Сопряженное транспонирование

В математике сопряженное транспонирование , также известное как эрмитово транспонирование , $m\times n$ комплексная матрица $\mathbf {A}$ это $n\times m$ матрица, полученная транспонированием $\mathbf {A}$ и применяя комплексное сопряжение к каждой записи (комплексное сопряжение $a+ib$ существование $a-ib$ , для действительных чисел $a$ и $b$ ). Существует несколько обозначений, например $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ или $\mathbf {A} ^{*}$ , ^[1] $\mathbf {A} '$ , ^[2] или (часто в физике) $\mathbf {A} ^{\dagger }$ .

Для реальных матриц сопряженное транспонирование — это просто транспонирование, $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$ .

Определение

Сопряженное транспонирование $m\times n$ матрица $\mathbf {A}$ формально определяется

\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}

( Уравнение 1 )

где индекс $ij$ обозначает $(i,j)$ -я запись, для $1\leq i\leq n$ и $1\leq j\leq m$ , а черта сверху обозначает скалярное комплексное сопряжение.

Это определение также можно записать как

\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}

где $\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$ обозначает транспонирование и ${\overline {\mathbf {A} }}$ обозначает матрицу с комплексно-сопряженными элементами.

Другие названия сопряженного транспонирования матрицы — эрмитово сопряжение , сопряженная матрица или трансъюгат . Сопряженное транспонирование матрицы $\mathbf {A}$ может быть обозначен любым из этих символов:

$\mathbf {A} ^{*}$ , обычно используемый в линейной алгебре
$\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ , обычно используемый в линейной алгебре
$\mathbf {A} ^{\dagger }$ (иногда произносится как кинжал . ), обычно используется в квантовой механике
$\mathbf {A} ^{+}$ , хотя этот символ чаще используется для псевдообратной задачи Мура – Пенроуза.

В некоторых контекстах $\mathbf {A} ^{*}$ обозначает матрицу только с комплексно сопряженными элементами и без транспозиции.

Пример

Предположим, мы хотим вычислить сопряженное транспонирование следующей матрицы $\mathbf {A}$ .

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}

Сначала транспонируем матрицу:

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}

Затем мы сопрягаем каждую запись матрицы:

\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}

Основные замечания

Квадратная матрица $\mathbf {A}$ с записями $a_{ij}$ называется

Эрмитово или самосопряженное, если $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ ; то есть $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$ .
Скосить эрмитово или антиэрмитово, если $\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ ; то есть $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$ .
Нормально , если $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ .
Унитарный , если $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}$ , эквивалентно $\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}$ , эквивалентно $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}$ .

Даже если $\mathbf {A}$ не квадратная, две матрицы $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A}$ и $\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ являются одновременно эрмитовыми и фактически положительными полуопределенными матрицами .

Сопряженная транспонированная «сопряженная» матрица $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ не следует путать с придающим , $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )$ , который еще иногда называют присоединенным .

Сопряженное транспонирование матрицы $\mathbf {A}$ с реальными к транспонированию записями сводится $\mathbf {A}$ , поскольку сопряженное действительному числу является самим числом.

Сопряженное транспонирование можно мотивировать, отметив, что комплексные числа можно с пользой представить в виде $2\times 2$ действительные матрицы, подчиняющиеся матричному сложению и умножению:

a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.

То есть, обозначая каждое комплексное число $z$ по- настоящему $2\times 2$ матрица линейного преобразования на диаграмме Аргана (рассматриваемая как действительное векторное пространство $\mathbb {R} ^{2}$ ), под воздействием комплекса $z$ -умножение на $\mathbb {C}$ .

Таким образом, $m\times n$ матрица комплексных чисел может быть хорошо представлена в виде $2m\times 2n$ матрица действительных чисел. Таким образом, сопряженное транспонирование возникает очень естественно как результат простого транспонирования такой матрицы, если снова рассматривать ее как $n\times m$ матрица, состоящая из комплексных чисел.

