Категория колец

В математике категория колец , обозначаемая Ring , — это категория , объектами которой являются кольца (с единицей) и чьи морфизмы являются гомоморфизмами колец (сохраняющими идентичность). Как и многие категории в математике, категория колец является большой , а это означает, что класс всех колец является собственным .

Как конкретная категория

Категория « Кольцо» — это конкретная категория, означающая, что объекты — это множества с дополнительной структурой (сложение и умножение), а морфизмы — это функции , сохраняющие эту структуру. Существует естественный функтор забывчивости.

U : Кольцо → Установить

для категории колец к категории множеств , которая отправляет каждое кольцо в его основной набор (таким образом «забывая» операции сложения и умножения). Этот функтор имеет левое сопряженное

F : Установить → Кольцо

который присваивает каждому множеству X свободное кольцо порожденное X. ,

Можно также рассматривать категорию колец как конкретную категорию над Ab ( категория абелевых групп ) или над Mon ( категория моноидов ). В частности, существуют забывчивые функторы

А : Кольцо → Аб

М : Звонок → Пн.

которые «забывают» умножение и сложение соответственно. Оба этих функтора имеют левые сопряженные. Левым сопряженным к A является функтор, который ставит в соответствие каждой абелевой группе X (рассматриваемой как Z - модуль ) тензорное кольцо T ( X ). Левым сопряженным к M является функтор, который ставит в соответствие каждому моноиду X целое кольцо моноидов Z [ X ].

Характеристики

Пределы и копределы

Категория Ring является одновременно полной и кополной , что означает, что все малые пределы и копределы существуют в Ring . Как и многие другие алгебраические категории, забывающий функтор U : Ring → Set создает (и сохраняет) пределы и фильтруемые копределы , но не сохраняет ни копроизведения , ни коэквалайзеры . Забывчивые функторы Ab и Mon также создают и сохраняют пределы.

Примеры пределов и копределов в Ring включают:

Кольцо целых чисел Z является исходным объектом в Ring .
Нулевое кольцо — это конечный объект в Ring .
Произведение Ring в . определяется колец прямым произведением Это просто декартово произведение базовых множеств с покомпонентным определением сложения и умножения.
Копроизведение семейства колец существует и задается конструкцией, аналогичной свободному произведению групп. Копроизведением ненулевых колец может быть нулевое кольцо; в частности, это происходит всякий раз, когда факторы имеют относительно простую характеристику (поскольку характеристика копроизведения ( R _i ) _{i ∈ I} должна делить характеристики каждого из колец R _i ).
Эквалайзер — в Ring это просто теоретико-множественный эквалайзер (эквалайзер двух гомоморфизмов колец всегда является подкольцом ) .
Коэквалайзер r двух кольцевых гомоморфизмов f и g из R в S это фактор S , по идеалу порожденному всеми элементами вида f ( ) − g ( r ) для r ∈ R. —
Для кольцевого гомоморфизма f : R → S пара ядер f самим (это просто обратный образ с f собой) является отношением конгруэнтности на R . Идеал, определяемый этим соотношением конгруэнтности, представляет собой в точности (теоретико-кольцевое) ядро функции f . Обратите внимание, что теоретико-категорные ядра не имеют смысла в Ring , поскольку нет нулевых морфизмов (см. ниже).

Морфизмы

не всегда существуют морфизмы В отличие от многих категорий, изучаемых в математике, между парами объектов в Ring . Это следствие того, что гомоморфизмы колец должны сохранять тождество. Например, не существует морфизмов нулевого кольца 0 ни в какое ненулевое кольцо. Необходимым условием существования морфизмов из R в S является то, что S делит R характеристику характеристика .

Обратите внимание: хотя некоторые из hom-множеств пусты, категория «Кольцо» по-прежнему связна , поскольку у нее есть начальный объект.

Некоторые специальные классы морфизмов в Ring включают:

Изоморфизмы в кольце — это биективные гомоморфизмы колец.
Мономорфизмы в кольце — это инъективные гомоморфизмы. не всякий мономорфизм является регулярным . Однако
Каждый сюръективный гомоморфизм является эпиморфизмом в Ring , но обратное неверно. Включение Z → Q является несюръективным эпиморфизмом. Естественный гомоморфизм колец любого коммутативного кольца R в любую его локализацию является эпиморфизмом, который не обязательно сюръективен.
Сюръективные гомоморфизмы можно охарактеризовать как регулярные или экстремальные эпиморфизмы в кольце (эти два класса совпадают).
Биморфизмы в кольце — это инъективные эпиморфизмы. Включение Z → Q является примером биморфизма, который не является изоморфизмом.

Другие объекты недвижимости

Единственным инъективным объектом в Ring с точностью до изоморфизма является нулевое кольцо (т.е. терминальный объект).
Не имея нулевых морфизмов , категория колец не может быть преаддитивной категорией . (Однако каждое кольцо, рассматриваемое как категория с единственным объектом, является преаддитивной категорией).
Категория колец представляет собой симметричную моноидальную категорию с тензорным произведением колец ⊗ _Z в качестве моноидального произведения и кольцом целых чисел Z в качестве единичного объекта. следует Из теоремы Экмана–Хилтона , что моноид в кольце является коммутативным кольцом . Действие моноида (= коммутативного кольца) R на объект (= кольцо) A кольца Ring является R -алгеброй .

Подкатегории

Категория колец имеет ряд важных подкатегорий . К ним относятся полные подкатегории коммутативных колец , областей целостности , областей главных идеалов и полей .

Категория коммутативных колец

Категория коммутативных колец , обозначаемая CRing , является полной подкатегорией Ring , все объекты которой являются коммутативными кольцами . Эта категория является одним из центральных объектов изучения предмета коммутативной алгебры .

