множество непусто. В случае гильбертова пространства (с использованием канонической двойственности между гильбертовым пространством и двойственным к нему) оно состоит из единственного элемента x . В более общем смысле, если X — банахово пространство со строго выпуклым двойственным пространством, то J ( x ) состоит из одного элемента. Используя эти обозначения, A является диссипативным тогда и только тогда, когда для всех x ∈ D ( A ) существует x ' ∈ J ( x ) такой, что

${\rm {Re}}\langle Ax,x'\rangle \leq 0.$

В случае гильбертовых пространств это становится ${\rm {Re}}\langle Ax,x\rangle \leq 0$ для всех x в D ( A ). Поскольку это неположительно, мы имеем

$\|x-Ax\|^{2}=\|x\|^{2}+\|Ax\|^{2}-2{\rm {Re}}\langle Ax,x\rangle \geq \|x\|^{2}+\|Ax\|^{2}+2{\rm {Re}}\langle Ax,x\rangle =\|x+Ax\|^{2}$

$\therefore \|x-Ax\|\geq \|x+Ax\|$

Поскольку I−A имеет инверсию, это означает, что $(I+A)(I-A)^{-1}$ является сокращением и, в более общем плане, $(\lambda I+A)(\lambda I-A)^{-1}$ является сжатием для любого положительного λ. Полезность этой формулировки состоит в том, что если этот оператор является сжатием для некоторого положительного λ, то A диссипативно. Нет необходимости доказывать, что это сжатие для всех положительных λ (хотя это верно), в отличие от (λI−A) ⁻¹ которое необходимо доказать, что оно является сжатием для всех положительных значений λ.

Примеры

• В качестве простого конечномерного примера рассмотрим n -мерное евклидово пространство R ^н с его обычным скалярным произведением . Если A обозначает отрицательный тождественный оператор , определенный на всех R ^н , затем

$x\cdot Ax=x\cdot (-x)=-\|x\|^{2}\leq 0,$

поэтому A — диссипативный оператор.

• Поскольку областью определения оператора A (матрицы) является все евклидово пространство, он диссипативен тогда и только тогда, когда A + A ^* (сумма оператора A и сопряженного к нему ) не имеет положительного собственного значения и (следовательно) все такие операторы максимально диссипативны. Этот критерий следует из того, что действительная часть $x^{*}Ax,$ который должен быть неположителен для любого x , равен $x^{*}{\frac {A+A^{*}}{2}}x.$ Поэтому собственные значения этой квадратичной формы должны быть неположительными. (Тот факт, что реальная часть $x^{*}Ax,$ должно быть неположительным, подразумевает, что действительные части собственных значений A должны быть неположительными, но этого недостаточно. Например, если $A={\begin{pmatrix}-1&3\\0&-1\end{pmatrix}}$ то его собственные значения отрицательны, но собственные значения A + A ^* равны −5 и 1, поэтому A не является диссипативным.) Эквивалентное условие состоит в том, что для некоторого (и, следовательно, любого) положительного $\lambda ,\lambda -A$ имеет обратный и оператор $(\lambda +A)(\lambda -A)^{-1}$ является сокращением (то есть оно либо уменьшает, либо оставляет неизменной норму своего операнда). Если производная по времени точки x в пространстве равна Ax , то эволюцией во времени управляет полугруппа сжатия , которая постоянно уменьшает норму (или, по крайней мере, не позволяет ей увеличиваться). (Однако обратите внимание, что если областью определения A является собственное подпространство, то A не может быть максимально диссипативным, поскольку диапазон не будет иметь достаточно высокой размерности.)
• Рассмотрим H = L ² ([0, 1]; R ) со своим обычным скалярным произведением, и пусть Au = u ′ (в данном случае слабая производная ) с областью определения D ( A ), равной этим функциям u в пространстве Соболева $H^{1}([0,\;1];\;\mathbf {R} )$ с u (1) = 0. D ( A ) плотно в L ² ([0, 1]; Р ). Более того, для любого u из D ( A ), используя интегрирование по частям ,

$\langle u,Au\rangle =\int _{0}^{1}u(x)u'(x)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}u(0)^{2}\leq 0.$

Следовательно, A — диссипативный оператор. существует решение ( почти всюду Более того, поскольку в D ) задачи $u-\lambda u'=f$ для любого f из H оператор A максимально диссипативен. Обратите внимание, что в случае такой бесконечной размерности диапазоном может быть все банахово пространство, даже если областью определения является только его собственное подпространство.

• Рассмотрим H = H ₀ ² (Ω; R ) (см. пространство Соболева ) для открытой и связной области Ω ⊆ R ^н и пусть A = ∆, оператор Лапласа , определенный в плотном подпространстве гладких функций с компактным носителем на Ω. Затем, используя интегрирование по частям,

$\langle u,\Delta u\rangle =\int _{\Omega }u(x)\Delta u(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }{\big |}\nabla u(x){\big |}^{2}\,\mathrm {d} x=-\|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega ;\mathbf {R} )}^{2}\leq 0,$

поэтому лапласиан является диссипативным оператором.

Ссылки

• Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000). Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений . Спрингер.
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ИСБН  0-387-00444-0 . (Определение 12.25)