Уменьшение подпространства

В линейной алгебре подпространство сокращающееся $W$ карты линейной $T:V\to V$ из гильбертова пространства $V$ самому себе является инвариантным подпространством $T$ чье ортогональное дополнение $W^{\perp }$ также является инвариантным подпространством $T.$ То есть, $T(W)\subseteq W$ и $T(W^{\perp })\subseteq W^{\perp }.$ Говорят, что подпространство $W$ уменьшает карту $T.$

Говорят, что линейное отображение приводимо, если оно имеет нетривиальное приводящее подпространство. В противном случае говорят, что оно неприводимо .

Если $V$ имеет конечную размерность $r$ и $W$ является сокращающимся подпространством отображения $T:V\to V$ представлено в основе $B$ по матрице $M\in \mathbb {R} ^{r\times r}$ затем $M$ можно выразить как сумму

$$M=P_{W}MP_{W}+P_{W^{\perp }}MP_{W^{\perp }}$$

где $P_{W}\in \mathbb {R} ^{r\times r}$ – матрица ортогональной проекции из $V$ к $W$ и $P_{W^{\perp }}=I-P_{W}$ – матрица проекции на $W^{\perp }.$ (Здесь $I\in \mathbb {R} ^{r\times r}$ это единичная матрица .)

Более того, $V$ имеет ортонормированный базис $B'$ с подмножеством, которое является ортонормированным базисом $W$. Если $Q\in \mathbb {R} ^{r\times r}$ – матрица перехода от $B$ к $B'$ тогда относительно $B'$ матрица $Q^{-1}MQ$ представляющий $T$ представляет собой блочно-диагональную матрицу

$$Q^{-1}MQ=\left[{\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}}\right]$$

с $A\in \mathbb {R} ^{d\times d},$ где $d=\dim W$, и $B\in \mathbb {R} ^{(r-d)\times (r-d)}.$