Любое кольцо можно сделать коммутативным, факторизируя его по идеалу , порожденному всеми элементами формы ( xy − yx ). Это определяет функтор Ring → CRing функтором включения, так что CRing является отражающей подкатегорией Ring , который слева сопряжен с . Свободным коммутативным кольцом на множестве образующих E является кольцо полиномов Z [ E взяты из E. ], переменные которого Это дает левый сопряженный функтор к функтору забывчивости от CRing до Set .

CRing является ограниченным по пределу в Ring , что означает, что ограничения в CRing такие же, как и в Ring . Копределы, однако, обычно различны. Их можно сформировать, взяв коммутативное частное копределов в Ring . Копроизведение двух коммутативных колец задается тензорным произведением колец . Опять же, копроизведение двух ненулевых коммутативных колец может быть равно нулю.

Противоположная категория CRing эквивалентна схем категории аффинных . Эквивалентность задается контравариантным функтором Spec, который переводит коммутативное кольцо в его спектр , аффинную схему .

Категория полей

Категория полей , обозначаемая Field , является полной подкатегорией CRing , объектами которой являются поля . Категория полей ведет себя далеко не так хорошо, как другие алгебраические категории. В частности, свободных полей не существует (т.е. не существует левого сопряженного к забывчивому функтору Field → Set ). Отсюда следует, что Поле является не отражающей подкатегорией CRing .

Категория полей не является ни конечно полной , ни конечно кополной. В частности, у Филда нет ни продуктов, ни сопутствующих продуктов.

Другой любопытный аспект категории полей состоит в том, что каждый морфизм является мономорфизмом . Это следует из того, что единственными идеалами в поле F являются нулевой идеал и поле F. само Затем можно рассматривать морфизмы в Field как расширения полей .

Категория полей не связана . не существует морфизмов Между полями разных характеристик . Компоненты связности Поля — это полные подкатегории характеристики p , где p = 0 или — простое число . Каждая такая подкатегория имеет исходный объект : простое поле характеристики p (которое является Q , если p = 0, в противном случае — конечное поле F _p ).

Связанные категории и функторы

Категория групп

Существует естественный функтор из Ring в категорию групп Grp , который переводит каждое кольцо R в его группу единиц U ( R ), а каждый гомоморфизм колец — в ограничение на U ( R ). Этот функтор имеет левый сопряженный , который переводит каждую группу G в целочисленное групповое кольцо Z [ G ].

Другой функтор между этими категориями переводит каждое кольцо R в группу единиц кольца матриц M2 _{) ,} ( R действующего на проективной прямой над кольцом P( R ).

R -алгебры

Для коммутативного кольца R можно определить категорию R -Alg, объектами которой являются все R -алгебры и чьи морфизмы являются R - гомоморфизмами алгебр .

Категорию колец можно считать частным случаем. Каждое кольцо можно рассматривать как Z уникальным образом -алгебру. Кольцевые гомоморфизмы — это в точности гомоморфизмы Z -алгебр. Категория колец, следовательно, изоморфна категории Z-Alg . ^[1] Многие утверждения о категории колец можно обобщить до утверждений о категории R -алгебр.

Для каждого коммутативного кольца R существует функтор R -Alg → Ring , который забывает структуру R -модуля. Этот функтор имеет левый сопряженный, который переводит каждое кольцо A в тензорное произведение R ⊗ _Z A , которое можно рассматривать как R -алгебру, полагая r ·( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .

Кольца без личности

Многие авторы не требуют, чтобы кольца имели мультипликативный единичный элемент и, соответственно, не требуют гомоморфизма колец для сохранения тождественности (если она существует). Это приводит к совершенно другой категории. Для различия мы называем такие алгебраические структуры rng , а их морфизмы rng гомоморфизмами . Категория всех rng будет обозначаться Rng .

Категория Ring является неполной подкатегорией Rng . колец Он неполный, поскольку между кольцами существуют гомоморфизмы rng, которые не сохраняют идентичность и, следовательно, не являются морфизмами в Ring . Функтор включения Ring → Rng имеет левый сопряженный, формально присоединяющий единицу к любому rng. Функтор включения Ring → Rng учитывает пределы, но не копределы.

Нулевое кольцо служит одновременно начальным и конечным объектом в Rng (то есть является нулевым объектом ). Отсюда следует, что Rng , как и Grp, но в отличие от Ring , не имеет морфизмов . Это всего лишь гомоморфизмы rng, которые отображают все в 0. Несмотря на существование нулевых морфизмов, Rng все еще не является преаддитивной категорией . Поточечная сумма двух гомоморфизмов rng, вообще говоря, не является гомоморфизмом rng.

Существует вполне точный функтор из категории абелевых групп в Rng, переводящий абелеву группу в связанную группу с квадратным нулем .

Свободные конструкции менее естественны в Rng, чем в Ring . Например, свободное кольцо, порожденное набором { x }, представляет собой кольцо всех целых многочленов по x без постоянного члена, тогда как свободное кольцо, порожденное { x }, представляет собой просто кольцо полиномов Z [ x ].

Ссылки

^ Теннисон, Б.Р. (1975), Теория пучков , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 20, Издательство Кембриджского университета, с. 74, ISBN 9780521207843 .

Адамек, Иржи; Замечательно, Хорст; Стретчер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Уайли. ISBN 0-471-60922-6 .
Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1646-2 .
Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике. Том. 5 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98403-8 .

[1] Теннисон, Б.Р. (1975), Теория пучков , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 20, Издательство Кембриджского университета, с. 74, ISBN 9780521207843 .

[1]