Для объяснения используемых здесь обозначений мы начнем с представления комплексных чисел. $e^{i\theta }$ как матрица вращения, то есть

$e^{i\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}=\cos \theta {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+\sin \theta {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

С $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ мы приходим к матричным представлениям чисел единиц в виде

$1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$ Общее комплексное число $z=x+iy$ тогда представляется как

$z={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}.$ Операция комплексного сопряжения, где i→−i, рассматривается как просто транспонирование матрицы.

^[3]

Свойства сопряженного транспонирования

$(\mathbf {A} +{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }$ для любых двух матриц $\mathbf {A}$ и ${\boldsymbol {B}}$ тех же размеров.
$(z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ для любого комплексного числа $z$ и любой $m\times n$ матрица $\mathbf {A}$ .
$(\mathbf {A} {\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ для любого $m\times n$ матрица $\mathbf {A}$ и любой $n\times p$ матрица ${\boldsymbol {B}}$ . Обратите внимание, что порядок факторов обратный. ^[1]
$\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A}$ для любого $m\times n$ матрица $\mathbf {A}$ , т.е. эрмитова транспозиция является инволюцией .
Если $\mathbf {A}$ квадратная матрица, то $\det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}$ где $\operatorname {det} (A)$ обозначает определитель $\mathbf {A}$ .
Если $\mathbf {A}$ квадратная матрица, то $\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}$ где $\operatorname {tr} (A)$ обозначает след $\mathbf {A}$ .
$\mathbf {A}$ обратима когда тогда и только тогда, $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ обратимо, и в этом случае $\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }$ .
Собственные значения $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ являются комплексно-сопряженными собственными значениями $\mathbf {A}$ .
$\left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}$ для любого $m\times n$ матрица $\mathbf {A}$ , любой вектор в $x\in \mathbb {C} ^{n}$ и любой вектор $y\in \mathbb {C} ^{m}$ . Здесь, $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}$ обозначает стандартный комплексный скалярный продукт на $\mathbb {C} ^{m}$ , и аналогично для $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}$ .

Обобщения

Последнее свойство, приведенное выше, показывает, что если просмотреть $\mathbf {A}$ как линейное преобразование гильбертова пространства $\mathbb {C} ^{n}$ к $\mathbb {C} ^{m},$ тогда матрица $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ соответствует оператору сопряженному $\mathbf {A}$ . Таким образом, концепцию сопряженных операторов между гильбертовыми пространствами можно рассматривать как обобщение сопряженного транспонирования матриц относительно ортонормированного базиса.

Доступно еще одно обобщение: предположим, $A$ представляет собой линейное отображение комплексного векторного пространства $V$ другому, $W$ , то определены комплексное сопряженное линейное отображение , а также транспонированное линейное отображение , и, таким образом, мы можем взять сопряженное транспонирование $A$ быть комплексно-сопряженным транспонированным $A$ . отображает сопряженное двойственное Он $W$ к сопряженному двойственному $V$ .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Сопряженное транспонирование» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 г.
^ Х. В. Тернбулл, А. С. Эйткен,«Введение в теорию канонических матриц».1932 год.
^ https://math.libretexts.org/Bookshelves/Differential_Equations/Applied_Linear_Algebra_and_Differential_Equations_(Chasnov)/02%3A_II._Linear_Algebra/01%3A_Matrices/1.06%3A_Matrix_Representation_of_Complex_Numbers

Внешние ссылки

«Сопряженная матрица» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[:1-1] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Сопряженное транспонирование» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 г.

[2] Х. В. Тернбулл, А. С. Эйткен,«Введение в теорию канонических матриц».1932 год.

[3] ttps://math.libretexts.org/Bookshelves/Differential_Equations/Applied_Linear_Algebra_and_Differential_Equations_(Chasnov)/02%3A_II._Linear_Algebra/01%3A_Matrices/1.06%3A_Matrix_Representation_of_Complex_Numbers

[1]

[2]

[3]